高中教案部分角的概念推廣

課題：保的槌舍推廣

教學(xué)目的：

1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解并掌握“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的

角”的含義.

2.掌握所有與a角終邊相同的角（包括a角）的表示方法

3.體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，深刻理解推廣后的角的概念；

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握正角負(fù)角零角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法.

教學(xué)難點(diǎn)：終邊相同的角的表示.

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.復(fù)習(xí)：初中是如何定義角的？

從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.

這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來(lái)定義角，因此角的范圍

是[0°,36CP],這種定義稱為靜態(tài)定義，其弊端在于“狹隘”.

2.生活中很多實(shí)例會(huì)不在改范圍[0°,36CP]

體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720°,跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080°

經(jīng)過(guò)1小時(shí)時(shí)針、分針、秒針轉(zhuǎn)了多少度？

這些例子不僅不在范圍[O°,36CP],而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，

想想用什么辦法才能推廣到任意角？（運(yùn)動(dòng)）

二、講解新課：

1.角的概念的推廣

一條射線由原來(lái)的位置OA,繞著它的端點(diǎn)0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB,就形成

角a.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角a的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角a的終邊，射線的

端點(diǎn)0叫做角a的頂點(diǎn).

突出“旋轉(zhuǎn)”注意：“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”

（2）.“正角”與“負(fù)角”“0角”

我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)

角，如圖，以0A為始邊的角a=210°,B=-150°,丫=660°,

特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫

做零角.記法：角a或Na可以簡(jiǎn)記成a.

⑶意義

用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了.

1°角有正負(fù)之分如：a=210°p=-150°y=660°

2。角可以任意大

實(shí)例：體操動(dòng)作:旋轉(zhuǎn)2周(360。X2=720。)3周(360°X3=1080°)

3°還有零角一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn)

角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角.要注意，正角和負(fù)角是表示

具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負(fù)規(guī)定純系習(xí)慣，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無(wú)

正負(fù)，就好象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣.

2.“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角

角的頂點(diǎn)合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于X軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象

限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第兒象限的角(角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限)

例如：30。、390。、-330。是第I象限角,300。、-60。是第IV象限角，585。、1180。是第III

象限角，-2000。是第H象限角等.

3.終邊相同的角

⑴觀察：390。，-330。角，它們的終邊都與30。角的終邊相同

⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0。到360。的角與&(ZeZ)個(gè)周角的和:

390。=30。+360。(k=1)

-330°=30°-360°(%=-1)

30°=30°+0X360°(A=O)

1470°=30°+4X360°(A=4)

-1770°=30°-5X360°(k=-5)

⑶結(jié)論：所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合:

S={/?|笈=a+H36(T,A:eZ}

即：任何一個(gè)與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

⑷注意以下四點(diǎn)：

⑴kwZ

(2)a是任意角；

(3)h360P與a之間是“+”號(hào)，

如匕361-30°,應(yīng)看成&?36。+(-30°)；

(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè),

它們相差360。的整數(shù)倍.

三、講解范例：

例1在0到360度范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角

(1)-120°(2)640°(3)-950012；

解：(DV-1200=-360°+240°,

.??240°的角與740。的角終邊相同，它是第三象限角.

(2)V640°=360°+280°,

???280°的角與640°的角終邊相同，它是第四象限角.

(3)--950°12'=-3X3600+129°48',

.??129°48'的角與-950°12'的角終邊相同,它是第三象限角.

例2寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中在一360。~720。間的角寫出來(lái):

(1)60°⑵-21。⑶363。14'.

解：(1)S={分|/7=60P+h36CP,k&Z}

S中在-360°~720間的角是

-1X360°+60°=-280°；

0X3600+60°=60°；

1X360°+60°=420°.

(2)S={^ljff=-21°+k-36(y,k&z}

S中在-360°?720間的角是

0X3600-21°=-21°；

1X360--21°=339°；

2X360°-21°=699°.

(3)S={/7|/7=363P14'+左TGOP,k&Z}

S中在-360°?720°間的角是

-2X3600+363°14'=-356°46'

-1X3600+363°14'=3°14'；

0X360°+363°14'=363"14'.

課題：佞卷你的三傕曲故（一）

教學(xué)目的：

1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義.

2.理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).

3.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.

4.理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào).

5.理解并掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

教學(xué)重點(diǎn):任意角三角函數(shù)的定義.三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),終邊相同的角的同一三角

函數(shù)值相等

教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.

授課類型：新授課.

課時(shí)安排：2課時(shí).

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入:

1.在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函

數(shù):

ba

sina=cosa-_

cc

_b_a

tana二cota二

ab

2.前面我們對(duì)角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，并學(xué)習(xí)了弧度制，知道

角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的，在這個(gè)基礎(chǔ)上，今天我們來(lái)

研究任意角的三角函數(shù).

二、講解新課：

對(duì)于銳角三角函數(shù)，我們是在直角三角形中定義的，今天，對(duì)于任意角的三角函數(shù)，我

們利用平面直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行研究.

1.設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）

則P與原點(diǎn)的距離r=荷+H=&2+y>0.

y

2.比值上叫做a的正弦記作：sina=—

r

Y

比值一叫做。的余弦記作:

r

比值￡叫做。的正切記作:

X

X_X

比值4叫做a的余切記作：cota二

yy

r

比值C叫做a的正割記作：seca二

XX

_r

比值二叫做a的余割記作：csca-

yy

根據(jù)相似三角形的知識(shí),對(duì)于終邊不在坐標(biāo)軸上確定的角a,上述六個(gè)比值都不會(huì)隨

JT

P點(diǎn)在a的終邊上的位置的改變而改變.當(dāng)角a的終邊在縱軸上時(shí)，即&=攵萬(wàn)+：(keZ)

時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x都為0,所以tana、seca無(wú)意義；當(dāng)角a的終邊在橫軸

上時(shí)，即。=4"(KGZ)時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y都為0,所以cota、esca

無(wú)意義，除此之外，對(duì)于確定的角a,上面的六個(gè)比值都是惟一確定的實(shí)數(shù)，這就是說(shuō)，正

弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).

以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).

3.突出探究的兒個(gè)問(wèn)題：

①角是“任意角"，當(dāng)。=2k7r+a(keZ)時(shí)，0與a的同名三

角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函

數(shù)值相等.

②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用.

③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)

④r〉0而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定.

⑤定義域：對(duì)于正弦函數(shù)sina=?,因?yàn)閞>0,所以？恒有意義，即a取任意實(shí)數(shù)，,

rr

恒有意義，也就是說(shuō)sina恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)

的定義域；對(duì)于正切函數(shù)tana=2,因?yàn)閤=0時(shí)，』無(wú)意義，即tana無(wú)意義，又當(dāng)且

XX

僅當(dāng)角a的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x=0,所以當(dāng)。的終邊不在縱軸上時(shí)，上恒有意義，

X

即tana恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是awk兀+-*GZ).從而有

2

y=sinaRy=cotaawk7i(kGZ)

JI

y=cosaRy=secaawk兀+—(kGZ)

JI

y=tanaa于kjr+—(keZ)y-escaawki(kGZ)

4.注意：

(1)以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半

軸重合.

(2)/是角a的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才能說(shuō)明

角a是任意的.

(3)sina是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“a”的積?其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.

(4)定義中只說(shuō)怎樣的比值叫做a的什么函數(shù)，并沒(méi)有說(shuō)a的終邊在什么位置(終邊在坐標(biāo)

軸上的除外)，即函數(shù)的定義與a的終邊位置無(wú)關(guān).

(5)比值只與角的大小有關(guān).

(6)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：

任意角的三角函數(shù)就包含銳角三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函

數(shù)的定義是一致的，銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例.所不同的是，銳角三角函

數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比

來(lái)定義的.即正弦函數(shù)值是縱坐標(biāo)比距離，余弦函數(shù)值是橫坐標(biāo)比距離，正切函數(shù)值是縱

坐標(biāo)比橫坐標(biāo)，余切函數(shù)值是橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)，正割函數(shù)值是距離比橫坐標(biāo)，余割函數(shù)值是

距離比縱坐標(biāo).

(7)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角

坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與X軸的非負(fù)半軸重合，利用我們

熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.

課題：佞叁保的三俗備數(shù)(二)

教學(xué)目的：

1.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

2.通過(guò)運(yùn)用公式的訓(xùn)練過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生解決三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)、恒等式證明的解題

技能，提高運(yùn)用公式的靈活性；

3.注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問(wèn)題；在解決三角函數(shù)化簡(jiǎn)問(wèn)題過(guò)程中，注

意培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過(guò)程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)

題的能力，從而提高邏輯推理能力.

教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：(1)已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)正負(fù)號(hào)的選擇；(2)

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)；(3)證明三角恒等式.

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入:

1.設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)

則P與原點(diǎn)的距離r=+百=正+原＞o

2.任意角的三角函數(shù)的定義及其定義域.

V

sina=-R

r

esca=—{a|awk7jkGZ)

y

Xn

cosa-—R

seca=—aIaw5+kjr.keZ

x

tana=-<a1a+k兀，k&Z>

尤I2J

sina>Osinoc>O

cosoc<0cosa>0

cota=—\a\a^k7v,k&Z)tana.<Otana>O

ycota.<0cota>0

以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).sincc<Osincc<O

cosa>0

3.三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律：coscc<0

tancc>Otanoc<O

第一象限全為正,二正三切四余弦.cotoc>0cotoc<0

4.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等

誘導(dǎo)公式一(其中ZwZ)：用弧度制可寫成

sin(。+k?36(P)=sinasin(a+2k7r)=sina

cos(a+k?36(P)=cosacos(a+2k/r)=cosa

tanQ+k?360P)=tanatan@+2Qr)=tana

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0?2n間角的三角函數(shù)值問(wèn)題.

二、講解新課：

sina

1.公式：sin2+cos2a=1-------=tanatana?8ta=1

cosa

2.采用定義證明：

1°vx2-by2=r2且sina=上，cosa=—sin?a+cos2a=1

rr

jrs\na_yx

2°當(dāng)a#版"+2(左eZ)時(shí)，—_x__—__-二tana

2cosarrrxx

3°當(dāng)aw攵笈且awhr+工時(shí),tana?cota二

2xy

3.推廣：sin2a+cos20=l這種關(guān)系稱為平方關(guān)系，類似的平方關(guān)系還有:

sec26z-tan2a=1esc2a-cot2a=1

cinnCOS(7

迫竺=tana這種關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系，類似的商數(shù)關(guān)系還有："上=cota

cosasina

tana-cota=l這種關(guān)系稱為倒數(shù)關(guān)系.類似的倒數(shù)關(guān)系還有：csca-sina=l

seca-cosa=1

4.點(diǎn)題：三種關(guān)系，八個(gè)公式，稱為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

5.注意：

1?！巴恰钡母拍钆c角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，

secacsca

.a

sin-

Da

如：sin23a+cos23a=1------=taR-

2。上述關(guān)系(公式)都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立.

3。據(jù)此，由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的其余各三角函數(shù)值，且因?yàn)槔谩捌?/p>

方關(guān)系”公式，最終需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用，若使用時(shí),要注意討論符

號(hào).

6

①對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)的乘積為1(倒數(shù)關(guān)系).

②任一角的函數(shù)等于與其相鄰的兩個(gè)函數(shù)的積(商數(shù)關(guān)系).

③陰影部分，頂角兩個(gè)函數(shù)的平方和等于底角函數(shù)的平方(平方關(guān)系).

課題：三俗必散的4筒幺式

教學(xué)目的：掌握相關(guān)的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)公式，會(huì)使用該公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行相關(guān)的化簡(jiǎn)。

教學(xué)重點(diǎn)：公式的記憶.

教學(xué)難點(diǎn)：化簡(jiǎn)公式在題目中的應(yīng)用。

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程：

終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等

例如390°和-330°都與30°終邊位置相同，由三角函數(shù)定義可知它們的三角函數(shù)值相同，

即

sin390°=sin300cos390°=cos30°

sin(-330°)=sin30°cos(-330°)=cos30°

公式一(其中女￡Z):用弧度制可寫成

sin(?+k?36(P)=sinasin(a+2ATT)=sina

cos(a+k?36(P)=cosacos(a+=cosa

tanQ+k?36CP)=tanatan0+2左4)=tana

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0?2五間角的三角函數(shù)值問(wèn)題.

公式二：用弧度制可表示如下：

sin(18(T+a)=-sinasin(?+a)=-sina

cos(l8CP+a)=-coscrcos(〃+a)=-cos6Z

tan(l8(F+a)=taivztan(r+a)=tana

它刻畫(huà)了角180。+。與角。的正弦值(或余弦值)之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：以角。終邊

的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值(或余弦值)與角。的正弦值(或余弦值)是一對(duì)相反

數(shù).這是因?yàn)槿粼O(shè)。的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則角。終邊的反向延長(zhǎng)線，即180

°+a角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P'(-x,-y)(如圖4-5-1).由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

定義，即可得sina二y,cosa=x,

sin(180°+a)=-y,cos(180。+a)=~x,

所以:sin(180°+6f)=-sin6Z，cos(180°+a)=-cos(X.

公式三：sin(-a)=-sina

COS(-6Z)=COS6T

(4-5-2)

tanJa)=-tana

它說(shuō)明角-a與角a的正弦值互為相反數(shù)，而它們的余弦值相等.這是因?yàn)?，若沒(méi)a的終

邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則角-。的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P'(x,-y)(如圖4-5-2).由

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得

sina=y,cosa=x,

sin(-a)=一y,cos(-a)=x,

所以：sin(-a)二-sina,cos(-Q)=cosa

公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)準(zhǔn)確地

確定點(diǎn)P'的坐標(biāo)是關(guān)鍵，這里充分利用了對(duì)稱的性質(zhì).事實(shí)上，在圖1中，點(diǎn)P'與點(diǎn)P關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱，而在圖2中，點(diǎn)P'與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱.直觀的對(duì)稱形象為我們準(zhǔn)確寫出P'

的坐標(biāo)鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的優(yōu)越性.

公式四：用弧度制可表示如下:

sin(18(P-a)=sinasin(7r-。)=sina

cos(l8cp-a)=-cosacos(〃-a)=-coscif

tanQ8(P-a)=-tanatan(r-a)=-tancr

公式五：

sin(36(T-a)=-sinasin(24-a)=-sina

cos(36(F-a)=cowcos(2"一a)=cow

tan06CP-a)=-tancrtanQr—a)=-tawz

這兩組公式均可由前面學(xué)過(guò)的誘導(dǎo)公式直接推出(公式四可由公式二、三推出，公式

五可由公式一、三推出)，體現(xiàn)了把未知問(wèn)題化為已知問(wèn)題處理這一化歸的數(shù)學(xué)思想.公式

的推導(dǎo)并不難，然而推導(dǎo)中的化歸意識(shí)和策略是值得我們關(guān)注的.

五組誘導(dǎo)公式可概括為：

a+k?360°(kez),-a,180°±cr,360°-a的三角函數(shù)值，等于。的同名函

數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).

這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號(hào)兩邊的三角函數(shù)名稱相同；“把a(bǔ)看成銳角”是指a原

本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個(gè)……符號(hào)”是指a的同名函數(shù)

值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個(gè)符號(hào)(正號(hào)或負(fù)號(hào)，主要是負(fù)號(hào)，正號(hào)可省略)，

而這個(gè)符號(hào)是把任意角a視為銳角情況下的原角原函數(shù)的符號(hào).應(yīng)注意講清這句話中每一

詞語(yǔ)的含義，特別要講清為什么要把任意角。看成銳角.建議通過(guò)實(shí)例分析說(shuō)明.

誘導(dǎo)公式&

sin(90°-a)=cosa,cos(90°-a)=sina.

tan(90°-a)=cota,cot(90°-a)=tana.

sec(90°-a)=csca,csc(90°-a)=seca

誘導(dǎo)公式7：

sin(90°+a)=cosa,cos(90°+a)=-sina.

tan(90°+a)=-cota,cot(90°+a)=-tana.

sec(90°+a)=-csca,csc(90°+a)=seca

如圖所示sin(90°+a)=MP=OMcosa

cos(90°+a)=OM'=PM=—MP=-sina

或由6式：sin(90°+a)=sin[180°-(90°-a)]=sin(90°-a)cosa

cos(90°+a)=cos1180°-(90°-a)J--sin(90°-a)=-cosa

誘導(dǎo)公式8：

sin(270°-a)=-cosa,cos(270°-a)=-sina.

tan(270°-a)=cota,cot(270°-a)=tana.

sec(2700-a)=-csca,csc(270°-a)=seca

誘導(dǎo)公式9：

sin(270°+a)=-cosa,cos(270°+a)=sina.

tan(270°+a)=-cota,cot(270°+a)=-tana.

sec(270°+a)=csca,csc(270°+a)=-seca

課題：語(yǔ)俗俗《。與差的三保留施

教學(xué)目的：掌握相關(guān)的三角函數(shù)和與差的三角公式以及二倍角公式，會(huì)使用該公式對(duì)三角

函數(shù)式進(jìn)行相關(guān)的化簡(jiǎn)。

教學(xué)重點(diǎn)：公式的記憶.

教學(xué)難點(diǎn)：化簡(jiǎn)公式在題目中的應(yīng)用。

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程：

1.探究cos(a+0wcosa+cos尸

TTTTTTTT7T

反例：cos—=cos(——F—)wcos——kcos—

23636

問(wèn)題：cos(a+/7),cos%cos/?的關(guān)系？

解決思路：探討三角函數(shù)問(wèn)題的最基本的工具是直角

坐標(biāo)系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線.人J《

2.探究：在坐標(biāo)系中a、。角構(gòu)造a+p角

3.探究：作單位圓，構(gòu)造全等三角形—--白，

4.探究：寫出4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)\

6(1,0),P2(cosa,sina)

々(cos0+尸),sin(a+尸))，7^(cos(-/7),sin(-/?)),

5.計(jì)算山間，后周

山乙卜J[cos(a+月)一+sin2(a+尸)

同周二7[cosa-cos(-^)]2+[sina-sin(-^)J2

6.探究由忸間二怛周導(dǎo)出公式

[cos(a+/?)-1F+sin2(a+力)=[cos(-/?)-cosa『+[sin(-〃)-sina]2

展開(kāi)并整理得2-2cos(a+P)=2-2(cosacos4-sinasin尸)

所以cos(a+P)=cosacos4-sinasin4可記為C{a+13)

7.探究特征

①熟悉公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)；

②此公式對(duì)任意a、B都適用

③公式記號(hào)CQ0

8.探究cos(a-13)的公式

以一。代P得：cos(6Z-P)=cosocos/?+sinasin°

公式記號(hào)C(a”)

兩角和與差的正弦

JIJI

1.推導(dǎo)sin(a+p)=cos[—-(a+p)]=cos[(--a)-p]

.71,71.

=cos(--a)xcosp+sin(--a)sinp

=sinacosp+cosasinp

即：sin(a+/7)=sinacos#+sinacos/(Sa+p)

以一。代B得：sin(cr-/?)=sin?cos/?-sin?cos/?(Sa-p)

兩角和與差的正切公式Ta+P,Ta-p

1.tan(a+B)公式的推導(dǎo)

*/cos(a+B)M

t(+0)_sin(a+/?)_sinacos/?+cosasin〃

cos(a+，)cosacos/?-sinasin/?

當(dāng)cosacosp^O時(shí);分子分母同時(shí)除以cosacosB得:

tana+tan尸

tan@+。)

1一tanatan.

/mtana-tan分

以IU一B代B得：tan@一萬(wàn)）=-----------j

1+tanatan尸

IT

其中aGR、（3eR,a，B、a+夕都不等于2〃+GZ

2.注意：1。必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式.

即：tana,tanp,tan（a±B）只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）

用誘導(dǎo)公式來(lái)解.

2。注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào).

3.引導(dǎo)學(xué)生自行推導(dǎo)出cot（a土B）的公式一用cota,cot0表示

t（+p）_cos（a+〃）_cosacos4-sinasin/

sin（a+〃）sinacosf3+cosasinJ3

wc八cotacotZ?-l

當(dāng)smasinp^O時(shí),cot（a+p）=------------

cot/?+cota

/acotacot￡+l

同理，得：cot（a-p）=------------

cot夕一cota

二倍角公式的推導(dǎo)

在公式（5方尸），（。"萬(wàn)），（〃+，中，當(dāng)a=〃時(shí)，得到相應(yīng)的一組公式：

sin2a=2sinacosa；（S2a）

22

cos2￡Z=cos<z-sina；（C2￡r）

2tana

tan2?=-；Q

1-tana

因?yàn)閟in2a+cos?a=l,所以公式父2^）可以變形為

cos2a=Zcos?或co2。=1-2sida（C；Q

公式（Sza），（Ga），（Ga），（心儀）統(tǒng)稱為二倍角的三角函數(shù)公式，簡(jiǎn)稱為二倍角

公式.

課題：三俗涵政⑥或外傳展（一、二）

教學(xué)目的：

1.理解并掌握作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的方法.

2.理解并熟練掌握用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法.

3.理解并掌握用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象解最簡(jiǎn)單的三角不等式的方法.

4.理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義；

5.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

6.掌握正弦函數(shù)y=Asin（ox+0）的周期及求法

教學(xué)重點(diǎn)：用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象.

教學(xué)難點(diǎn)：用單位圓中的余弦線作余弦函數(shù)的圖象.

授課類型：新授課

課時(shí)安排：4課時(shí)

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)p（x,y）

則p與原點(diǎn)的距離尸=Jw?+僅|'=y[x2+/>0

2.比值上叫做a的正弦記作：sina=-

r11

XA（x,y）

比值上叫做a的余弦記作：cosa=—

r

y

比值上叫做a的正切記作：tana二二/

XX/

X

比值上叫做a的余切記作：cota=—A___,

yy

比值二叫做a的正割記作：seca=—

XX

比值上叫做a的余割記作：csca=—

yy

以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).

今天我們要研究怎樣作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，作三角函數(shù)圖象的方法一般有兩種:

（1）描點(diǎn)法：（2）幾何法（利用三角函數(shù)線）.但描點(diǎn)法的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表得到的

數(shù)值，不易描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的精確位置，因此作出的圖象不夠準(zhǔn)確.幾何法則比較準(zhǔn)確.

二、講解新課：

1.正弦線、余弦線：設(shè)任意角a的終邊與單位圓相交于

點(diǎn)P（x,y）,過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M,則有

yx

sina=—=MP,cosa=—=OM

rr

向線段MP叫做角a的正弦線，有向線段0M叫做角a的余弦

線.

2.用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角

函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù).在一般情

況下，兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長(zhǎng)度應(yīng)該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，從而影響初

學(xué)者對(duì)曲線形狀的正確認(rèn)識(shí).

第一步：列表.首先在單位圓中畫(huà)出正弦線和余弦線.在直角坐標(biāo)系的X軸上任取一點(diǎn)

以a為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓分成幾等份，過(guò)圓上的各分

點(diǎn)作X軸的垂線，可以得到對(duì)應(yīng)于角0,一，一,…，2n的正弦線及余弦線（這等價(jià)于

632

描點(diǎn)法中的列表）.

第二步：描點(diǎn).我們把x軸上從0到2”這一段分成幾等份，把角x的正弦線向右平行

移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的

點(diǎn).

第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到正弦函數(shù)丫=5吊*,XG

[0,2打的圖象.

現(xiàn)在來(lái)作余弦函數(shù)y=cosx,xG[0,2n]的圖象:

第一步:列表.表就是單位圓中的余弦線.

第二步:描點(diǎn).把坐標(biāo)軸向下平移，過(guò)a作與x軸的正半軸成彳角的直線，

又過(guò)余弦線O,A的終點(diǎn)A作x軸的垂線，它與前面所作的直線交于A',那么A與AA'

長(zhǎng)度相等且方向同時(shí)為正，我們就把余弦線。A“豎立”起來(lái)成為AA',用同樣的方法，

將其它的余弦線也都“豎立”起來(lái).再將它們平移，使起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則終

點(diǎn)就是余弦函數(shù)圖象上的點(diǎn).

第三步：連線.用光滑曲線把這些豎立起來(lái)的線段的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到余弦函數(shù)

y=cosx,xG[0,2”]的圖象.

以上我們作出了y=sinx,xG[0,2n]和y=cosx,x￡[0,2n]的圖象，現(xiàn)在把上述圖象

沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2口，就得到y(tǒng)=sinx,xGR和y=cosx,

xGR的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

4y

f(x)=sin(x)

4y

z

-6K-4JC-2TT7b6兀6冗x

f(X)=cos(x)

3.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(描點(diǎn)法)：

正弦函數(shù)丫=5抽*,xE[0,2冗]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

(0,0)(g,l)5,0)(:")(2K,0)

22

只要這五個(gè)點(diǎn)描出后，圖象的形狀就基本確定了.因此在精確度不太高時(shí)，常采用五點(diǎn)

法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，要求熟練掌握.

探究：

(1)y=cosx,xeR與函數(shù)y=sin(x+])xeR的圖象相同

(2)將y=sinx的圖象向左平移?即得y=cosx的圖象

(3)也同樣可用五點(diǎn)法作圖：y=cosxxw[0,2兀]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是

(0,1)咚,0)(n,-l)(當(dāng),0)(2K,1)

22

(1)定義域：

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R[或(-8,+?=)],

分別記作：

y=sirir,xER

y=cos%，

⑵值域

因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度，所以IsiarIWl,IcosxI

W1,即

一iWsinxWl,—IWCOSXWI

也就是說(shuō)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[-1,1].

其中正弦函數(shù)產(chǎn)siru/CR

jr

①當(dāng)且僅當(dāng)工=一+2左孫Z￡Z時(shí)，取得最大值1?

2

TT

②當(dāng)且僅當(dāng)X=——+2%〃，AGZ時(shí)，取得最小值一1.

2

而余弦函數(shù))，=(：0$方x€R

①當(dāng)且僅當(dāng)x=2/",ZGZ時(shí)，取得最大值1.

②當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+l)*，%GZ時(shí)，取得最小值一1.

(3)周期性

由sin(x+2k〃)=sin_r,cos(x+2k")=cosx(A6Z)知：

正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.

一般地，對(duì)于函數(shù)兀v),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),

都有火x+Q=Kx)，那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

由此可知，2",4",.......,—2",—4Jt,........2%”(Z6Z且kWO)都是這兩個(gè)函數(shù)

的周期.

對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)犬幻，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正

數(shù)就叫做犬X)的最小正周期.

注意：

1°周期函數(shù)xe定義域M,則必有x+TeM,且若T>0則定義域無(wú)上界；T<0則定義域無(wú)

下界；

2。“每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則/(x)就不為周期函數(shù)(如了(松+。#(必))

3叮往往是多值的(如y=sinx2兀,4n,…,-2兀,-4兀,…都是周期)周期T中最小的正數(shù)叫

做f(x)的最小正周期(有些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期)

根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2k"(ZGZ且左W0)都是它

的周期，最小正周期是2萬(wàn).

(4)奇偶性

由sin(—%)——siar

cos(—x)=cosx

可知：y=sirtx'為奇函數(shù)

y=cosx為偶函數(shù)

二正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

(5)單調(diào)性

TT34

從丫=4皿，xdE--,—］的圖象上可看出：

22

TTTT

當(dāng)xW—］時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值由-1增大到1.

22

7T3左

當(dāng)XC［-,3—］時(shí)，曲線逐漸下降，siiu的值由1減小到-1.

22

結(jié)合上述周期性可知：

TTJT

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［—―+2k〃，一+24乃］(%ez)上都是增函數(shù)，其值從一1

22

增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［―+2k〃，一+2%*］(kez)上都是減函數(shù)，其值從1減小

22

到一1.

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2Z—1)",2k"J(AGZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到

1;在每一個(gè)閉區(qū)間［2%〃，(2k+l)"］(ACZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

課題：三保曲酸⑥或馬像場(chǎng)(三)

教學(xué)目的：

1.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)；

2.掌握性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；

3.會(huì)解決一些實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)：正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

正切線：

首先練習(xí)正切線，畫(huà)出下列各角的正切線：正切線是AT.

正切函數(shù)丁=1211%xeR,且+GZ)的圖象，稱''正切曲線

1.定義域：(尤|尤工］+女%,左ezj,

2.值域：R

3當(dāng)、6一+升匕2。,當(dāng)E—沙卜Z時(shí)”0

4.周期性：T=TT

5.奇偶性：tan(—%)=—tan尤奇函數(shù).

6.單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間(一5+Z肛、+%萬(wàn)人wz內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.

余切函數(shù)丫=31*,xe(kJi,kn+JI),k￡Z的性質(zhì)：

1.定義域：XCRM/W&TTMEZ

2.值域：R,

3.當(dāng)x￡ki,+工Z￡z時(shí)y>0,當(dāng)x￡%"一乙次4左￡z時(shí)y<0

4.周期：T=萬(wàn)

5.奇偶性：奇函數(shù)

6.單調(diào)性：在區(qū)間（版■，伍+1）乃）上函數(shù)單調(diào)遞減.

課題：已初三扁備藪魚(yú)求扁

教學(xué)目的：

1.要求學(xué)生初步（了解）理解反正弦、反余弦函數(shù)的意義，會(huì)由已知角的正弦值、余

弦值求出［0,2向范圍內(nèi)的角，并能用反正弦，反余弦的符號(hào)表示角或角的集合.

2.掌握已知三角函數(shù)值求角的解題步驟.

教學(xué)重點(diǎn)：已知三角函數(shù)值求角

教學(xué)難點(diǎn)：誘導(dǎo)公式與利用三角函數(shù)值求角的綜合運(yùn)用

授課類型：新授課

課時(shí)安排：2課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

誘導(dǎo)公式一(其中左eZ):用弧度制可寫成

sin(a+k-36(T)=sinasin(a+2ATT)=sina

cos(a+k-36(P)=cosacos(a+2后乃)=cosa

tan^z+k?360P)=tanatanQ+2k7r)-tana

公式二：用弧度制可表示如下：

sin(l8(?+a)=-sinasin(7T+i)=-sincr

cos(l8(T+a)=-cosacos(〃+a)=-costz

tanQ8(F+a)=tanatan〃+a)=tana

公式三：sin(-a)=-sinacos(-cr)=cosatanQa)=Tana

公式四：用弧度制可表示如下：

sin(18(F-a)=sinasin(4一a)=sina

cos(l8CP-a)=-cosacos(九一a)=-cosa

tanQ8(F-a)=-tancrtan^r-cr)=-taruz

公式五：用弧度制可表示如下：

sin(36(F-a)=-sinasin(2〃-a)=-sina

cos(36(P-a)=cos6ZCOS(2TF—a)=cosa

tan06(P-o)=-tancrtan。4—a)=-taro

誘導(dǎo)公式6：

sin(90°-a)=cosa,cos(90°-a)=sincu

tan(90°-a)=cota,cot(90°-a)=tancu

sec(90°-a)=csca,csc(90°-a)=seca

誘導(dǎo)公式7：

sin(90°+a)=cosa,cos(90°+a)=-sina.

tan(90°+a)=-cota,cot(90°+a)=-tana.

sec(90°+a)=-csca,csc(90°+a)=seca

誘導(dǎo)公式8：