甘肅省武威市2021年中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

甘肅省武威市2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)試題卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題

卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項(xiàng).

1.3的倒數(shù)是（）

CC11

A.3B.-3C.-D.——

33

2.2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，習(xí)近平總書記勉勵全國各族人民在新的一年發(fā)揚(yáng)“為民服務(wù)孺子牛，創(chuàng)新發(fā)展

拓荒牛，艱苦奮斗老黃?！本?，某社區(qū)也開展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對稱圖形

的是（）

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.也+坦=3B.475-75=4C.V3xV2=V6D.底十&=4

4.中國疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國已無償向80個國家

和3個國際組織提供疫苗援助.預(yù)計(jì)2022年中國新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必

將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5xl08B.5xl09C.5x10'°D.50xl08

5.將直線y=5x向下平移2個單位長度，所得直線的表達(dá)式為（）

A.y=5x-2B.y=5x+2C.y=5（x+2）D.y=5（x-2）

6.如圖，直線的頂點(diǎn)B在8尸上，若NCBF=20°,則（）

A.70°B.60°C.75°D.80°

7.如圖，點(diǎn)A8,C,O,E在0O上，AB=CD,AAOB=A2°,則NC￡O=()

B.24°C.22°D.21°

8.我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問:

人與車各幾何？”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐一

輛車，那么有9人需要步行，問人與車各多少?設(shè)共有X人，y輛車，則可列方程組為（）

A]3(y-2)=xB]3(y+2)=x]3(y-2)=無口13(y-2)=x

2y—9=x2y+9=x2y+9=x2y+x=9

9.對于任意的有理數(shù)。力，如果滿足@+2=文也，那么我們稱這一對數(shù)a力為“相隨數(shù)對”，記為

232+3

（a,b）.若（根,〃）是“相隨數(shù)對”,則3加+2[3加+（2〃-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

10.如圖1,在AABC中，48=3。,8。，4。于點(diǎn)。（"）＞18。）.動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線

ABfBC方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)〃的運(yùn)動路程為尤,AAMD的面積為與x的函數(shù)圖象如圖

2,則AC的長為（）

A.3B.6C.8D.9

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.

11.因式分解：4m—2/W2=.

12.關(guān)于x的不等式—1〉」的解集是

32

13.已知關(guān)于x的方程尤2-2%+加=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是.

14.開學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓同學(xué)連續(xù)14天進(jìn)行了體溫測量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:

體溫（℃）36.336.436.536.636.736.8

天數(shù)（天）233411

這14天中，小蕓體溫眾數(shù)是℃.

15.如圖，在矩形ABC。中，E是8C邊上一點(diǎn)，//%。=90。,/￡14）=30。,尸是4。邊的中點(diǎn),

16.若點(diǎn)A（—3,y）,3（T,y,）在反比例函數(shù)），=七±1的圖象上，則必—為（填“>”或或“="）

X

17.如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90。的扇形，則此扇形的面積為dm2.

18.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2-2h3,a3+2^,^-2b1,則第”個式子是.

三、解答題：本大題共5小題，共26分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

19.計(jì)算：（2021-萬）°+（；尸一2cos45°.

2尤x2—4

20.先化簡，再求值：（2-旦）+「°，其中x=4.

x-2X2-4X+4

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理.如圖,

已知是弦A3上一點(diǎn)，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）:

①作線段AC的垂直平分線DE，分別交AB于點(diǎn)0，AC于點(diǎn)E，連接ARC。；

②以點(diǎn)。為圓心，D4長為半徑作弧，交于點(diǎn)尸（尸,A兩點(diǎn)不重合），連接DF,BD,BF.

（2）直接寫出引理結(jié)論：線段8C,BE的數(shù)量關(guān)系.

22.如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺

主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與嶺恫山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組

開展了測量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動，具體過程如下：

方案設(shè)計(jì):如圖2,寶塔CO垂直于地面,在地面上選取A,B兩處分別測得ACAD和NC8D的度數(shù)（A,D,B

在同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量：地面上45兩點(diǎn)的距離為5801,/。4。=42。,/。80=58°.

問題解決：求寶塔C。高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù):sin42°?0.67,cos42°=0.74,tan42°?0.90,sin58°=0.85,cos580=0.53,tan58°=1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程.

圖I1*12

23.一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外其他完全相同，每次把箱

子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小

球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

（1）請你估計(jì)箱子里白色小球的個數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球

顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

24.為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了以“學(xué)習(xí)百年黨史，匯聚團(tuán)結(jié)偉力”為主題的知識競賽，

競賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績分成AB,C,D,E五個等級，并繪制了如下不完整

的統(tǒng)計(jì)圖.請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題:

等級成績

A50<x<60

B60<x<70

C704xv80

D80<x<90

E90<x<100

(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，頻數(shù)分布直方圖中加=;

(2)補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖：

(3)所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)落在_______等級；

(4)若成績在80分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？

25.如圖1,小剛家，學(xué)校、圖書館在同一條直線上，小剛騎自行車勻速從學(xué)校到圖書館，到達(dá)圖書館還完

書后，再以相同的速度原路返回家中(上、下車時(shí)間忽略不計(jì)).小剛離家的距離y(m)與他所用的時(shí)間

x(min)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

(1)小剛家與學(xué)校的距離為m，小剛騎自行車的速度為m/min；

(2)求小剛從圖書館返回家的過程中，丁與x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)？

26.如圖，AABC內(nèi)接于是O。的直徑A3的延長線上一點(diǎn)，ADCB=NOAC.過圓心。作3c

的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：CO是0。的切線；

(2)若CD=4,CE=6,求OO的半徑及tanNOCB的值;

27.問題解決：如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)￡廠分別在A8,8c邊上，OE=AfDELA尸于點(diǎn)G.

(1)求證：四邊形A3C￡＞是正方形；

(2)延長C8到點(diǎn)，，使得=判斷"族的形狀，并說明理由.

類比遷移：如圖2,在菱形ABC。中，點(diǎn)E,F分別在A8,BC邊上，與A/相交于點(diǎn)G,

DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,求的長.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=3/+公+f與坐標(biāo)軸交于4(0,—2),8(4,0)兩點(diǎn)，直線

BC:y=-2x+8交》軸于點(diǎn)。.點(diǎn)。為直線A8下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸垂線，垂足為

G,DG分別交直線BC,AB于點(diǎn)E,F.

1,

（1）求拋物線丁=]/+法+C的表達(dá)式；

（2）當(dāng)GF=g,連接8D，求△5DE的面積；

（3）①”是＞軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形3EA折是矩形時(shí)，求點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動點(diǎn)P,滿足尸”=PC+2,求△尸周長的最小值.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項(xiàng).

1.3的倒數(shù)是（）

A.3B.—3C.—D.—

33

【答案】C

【解析】

【詳解】根據(jù)倒數(shù)的定義可知.

解：3的倒數(shù)是

3

主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握.需要注意的是：

倒數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒有倒數(shù).

倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

2.2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，習(xí)近平總書記勉勵全國各族人民在新的一年發(fā)揚(yáng)“為民服務(wù)孺子牛，創(chuàng)新發(fā)展

拓荒牛，艱苦奮斗老黃?！本?，某社區(qū)也開展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對稱圖形

的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合軸對稱圖形的定義即可求解.

【詳解】解：A：不符合軸對稱圖形的定義，不合題意;

B：符合軸對稱圖形的定義，符合題意；

C：不符合軸對稱圖形的定義，不合題意；

D：不符合軸對稱圖形的定義，不合題意；

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題考察軸對稱圖形的定義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義，即

當(dāng)一個平面圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合的圖形.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.V3+V3=3B.4石-6=4C.73x72=V6D.后+退=4

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案.

【詳解】0+6=26,故A錯；

4石一石=3石，故8錯；

V3x>/2=V6>C正確；

屈三瓜=2,故。錯.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的運(yùn)算和化簡，掌握其運(yùn)算法則是解決此題關(guān)鍵.

4.中國疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國已無償向80個國家

和3個國際組織提供疫苗援助.預(yù)計(jì)2022年中國新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必

將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5xl08B.5xl09C.5xlO10D.50xl08

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法即可求解.

【詳解】解：50億即5000000000,故用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為5xl（）9,

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題考察科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題。解題關(guān)鍵即掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方

法，科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式為ax10",其中14同〈10,〃為整數(shù).此外熟記常用的數(shù)量單位，如萬即是103

億即是1（）8等.

5.將直線y=5x向下平移2個單位長度，所得直線的表達(dá)式為（）

A.y=5x-2B.y-5x+2C.y=5（x+2）D.y=5（x-2）

【答案】A

【解析】

【分析】只向下平移，讓比例系數(shù)不變，常數(shù)項(xiàng)減去平移的單位即可.

【詳解】解：直線y=5x向下平移2個單位后所得直線的解析式為y=5x-2

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟記函數(shù)上下平移的規(guī)則“上加下減”在常數(shù)

項(xiàng).函數(shù)左右平移的規(guī)則“左加右減''在自變量，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平

移的規(guī)則求出平移后的函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

6.如圖，直線。石〃BEMAABC的頂點(diǎn)B在上，若NCBF=20°,則()

A.70°B.60°C.75°D.80°

【答案】A

【解析】

【分析】先求出NCBF的余角NABF,利用平行線性質(zhì)可求NAOE.

【詳解】解：；Rt^ABC,ZCBF=20°

ZABC=90°,ZABF=90°-ZCBF=90°-20°=70°,

???DE//BF,

ZADE=ZABF=JQ°.

故選擇4.

【點(diǎn)睛】本題考查余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)，掌握余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖，點(diǎn)A,8,C,O,E在上，A5=CD,NAO3=42°,則NCE￡>=（）

()

A.48°B.24°C.22°D.21°

【答案】D

【解析】

【分析】先證明AB=CD,再利用等弧的性質(zhì)及圓周角定理可得答案.

【詳解】解：???點(diǎn)在。。上，AB=CD,ZA0B=A2°,

AB=CD,

：.ZCED=-ZAOB」x42°=21。，

22

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的兩條弧，兩個圓心角，兩條弦之間的關(guān)系，圓周角定理，等弧的概念與性質(zhì)，掌握同

弧或等弧的概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問:

人與車各幾何?”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車：如果每2人坐一

輛車，那么有9人需要步行，問人與車各多少?設(shè)共有X人，y輛車，則可列方程組為（）

3(y—2)=x3(y+2)=尤Cf3(y-2)=x爪尸2)=x

1.<

2y-9=x2y+9=x2y+9=x2y+x=9

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)共有工人,y輛車，由每3人坐一輛車，有2輛空車，可得3（y-2）=x,由每2人坐一輛車,

有9人需要步行，可得：2y+9=x,從而可得答案.

【詳解】解：設(shè)共有x人，N輛車，則

3（y-2）=x

2y+9=x

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，確定相等關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

9.對于任意的有理數(shù)a1,如果滿足@+2=生也，那么我們稱這一對數(shù)。力為“相隨數(shù)對”，記為

232+3

（a,b）.若（根,〃）是“相隨數(shù)對”，則3加+2[3m+（2"-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析詵根據(jù)新定義，可得9〃?+4〃=0,將整式3m+2[3加+（2〃-1）]去括號合并同類項(xiàng)化簡得9加+4n-2,

然后整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???（/〃,"）是“相隨數(shù)對”,

mnm+n

—I—=--------,

232+3

整理得9m+4n=0,

故選擇A.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義相隨數(shù)對，找出數(shù)對之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值，掌握新定義相隨數(shù)對，找出

數(shù)對之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值是解題關(guān)鍵.

10.如圖1,在AAbC中，48=8。,8。，4。于點(diǎn)。（4）＞3。）.動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線

ABf3C方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)用的運(yùn)動路程為的面積為XV與x的函數(shù)圖象如圖

2,則AC的長為（）

【答案】B

【解析】

【分析】從圖象可知，A8=BC=屈，點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)B位置時(shí)，?￡＞的面積達(dá)到最大值尸3,結(jié)

合等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)、三角形的面積公式和勾股定理可求得4c的長.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，點(diǎn)M的運(yùn)動路程》=45+8。=2萬，點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)B的位置時(shí)，

?43的面積y達(dá)到最大值3,即?他。的面積為3.

"：AB=BC,BDA.AC,

：,AB=BC=V13,AC^2AD,-A8BD=3.

2

；?AD2+BD2=AB2=(V13)2=13,2AD?BD=.

AD2+2AU!BD+BD2=+=，即：(AD+BD)2=25,

AD2-2AERBD+BD1=-=，即：^AD-BD^=1.

AD＞BD,

AAD+BD^5,AD—BD=l.

兩式相加，得，2AD=6.

：.AC=2AD=6.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等式的性質(zhì)與恒等變形、函數(shù)圖象等知識點(diǎn)，從函數(shù)

圖象中獲取相應(yīng)的信息，利用勾股定理和三角形的面積公式，進(jìn)行等式的恒等變形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.

11.因式分解：4m—2m2=-

【答案】2m(2-m)

【解析】

【分析】先確定4，〃-2//的公因式為2/篦，再利用提公因式分解因式即可得到答案.

【詳解】解：4m—2nr—

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的確定是解題的關(guān)鍵.

12.關(guān)于x的不等式！了一1＞」的解集是_________.

32—

9

【答案】

2

【解析】

【分析】先去分母，再移項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，即可得到不等式的解集.

【詳解】解：-X-l>-

32

去分母得：2x—6>3,

移項(xiàng)得：2x>9,

9

X>一

2

9

故答案為：^>—

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解題的關(guān)鍵.

13.已知關(guān)于x的方程2%+機(jī)=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是.

【答案】1

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式，可由方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根可的△=b2-4ac=4-4m=0,

解得m=l.

故答案為1.

考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式

14.開學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓同學(xué)連續(xù)14天進(jìn)行了體溫測量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

體溫(℃)36.336.436.536.636.736.8

天數(shù)(天)233411

這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是℃.

【答案】36.6

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義就可解決問題.

【詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知眾數(shù)是36.6C,

故答案為:36.6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)求解，正確理解眾數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形ABCO中，E是8C邊上一點(diǎn)，44￡。=9()°,/￡4)=3()°,尸是4。邊的中點(diǎn),

EF=4cm,則BE=cm.

【答案】6

【解析】

【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解A。，再利用銳角三角函數(shù)依次求解AE,BE

即可得到答案.

【詳解】解：?.?乙4瓦＞=90°,F是AO邊的中點(diǎn)，￡F=4cm,

:.AD=2EF^S,

???ZDAE=30。，

AE=cos30。xA。=8x且=4瓜

2

矩形ABCD,

AD//BC,ZABE=9Q°,

NAEB=ZDAE=30°,

BE=AE?cos30。=4百x3=6.

2

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌

握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

16.若點(diǎn)A（—3,y）,3（T,%）在反比例函數(shù)y="■的圖象上，則M力（填或或“=”）

x

【答案】＜

【解析】

【分析】先確定y=■的圖像在一，三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，再利用反比例函

X

數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：?,?片+1>0,

y=竺生的圖像在一，三象限，且在每一象限內(nèi)，》隨X的增大而減小，

x

,.,-3>-4,

X<%，

故答案為：<

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握利用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)比較函數(shù)值的大小是解題的

關(guān)鍵.

1G7.如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積為____dm2.

【答案】2兀

【解析】

【分析】如圖，連接A8,證明為圓的直徑，再利用勾股定理求解AC,再利用扇形面積公式計(jì)算即可

得到答案.

【詳解】解：如圖，連接A8,

?」ZACB=90。，

二.AB為圓的直徑，AB=4,

AC2+BC2=AB2,AC=BC,

AC=BC=20

c

故答案為：2加

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

18.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2-2b\a3+2b5,a4-2b1,則第“個式子是.

【答案】優(yōu)+(-1)”立功21

【解析】

【分析】根據(jù)已知的式子可以看出：每個式子的第一項(xiàng)中。的次數(shù)是式子的序號；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序

號的2倍減1,而第二項(xiàng)的符號是第奇數(shù)項(xiàng)時(shí)是正號，第偶數(shù)項(xiàng)時(shí)是負(fù)號.

【詳解】解：???當(dāng)“為奇數(shù)H寸，(-1)，，+，=1；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，(一1)向=一1,

二第〃個式子是：a"+(-1)，，+'?b2n-'.

故答案為:廢+(-1戶？戶t

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的知識點(diǎn)，認(rèn)真觀察式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共5小題，共26分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

19.計(jì)算：(2021-^-)°+-2cos45°.

2

【答案】3-V2

【解析】

【分析】先進(jìn)行零指數(shù)基和負(fù)整數(shù)指數(shù)第，余弦函數(shù)值計(jì)算，再計(jì)算二次根式的乘法，合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：(2021-^-)°+(-)-'-2cos45°,

2

=l+2-2x—,

2

=3—5/2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查零指數(shù)嘉和負(fù)整數(shù)指數(shù)累，特殊角三角函數(shù)值，掌握零指數(shù)嘉和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)

算法則，特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

2

20.先化簡，再求值：(2-2-r)^/r-4,其中x=4.

x-2X2-4X+4

42

【答案】——-

x+23

【解析】

【分析】小括號內(nèi)先通分計(jì)算，將除法變成乘法并因式分解，根據(jù)乘法法則即可化簡，再代值計(jì)算即可.

2

2元一4lx(x-2)

【詳解】解：原式=（------X

x-2x-2(x+2)(x-2)

—__-_4_x_x__—_2_

x—2x+2

4

x+2

42

當(dāng)x=4時(shí)，原式=----------.

4+23

【點(diǎn)睛】本題考察分式的化簡求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型.解題的關(guān)鍵在于熟悉運(yùn)算法則和因式分解.

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理.如圖,

已知A氏C是弦AB匕一點(diǎn)，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）:

①作線段AC的垂直平分線DE，分別交AB于點(diǎn)°，AC于點(diǎn)E,連接AD,CD；

②以點(diǎn)。為圓心，D4長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)尸（居人兩點(diǎn)不重合），連接。

（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）①見解析；②見解析：（2）BC=BF

【解析】

【分析】（1）①分別AC為圓心，大于‘AC為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)，過兩弧的交點(diǎn)作直線￡>￡即

2

可得到答案，②按照語句依次作圖即可；

（2）由作圖可得：DA=DC=DF,再證明NDBC=/D3b,NDFB=NDCB,再證明

△DCB知DFB,從而可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）作出線段AC的垂直平分線OE，連接AO,CO；

以。為圓心，D4長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)尸，連接如圖示:

（2）結(jié)論：BC=BF.理由如下：

由作圖可得：OE是AC的垂直平分線，DA=DF,

：.DA=DC=DF,

：.ZDAC=ZDCA,AD=FD,

：.NDBC=NDBF,

???四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZDAB+ZDFB^ISQ°,

-.?ZDC4+ZDCB=180°,

ZDFB=ZDCB,

DB=DB,

：ADCB沿4DFB,

:.BC=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角

定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識解題是關(guān)鍵.

22.如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的

主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與嶺帽山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組

開展了測量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動，具體過程如下：

方案設(shè)計(jì):如圖2,寶塔CD垂直于地面,在地面上選取AB兩處分別測得ACAD和ZCBD的度數(shù)（AD,B

在同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量：地面上力,5兩點(diǎn)的距離為581?,/。1。=42°,/。8。=58。.

問題解決：求寶塔CO的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°*0.67,cos42°=0.74,tan42°?0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程.

【答案】33.4m

【解析】

【分析】設(shè)CD=xm,再利用銳角三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示4。,8。,再列方程，解方程可得答案.

【詳解】解：QCDLAB,設(shè)8=疝1,

CDxx

在川中，AO=

tanACADtan4200.9

CDxx

在心△CBO中，BD=

tanZCBDtan5801.6

AD+BD=AB,

---1----58,

0.91.6

；.125x=4176,

解得，xa33.4.

答：寶塔的高度約為33.4m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

23.一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外其他完全相同，每次把箱

子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小

球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

（1）請你估計(jì)箱子里白色小球的個數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球

顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

【答案】（1）1個；（2）?

【解析】

【分析】（1）先利用頻率估計(jì)概率，得到摸到紅球的概率為0.75,再利用概率公式列方程，解方程可得答

案；

（2）利用列表或畫樹狀圖的方法得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，得到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)

算即可得到答案.

【詳解】解：（1）：通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，

.?.估計(jì)摸到紅球的概率為0.75,

3

設(shè)白球有x個，依題意得:一=0.75

3+九

解得，x=l.

經(jīng)檢驗(yàn)：X=1是原方程的解，且符合題意，

所以箱子里可能有1個白球；

（2）列表如下:

紅1紅2紅3白

紅1（紅1,紅1）（紅I,紅2）（紅1，紅）（紅1,白）

紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，紅）（紅2，白）

紅3（紅3，紅.）（紅3，紅2）（紅3，紅3）（紅3,白）

白（白，紅Q（白，紅2）（白，紅）（白，白）

或畫樹狀圖如下:

開始

第一次

第二次

?.?一共有16種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球顏色恰好不同的有：

（紅I，白）、（紅2，白）、（紅3，白）、（白，紅I）、（白，紅2）、（白，紅3）共6種.

兩次摸出的小球恰好顏色不同的概率一=

168

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用頻率估計(jì)概率，利用列表法或畫樹狀圖的方法求解等可能事件的概率，掌握實(shí)

驗(yàn)次數(shù)足夠多的情況下，頻率會穩(wěn)定在某個數(shù)值附近，這個常數(shù)視為概率，以及掌握列表與畫樹狀圖的方

法是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

24.為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了以“學(xué)習(xí)百年黨史，匯聚團(tuán)結(jié)偉力”為主題的知識競賽，

競賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績分成A8,C,r）,E五個等級，并繪制了如下不完整

的統(tǒng)計(jì)圖.請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題:

等級成績

A50<x<60

B60<x<70

C70<x<80

D80<x<90

E90<x<100

學(xué)生成績扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，頻數(shù)分布直方圖中機(jī)=

（2）補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖；

（3）所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)落在_______等級；

（4）若成績在80分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少人?

【答案】(1)200,16；(2)見解析；(3)C；(4)940人

【解析】

【分析】(1)8等級人數(shù)40人+B等級的百分比為20%,利用抽查人數(shù)-其它各組人數(shù)即可;

(2)C等級200x25%=50人，，w=16即可補(bǔ)全頻率分布直方圖：

(3)根據(jù)中位數(shù)定義即可求即；

(4)成績80分以上的在。、E兩等級中人數(shù)占抽樣的百分比47%乘以學(xué)生總數(shù)即可.

【詳解】解：(1)8等級人數(shù)40人，由扇形圖可知B等級百分比為20%,

本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了40?20%=200名學(xué)生的成績，C等級200x25%=50人

w=200-40-50-70-24=16

故答案為：200,16；

(2)C等級200x25%=50人，/n=16

補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示：

學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖

A頻數(shù)/人

80

70

60

50

4()

30

20

10

(3)頻率分布直方圖已將數(shù)據(jù)從小到大排序，一共抽查200個數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)定義中位數(shù)位于第100,

101兩位置上成績的平均數(shù)，16+40=56<100,16+40+50=106>101,

.,.中位數(shù)在C等級內(nèi)；

故答案為：C

(4)成績80分以上的在。、￡兩等級中人數(shù)為：70+24=94人，占抽樣的百分比為94?200x100%=47%,

全校共有2000名學(xué)生，成績優(yōu)秀的學(xué)生有2000x47%=940(人).

答：全校2000名學(xué)生中，估計(jì)成績優(yōu)秀的學(xué)生有940人.

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和扇形圖獲取信息，樣本容量，補(bǔ)畫頻率分布直方圖，中位數(shù)，用樣本

的百分比含量估計(jì)總體中的數(shù)目等知識，熟練掌握上述知識是關(guān)鍵.

25.如圖1,小剛家，學(xué)校、圖書館在同一條直線上，小剛騎自行車勻速從學(xué)校到圖書館，到達(dá)圖書館還完

書后，再以相同的速度原路返回家中(上、下車時(shí)間忽略不計(jì)).小剛離家的距離y(m)與他所用的時(shí)間

x(min)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

(1)小剛家與學(xué)校的距離為m，小剛騎自行車的速度為m/min；

(2)求小剛從圖書館返回家的過程中，N與x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)？

【答案】(1)3000,200；(2)=-200x4-9000(20<x<45)；(3)20(X)m

【解析】

【分析】(1)從起點(diǎn)處為學(xué)校出發(fā)去處為圖書館，可求小剛家與學(xué)校的距離為3000m,小剛騎自行車勻速

行駛10分鐘，從3000m走到5000m可求騎自行車的速度即可；

(2)求出從圖書館出發(fā)時(shí)的時(shí)間與路程和回到家是的時(shí)間與路程，利用待定系數(shù)法求解析式即可；

(3)小剛出發(fā)35分鐘，在返回家的時(shí)間內(nèi)，利用函數(shù)解析式求出當(dāng)x=35時(shí)，函數(shù)值即可.

【詳解】解：(1)小剛騎自行車勻速從學(xué)校到圖書館，從起點(diǎn)3000m處為學(xué)校出發(fā)去5000m處為圖書館，

...小剛家與學(xué)校的距離為3000m,

小剛騎自行車勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m,

行駛的路程為5000-3000=2000m,

騎自行車的速度為2000+10=200m/min,

故答案為：3000,200；

(2)小剛從圖書館返回家的時(shí)間：5000+200=25(min).

總時(shí)間：25+20=45(min).

設(shè)返回時(shí)>與x的函數(shù)表達(dá)式為丫=履+"

/、/、f20Z+b=5000

把(20,5000),(45,0)代入得：45攵+匕=0，

k=-200

解得，〈

8=9000

y=-200x+9000(20<x<45).

(3)小剛出發(fā)35分鐘，即當(dāng)x=35時(shí)，

y=-200x35+9000=2000,

答：此時(shí)他離家2000m.

【點(diǎn)睛】本題考查從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車行駛速度，利用待定系數(shù)法求返回時(shí)解析式，

用行駛的具體時(shí)間確定函數(shù)值解決問題，掌握從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車行駛速度，利用待

定系數(shù)法求返回時(shí)解析式，用行駛的具體時(shí)間確定函數(shù)值解決問題是解題關(guān)鍵.

26.如圖，△A6C內(nèi)接于00,0是。。的直徑A3的延長線上一點(diǎn)，NDCB=NOAC.過圓心。作8C

的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E.

A

(1)求證：CO是0。的切線；

(2)若CD=4,CE=6,求。。的半徑及tanNOCB的值；

【答案】(1)見解析；(2)半徑為3,tan/OCB=2

【解析】

【分析】(1)證明OC是。。的半徑，即證明/OCD=90。，結(jié)合直徑所對圓周角是90°、等腰△04C和

已知NQ4C=NOC4即可求解；

EC

(2)由(1)中結(jié)論和3C〃OE可知，tan/OCB=tan/EOC=——，再由CO、CE和平行線分線段成

OC

比例，即可找到BZXOB、BC、OE的關(guān)系，最后利用自△OCD三邊的勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，-.OA=OC,

NOAC=NOC4,

?：NDCB=NOAC,

：.ZOCA=ZDCB,

QAB是O。的直徑，

:.ZACB=90°,

：.ZOCA+ZOCB^90°,

ZDCB+NOCB=90°,即ZOCD=90°,

:.OC±DC,

又：。。是o。的半徑，

.?.CD是。。的切線.

(2)BC//OE,

BDCDBD42

---=----,即nn-----=一,

OBCE63

設(shè)BD=2%,則OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,

-.OCLDC,

:.OC2+CD2^OD2

(3X)2+42=(5X)2,解得，x=l,

,-.OC=3x=3.即O。的半徑為3,

BC//OE,

:.ZOCB=ZEOC,

EC6

在RtAOCE中，tanNEOC-=—=2,

OC3

.?.tanZ.OCB-tanZ.EOC=2.

【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的證明、平行線分線段成比例、勾股定理和銳角三角函數(shù)，屬于中檔幾何綜合題,

解題的關(guān)鍵在于直徑所對圓周角是直角和方程思想.

27.問題解決：如圖1,在矩形A8C。中，點(diǎn)2F分別在48,8。邊上，DE=ARDE工AF于點(diǎn)G.

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）延長CB到點(diǎn)H,使得BH=AE,判斷八4族形狀，并說明理由.

類比遷移：如圖2,在菱形ABCD中，點(diǎn)瓦尸分別在48,8。邊上，。七與A/相交于點(diǎn)G,

DE=AF,Z.AED=60°,AE=6,BF=2,求ZJE的長.

【答案】問題解決：（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析；類比遷移：8

【解析】

【分析】問題解決：（1）證明矩形ABC。是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可.結(jié)合。ELAE和

NZM￡=90°可知ZBAF=NA0G,再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明AA小絲A/ME，即AB=4D,即

可求解；

（2）由（1）中結(jié)論可知AE=8b，再結(jié)合已知8"=AE，即可證明/XABH且△ZME，從而求得△4///

是等腰三角形；

類比遷移：由前面問題的結(jié)論想到延長C8到點(diǎn)H,使得3”=AE=6,結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到

AABH^AZME.再結(jié)合已知NA￡D=60?？傻玫冗匒A//E，最后利用線段B尸長度即可求解.

【詳解】解：問題解決：

（1）證明：如圖1,：四邊形A8CO是矩形，

:.ZABC^ZDAB=90°.

：.ZBAF+ZGAD=9Q°.

DE±AF,:.ZADG+ZGAD=905.

ZBAF=ZADG.

圖1

又；A/7=DE,；.AA8/7^AZM￡,，A8=AD.

；.矩形ABCO是正方形.

（2）AA/7F是等腰三角形.理由如下：

-.AB=AD,ZABH=ZDAE=90°,BH=AE,

：.^ABH^^DAE,：.AH=DE.

又?.?DE=AF,；.A"=AF,即八4〃尸是等腰三角形.

類比遷移：

如圖2,延長C8到點(diǎn)〃，使得B〃=AE=6,連接AH.

???四邊形ABCO是菱形，

AD//