01-02-數(shù)列的極限與性質(zhì)

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如圖所示,可知當(dāng)

n無(wú)限增大時(shí),無(wú)限逼近S

(劉徽割圓術(shù))

,用其內(nèi)接正

n

邊形的面積定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N

與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N

時(shí),就有故的極限為0.二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式例4.證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.2.收斂數(shù)列一定有界.證:

設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:

此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!則原數(shù)列一定發(fā)散.說明:內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“

–N

”

定義2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個(gè)收斂于不同極限