安徽省青陽縣第一中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省青陽縣第一中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．已知x，y為正實數(shù)，則（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx?2lgyC．2lgx?lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx?2lgy3．已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調(diào)，同時的圖象向左平移個單位之后與原來的圖象重合，當，且時，，則A． B． C． D．4．已知函數(shù)的值域為，且圖象在同一周期內(nèi)過兩點，則的值分別為（）A． B．C． D．5．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．6．若關于的方程，當時總有4個解，則可以是（）A． B． C． D．7．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．8．正方體中，則異面直線與所成的角是A．30° B．45° C．60° D．90°9．已知數(shù)列的前項和，則的值為（）A．-199 B．199 C．-101 D．10110．的值等于()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列中，若，，則_____．12．函數(shù)的最小正周期是________.13．若函數(shù)的圖像與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是______14．若直線與圓相切，則________.15．渦陽一中某班對第二次質(zhì)量檢測成績進行分析，利用隨機數(shù)表法抽取個樣本時，先將個同學按、、、、進行編號，然后從隨機數(shù)表第行第列的數(shù)開始向右讀（注：如表為隨機數(shù)表的第行和第行），則選出的第個個體是______.16．在數(shù)列中，若，（），則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量.（1）若，且，求實數(shù)的值；（2）若，且與的夾角為，求實數(shù)的值.18．在中，分別是角的對邊.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的范圍.19．求函數(shù)的最大值20．已知數(shù)列滿足，，其中實數(shù).（I）求證：數(shù)列是遞增數(shù)列；（II）當時.（i）求證：；（ii）若，設數(shù)列的前項和為，求整數(shù)的值，使得最?。?1．設數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列位的前項和，求；（3）在（2）的條件下，是否存在自然數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線,所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【題目詳解】解：以點為坐標原點，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

則,

為平面的一個法向量．

．

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．【題目點撥】此題重點考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關系,利用向量方法解決立體幾何問題．2、D【解題分析】因為as+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y為正實數(shù)），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，滿足上述兩個公式，故選D．3、A【解題分析】由題設可知該函數(shù)的周期是，則過點且可得，故，由可得，所以由可得，注意到，故，所以，應選答案A點睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.4、C【解題分析】

根據(jù)值域先求，再代入數(shù)據(jù)得到最大值和最小值對應相差得到答案.【題目詳解】函數(shù)的值域為即，圖象在同一周期內(nèi)過兩點故答案選C【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的最大值最小值，周期，意在考查學生對于三角函數(shù)公式和性質(zhì)的靈活運用和計算能力.5、D【解題分析】

根據(jù)為銳角可求得，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知，從而得到，進而求得結果.【題目詳解】，又，即本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)值的求解問題，關鍵是能夠熟悉特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)角的范圍確定特殊角的取值.6、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出與的解析式，再判斷對應方程在時解的個數(shù)．【題目詳解】對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時有2個解，當時有3個解，當時有4個解，不符合；對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時恒有4個解，符合題意．【題目點撥】本題考查了函數(shù)與方程的應用問題，考查數(shù)形結合思想的運用，對綜合能力的要求較高．7、C【解題分析】

利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【題目詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【題目點撥】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.8、C【解題分析】連接A，易知：平行A，∴異面直線與所成的角即異面直線與A所成的角，連接，易知△為等邊三角形，

∴異面直線與所成的角是60°故選C9、D【解題分析】

由特點可采用并項求和的方式求得.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查并項求和法求解數(shù)列的前項和，屬于基礎題.10、A【解題分析】=,選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的等積求解即可.【題目詳解】因為,故.又,故.故答案為：4【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列等積性的運用,屬于基礎題.12、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的周期公式計算即可.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期是.故答案為【題目點撥】本題主要考查了正切函數(shù)周期公式的應用，屬于基礎題．13、【解題分析】

將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出函數(shù)的圖象，則直線與函數(shù)圖象有四個交點，從而得到的取值范圍.【題目詳解】因為因為所以，所以圖象關于對稱，其圖象如圖所示：因為直線與函數(shù)圖象有四個交點，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)圖象研究與直線交點個數(shù)，考查數(shù)形結合思想的應用，作圖時發(fā)現(xiàn)圖象關于對稱，是快速畫出圖象的關鍵.14、1【解題分析】

利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由于直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，即，由于，所以.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.15、.【解題分析】

根據(jù)隨機數(shù)法列出前個個體的編號，即可得出答案.【題目詳解】由隨機數(shù)法可知，前個個體的編號依次為、、、、、、，因此，第個個體是，故答案為.【題目點撥】本題考查隨機數(shù)法讀取樣本個體編號，讀取時要把握兩個原則：（1）看樣本編號最大數(shù)為幾位數(shù)，讀取時就幾個數(shù)連著一起??；（2）不在編號范圍內(nèi)的號碼要去掉，重復的只能取第一次.16、【解題分析】

由題意，得到數(shù)列表示首項為1，公差為2的等差數(shù)列，結合等差數(shù)列的通項公式，即可求解.【題目詳解】由題意，數(shù)列中，滿足，（），即（），所以數(shù)列表示首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的定義和通項公式的應用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義，合理利用數(shù)列的通項公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)平面向量加法和數(shù)乘的坐標表示公式、數(shù)量積的坐標表示公式，結合兩個互相垂直的平面向量數(shù)量積為零，進行求解即可；（2）利用平面向量夾角公式進行求解即可.【題目詳解】（1）當時，.因為，所以；（2）當時，所以有，因為與的夾角為，所以有.【題目點撥】本題考查了平面向量運算的坐標表示公式，考查了平面向量夾角公式，考查了數(shù)學運算能力.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題結合余弦定理得角的值；（2）由正弦定理可知，，得，利用三角恒等變換得A的函數(shù)即可求范圍【題目詳解】（1）由題意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即，∴，又∵為銳角三角形，∴，則即，所以，即，綜上的取值范圍為.【題目點撥】本題考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，注意銳角三角形的應用，準確計算是關鍵，是中檔題19、最大值為5【解題分析】

本題首先可以根據(jù)同角三角函數(shù)關系以及配方將函數(shù)化簡為，然后根據(jù)即可得出函數(shù)的最大值．【題目詳解】，因為，所以當時，即，函數(shù)最大，令，，故最大值為．【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)關系以及一元二次函數(shù)的相關性質(zhì)，考查的公式為，考查計算能力，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題．20、（I）證明見解析；（II）（i）證明見解析；（ii）.【解題分析】

（I）通過計算，結合，證得數(shù)列是遞增數(shù)列.（II）（i）將轉化為，利用迭代法證得.(ii)由（i）得，從而，即.利用裂項求和法求得，結合（i）的結論求得，由此得到當時，取得最小值．【題目詳解】（I）由所以，因為，所以，即，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．（II）此時．（i）所以，有由（1）知是遞增數(shù)列，所以所以（ii）因為所以有.由由（i）知，所以所以所以當時，取得最小值．【題目點撥】本小題主要考查數(shù)列單調(diào)性的證明方法，考查裂項求和法，考查迭代法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.21、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）根據(jù)題干可推導得到，進而得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得到結果；（2）由錯位相減的方法得到結果；（3）根據(jù)第二問得到：，數(shù)列單調(diào)遞