北京市2024屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題含解析

北京市2024屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知角滿(mǎn)足，，且，，則的值為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)、是圓的兩條切線(xiàn)，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．3．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．，2 B．，1 C．，2 D．，14．某校統(tǒng)計(jì)了1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，已知這1000名學(xué)生的成績(jī)均在50分到150分之間，其頻率分布直方圖如圖所示，則這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的人數(shù)為（）A．10 B．20 C．40 D．605．某部門(mén)為了了解用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：°C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某3天的用電量與當(dāng)天氣溫如表所示.由表中數(shù)據(jù)得回歸直線(xiàn)方程y=-0.8x+a，則攝氏溫度（°C）4611用電量度數(shù)1074A．12.6 B．13.2 C．11.8 D．12.86．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線(xiàn)所示，圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說(shuō)法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)7．如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的事一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱8．已知平行四邊形對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A． B． C． D．9．設(shè)直線(xiàn)l與平面平行，直線(xiàn)m在平面上，那么（）A．直線(xiàn)l不平行于直線(xiàn)m B．直線(xiàn)l與直線(xiàn)m異面C．直線(xiàn)l與直線(xiàn)m沒(méi)有公共點(diǎn) D．直線(xiàn)l與直線(xiàn)m不垂直10．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何的體積為（）立方單位．A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線(xiàn)在軸上的截距是__________.12．在數(shù)列中，，，若，則的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為_(kāi)_________．13．計(jì)算：______．14．已知向量，，若向量與垂直，則__________．15．當(dāng)時(shí)，的最大值為_(kāi)_________.16．已知在數(shù)列中，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）已知圓經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，若圓心在直線(xiàn)上，求圓的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)、和的圓的方程.18．隨著高校自主招生活動(dòng)的持續(xù)開(kāi)展，我市高中生掀起了參與數(shù)學(xué)興趣小組的熱潮.為調(diào)查我市高中生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好程度，從甲、乙兩所高中各自隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們?cè)谝恢軆?nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，并將其分成了6個(gè)區(qū)間：、、、、、，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）試估計(jì)甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的中位數(shù)甲（精確到0.01）；（2）判斷從甲、乙兩所高中各自隨機(jī)抽取的40名學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間的平均值甲與乙及方差甲與乙的大小關(guān)系（只需寫(xiě)出結(jié)論），并計(jì)算其中的甲、甲（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.19．如圖，在四邊形中，.（1）若為等邊三角形，且是的中點(diǎn)，求.（2）若，，求.20．已知向量.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值域.21．已知圓心在直線(xiàn)上的圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切.（1）求過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)等于4的直線(xiàn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)P作兩條相異的直線(xiàn)分別與圓C交于A，B，若直線(xiàn)PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線(xiàn)AB與OP的位置關(guān)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)角度范圍先計(jì)算和，再通過(guò)展開(kāi)得到答案.【題目詳解】，，故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)恒等變換，將是解題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時(shí)取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線(xiàn)的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求出的值.【題目詳解】如下圖所示，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動(dòng)點(diǎn)的位置，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.3、B【解題分析】

將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，由此求得圓心和半徑.【題目詳解】由，得，所以圓心為，半徑為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓心和半徑的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

由頻率分布直方圖求出這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的頻率，由此能求出這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的人數(shù)．【題目詳解】由頻率分布直方圖得這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的頻率為：，則這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的人數(shù)為人．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

計(jì)算數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，代入回歸方程得到答案.【題目詳解】x=4+6+113=7，代入回歸方程y7=-0.8×7+a故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸方程，掌握回歸方程過(guò)中心點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】試題分析：由三視圖中的正視圖可知，由一個(gè)面為直角三角形，左視圖和俯視圖可知其它的面為長(zhǎng)方形．綜合可判斷為三棱柱．考點(diǎn)：由三視圖還原幾何體.8、B【解題分析】

根據(jù)向量減法的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算直接可得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題，涉及到向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

由題設(shè)條件，得到直線(xiàn)與直線(xiàn)異面或平行，進(jìn)而得到答案．【題目詳解】由題意，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面平行，直線(xiàn)在平面上，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)異面或平行，即直線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)只見(jiàn)那的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，以及直線(xiàn)與平面平行的應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】由三視圖可知幾何體是由一個(gè)四棱錐和半個(gè)圓柱組合而成的，所以所求的體積為，故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

把直線(xiàn)方程化為斜截式，可得它在軸上的截距．【題目詳解】解：直線(xiàn)，即，故它在軸上的截距是4，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)方程的幾種形式，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

解法一：利用數(shù)列的遞推公式，化簡(jiǎn)得，得到數(shù)列為等差數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到，，得出所以，，，，進(jìn)而得到結(jié)論；解法二：化簡(jiǎn)得，令，求得，進(jìn)而求得，再由，解得或，即可得到結(jié)論．【題目詳解】解法一：因?yàn)棰偎寓?，①②，得即，所以?shù)列為等差數(shù)列．在①中，取，得即，又，則，所以．因此，所以，，，所以，又，所以時(shí)，取得最大值．解法二：由，得，令，則，則，即，代入得，取，得，解得，又，則，故所以，于是．由，得，解得或，又因?yàn)?，，所以時(shí)，取得最大值．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及數(shù)列的最值問(wèn)題的求解，此類(lèi)題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，合理利用數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等，屬于中檔試題.13、【解題分析】

在分式的分子和分母中同時(shí)除以，然后利用常見(jiàn)的數(shù)列極限可計(jì)算出所求極限值.【題目詳解】.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，熟悉一些常見(jiàn)數(shù)列極限是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】，所以，解得．15、-3.【解題分析】

將函數(shù)的表達(dá)式改寫(xiě)為：利用均值不等式得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，故答案為-3【題目點(diǎn)撥】本題考查了均值不等式，利用一正二定三相等將函數(shù)變形是解題的關(guān)鍵.16、【解題分析】

根據(jù)遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，得到，進(jìn)而求得；利用裂項(xiàng)相消法求得結(jié)果.【題目詳解】由得：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即：設(shè)前項(xiàng)和為本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等差數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)的求解、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和；關(guān)鍵是能夠通過(guò)通項(xiàng)公式的形式確定采用的求和方法，屬于常考題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由直線(xiàn)AB的斜率，中點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)的直線(xiàn)方程，與直線(xiàn)x-2y-3=0聯(lián)立即可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)即為圓心的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到點(diǎn)A的距離即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)與半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）設(shè)圓的方程為，代入題中三點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求解即可【題目詳解】（1）由點(diǎn)和點(diǎn)可得，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為．∵圓經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，圓心在直線(xiàn)上，∴，解得，即所求圓的圓心，∴半徑，所求圓的方程為；（2）設(shè)圓的方程為，∵圓過(guò)點(diǎn)、和，∴列方程組得解得，∴圓的方程為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的方程求解，考查了待定系數(shù)法及運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）甲乙，甲乙，甲=，甲=【解題分析】

（1）根據(jù)每組小矩形的面積確定中位數(shù)所在區(qū)間，即可求解；（2）根據(jù)直方圖特征即可判定甲乙，甲乙，根據(jù)平均數(shù)和方差的公式分別計(jì)算求值.【題目詳解】（1）由甲高中頻率分布直方圖可得：第一組頻率0.1，第二組頻率0.2，第三組頻率0.3，所以中位數(shù)在第三組，甲；（2）根據(jù)兩個(gè)頻率分布直方圖可得：甲乙，甲乙甲=甲=【題目點(diǎn)撥】此題考查頻率分布直方圖，根據(jù)兩組直方圖特征判斷中位數(shù)和方差的大小關(guān)系，求中位數(shù)，平均數(shù)和方差，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)數(shù)據(jù)的求法，準(zhǔn)確計(jì)算得解.19、（1）（2）【解題分析】

（1）先由題意，結(jié)合平面向量基本定理，用表示出，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得出結(jié)果；（2）先由向量數(shù)量積的運(yùn)算，求出，再由，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：（1）為等邊三角形，且，又是中點(diǎn)，又（2）由題意：，，，又【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟記平面向量基本定理，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.20、(1)-7，(2)【解題分析】試題分析：(1)由向量共線(xiàn)得到等量關(guān)系，求出角的正切值，再利用兩角差正切公式求解：(2)先根據(jù)向量數(shù)量積，利用二倍角公式及配角公式得到三角函數(shù)關(guān)系式，再?gòu)慕浅霭l(fā)研究基本三角函數(shù)范圍：試題解析：(1),3分6分(2)8分11分，的值域?yàn)?4分考點(diǎn)：向量平行坐標(biāo)表示，三角函數(shù)性質(zhì)21、（1）或；（2）平行【解題分析】

（1）設(shè)出圓的圓心為，半徑為，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可得，解出即可得出圓的方程，討論過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)斜率存在與否，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.（2）由題意知，直線(xiàn)PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，分類(lèi)討論兩直線(xiàn)的斜率存在與否，當(dāng)斜率均存在時(shí)，則直線(xiàn)PA的方程為：，直線(xiàn)PB的方程為：，分別與圓C聯(lián)立可得，利用斜率的計(jì)算公式與作比較即可.【題目詳解】（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)圓C的圓心為，半徑為，則圓C，由圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切，則，解得，故圓C的方程為：，所以點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)P且被圓