2024屆北京八中怡海分校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2024屆北京八中怡海分校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列滿足：，，則該數(shù)列中滿足的項(xiàng)共有（）項(xiàng)A． B． C． D．2．某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級中選出5人負(fù)責(zé)校園開放日的接待工作．現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人，至少有1名男生的概率是（）A． B． C． D．3．從集合中隨機(jī)抽取一個數(shù)，從集合中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則向量與向量垂直的概率為()A． B． C． D．4．若實(shí)數(shù)滿足,則的大小關(guān)系是：A． B． C． D．5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中點(diǎn)為M，BC中點(diǎn)為N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與MN所成角的余弦值為A．1 B． C． D．06．設(shè)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．7．已知不等式的解集是，則()A． B．1 C． D．38．在中，，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．正三角形9．若某市所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．91 B．91.5C．92 D．92.510．在中，角，，所對的邊為，，，且為銳角，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三棱錐的外接球的球心恰好是線段的中點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為__________.12．的值域是______.13．一個公司共有240名員工，下設(shè)一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為20的樣本．已知某部門有60名員工，那么從這一部門抽取的員工人數(shù)是.14．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，成等比數(shù)列，且，則________.15．函數(shù)的最小正周期是________.16．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則=.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在上海自貿(mào)區(qū)的利好刺激下，公司開拓國際市場，基本形成了市場規(guī)模；自2014年1月以來的第個月（2014年1月為第一個月）產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（銷售總量=內(nèi)銷量+出口量）分別為、和（單位：萬件），依據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下營銷趨勢：，（其中，為常數(shù)，），已知萬件，萬件，萬件.（1）求，的值，并寫出與滿足的關(guān)系式；（2）證明：逐月遞增且控制在2萬件內(nèi)；18．已知.（1）若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：對任意實(shí)數(shù)，恒有成立.19．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此做了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表所示：零件的個數(shù)個2345加工的時間2.5344.51求出y關(guān)于x的線性回歸方程；2試預(yù)測加工10個零件需要多少時間？20．在中，分別是角的對邊.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的范圍.21．中，D是邊BC上的點(diǎn)，滿足，，.（1）求；（2）若，求BD的長.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后解不等式，得出符合條件的正整數(shù)的個數(shù)，即可得出結(jié)論.【題目詳解】，，，解不等式，即，即，，則或.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列不等式的求解，同時也涉及了利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.2、D【解題分析】

由題意，男生30人，女生20人，按照分層抽樣方法從中抽取5人，則男生為人，女生為，從這5人中隨機(jī)選取2人，共有種，全是女生的只有1種，所以至少有1名女生的概率為，故選D.3、B【解題分析】

通過向量垂直的條件即可判斷基本事件的個數(shù)，從而求得概率.【題目詳解】基本事件總數(shù)為，當(dāng)時，，滿足的基本事件有，，，共3個，故所求概率為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型，計(jì)算滿足條件的基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力.4、D【解題分析】分析：先解不等式,再根據(jù)不等式性質(zhì)確定的大小關(guān)系.詳解：因?yàn)?所以,所以選D.點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式解法以及不等式性質(zhì)，考查基本求解能力與運(yùn)用性質(zhì)解決問題能力.5、D【解題分析】

先找到直線異面直線AB1與MN所成角為∠,再通過解三角形求出它的余弦值.【題目詳解】由題得,所以∠就是異面直線AB1與MN所成角或補(bǔ)角.由題得,,因?yàn)?所以異面直線AB1與MN所成角的余弦值為0.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解題分析】如圖，過時，取最小值，為。故選A。7、A【解題分析】

的兩個解為-1和2.【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)、一元二次等式的解、函數(shù)與x軸的交點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)換。8、A【解題分析】

在中，由，變形為，再利用內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為，通過兩角和的正弦展開判斷.【題目詳解】在中，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以直角三角?故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用三角恒等變換判斷三角形的形狀，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】試題分析：中位數(shù)為中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)為考點(diǎn)：莖葉圖10、D【解題分析】

利用正弦定理化簡，再利用三角形面積公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．【題目詳解】由于，有正弦定理可得：，即由于在中，，，所以，聯(lián)立，解得：，由于為銳角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（負(fù)數(shù)舍去）故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理，余弦定理，以及面積公式在三角形求邊長中的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)題意得出平面后，由計(jì)算可得答案.【題目詳解】因?yàn)槿忮F的外接球的球心恰好是的中點(diǎn)，所以和都是直角三角形，又因?yàn)?，所以，，又，則平面.因?yàn)?，所以三角形為邊長是的等邊三角形，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱錐與球的組合，考查了三棱錐的體積公式，屬于中檔題.12、【解題分析】

對進(jìn)行整理，得到正弦型函數(shù)，然后得到其值域，得到答案.【題目詳解】，因?yàn)樗缘闹涤驗(yàn)?故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查輔助角公式，正弦型函數(shù)的值域，屬于簡單題.13、5【解題分析】設(shè)一部門抽取的員工人數(shù)為x,則.14、【解題分析】

A,B,C是三角形內(nèi)角，那么，代入等式中，進(jìn)行化簡可得角A,C的關(guān)系，再由，，成等比數(shù)列，根據(jù)正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，兩式相減可得關(guān)于的方程，解方程即得．【題目詳解】因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，則，整理得，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理和等比數(shù)列運(yùn)用，有一定的綜合性．15、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的周期公式計(jì)算即可.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期是.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正切函數(shù)周期公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力,等比數(shù)列的通項(xiàng),有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，=-9.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）詳見解析【解題分析】試題分析：（1）依題意：，將n取1，2，構(gòu)建方程組，即可求得a，b的值，從而可得與滿足的關(guān)系式；（2）先證明，于是，再用作差法證明，從而可得結(jié)論；試題解析：（1）依題意：，∴，∴……………①又，∴……………②解①②得從而（2）由于．但，否則可推得矛盾．故，于是．又，所以從而．考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列的應(yīng)用；2．?dāng)?shù)列與不等式的綜合18、(1)-3；(2)證明見解析.【解題分析】分析：（1）由題意可得，結(jié)合三點(diǎn)共線的充分必要條件可得.（2）由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得，則恒有成立.詳解：（1），∵三點(diǎn)共線，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、（1）；（2）小時【解題分析】

（1）由已知數(shù)據(jù)求得與的值，則線性回歸方程可求；（2）在（1）中求得的回歸方程中，取求得值即可．【題目詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)得：，，，，，，．（2）將代入回歸直線方程，（小時）．預(yù)測加工10個零件需要小時．【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸分析，解答此類問題的關(guān)鍵是利用公式計(jì)算，計(jì)算要細(xì)心．20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題結(jié)合余弦定理得角的值；（2）由正弦定理可知，，得，利用三角恒等變換得A的函數(shù)即可求范圍【題目詳解】（1）由題意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即，∴，又∵為銳角三角形，∴，則即，所以，即，綜上的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，注意銳角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題21、（1）（2）【解題分析】

（1）由中，D是邊BC上的點(diǎn)，根據(jù)面積關(guān)系求