河北省石家莊市石家莊二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題

石家莊二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022級(jí)高二1月月考數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘，滿分150分）一、單選題：本題共8小蹦．每小題5分，共40分1.已知兩條直線和互相平行，則a等于（）A.1或 B.或3 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列出方程，求解并驗(yàn)證即可得解.【詳解】由直線和平行，得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線與平行，符合題意，所以.故選：D2.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是()A.2 B. C.4 D.4【答案】C【解析】【詳解】試題分析：雙曲線方程變形為，所以，實(shí)軸長(zhǎng)為考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)3.直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再由弦長(zhǎng)公式可分析出當(dāng)時(shí)，最小，更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入/從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，該點(diǎn)在圓內(nèi)，因?yàn)椋砸蟮淖钚≈?，即求圓心到直線的最大距離，顯然當(dāng)時(shí)，最大，最小，又因?yàn)閳A，所以圓心，，則，故此時(shí).故選：D.4.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角，從而求解.【詳解】由題意知平面，且四邊形為正方形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，從而，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故C項(xiàng)正確.故選：C.5.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的定義及可以列出關(guān)于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，，，（），則，解之得又則則，則則，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則的最小值為故選：B6.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，圓與圓的位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，利用圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系即可求得.【詳解】圓的圓心，半徑為，因?yàn)閳A上至少存在一點(diǎn)，使得，則，所以圓與圓的位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，所以可得，又因?yàn)?，所以，?即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.已知圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P到軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，得到點(diǎn)恰為橢圓的左右焦點(diǎn)，得出，得到，結(jié)合橢圓的定義，得到點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，求得點(diǎn)的軌跡方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，不妨設(shè)，又由橢圓，可得，則，所以恰為橢圓的左右焦點(diǎn)，可得，因?yàn)?，可得，所以，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且，可得，則，所以點(diǎn)為橢圓，聯(lián)立方程組，解得，可得，所以點(diǎn)到軸的距離為.故選：B.8.十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.設(shè)第次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為，數(shù)列滿足：，則數(shù)列中的取值最大的項(xiàng)為（）A.第3項(xiàng) B.第4項(xiàng) C.第5項(xiàng) D.第6項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】由已知可得，則，然后由，得，而為正整數(shù)，從而可求得答案.【詳解】由題可知，由此可知，所以，因?yàn)?，令，解得（舍），由此可知時(shí)時(shí)，故的取值最大，故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在遞增的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，則下列說法正確的是（）A.q＝1 B.數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列C.S8＝510 D.數(shù)列{lgan}是公差為2的等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)題干條件判斷并計(jì)算得到q和a1的值，可得到等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)判斷即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】由題意，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的兩個(gè)根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，∴a10．∵等比數(shù)列{an}遞增數(shù)列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8滿足題意．∴q＝2，a12．故選項(xiàng)A不正確．a(chǎn)n＝a1?qn﹣1＝2n．∵Sn2n+1﹣2．∴Sn+2＝2n+1＝4?2n﹣1．∴數(shù)列{Sn+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．故選項(xiàng)B正確．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故選項(xiàng)C正確．∵lgan＝lg2n＝n．∴數(shù)列{lgan}是公差為1的等差數(shù)列．故選項(xiàng)D不正確．故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.10.下列命題中，不正確的選項(xiàng)有（）A.若成等比數(shù)列，則為的等比中項(xiàng)，且B.為等比數(shù)列是的充要條件C.兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、、仍為等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，則，…成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，等比數(shù)列中的項(xiàng)可以為負(fù)數(shù)，舉出反例即可；選項(xiàng)B，判斷必要性時(shí)，舉出反例，通項(xiàng)為零的常數(shù)列，判斷即可；選項(xiàng)C，分別設(shè)等比數(shù)列的公比為，的公比為，接著分析它們積、商、倒數(shù)數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可；選項(xiàng)D，舉出反例，等比數(shù)列為……，判斷，…是不是等比數(shù)列即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，成等比數(shù)列，為的等比中項(xiàng)，但，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，充分性：若為等比數(shù)列，可得，得，滿足充分性；必要性：若數(shù)列是通項(xiàng)為零的常數(shù)數(shù)列，滿足，不滿足為等比數(shù)列，不滿足必要性；B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，兩個(gè)等比數(shù)列（公比為）與（公比為），它們的積數(shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，它們的商數(shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，倒數(shù)數(shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列；C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若等比數(shù)列為……，顯然，……，…不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤；故選：ABD.11.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.是數(shù)列中的最大項(xiàng) D.【答案】ACD【解析】【分析】分析出，可得出數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，進(jìn)而可判斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由可得與異號(hào)，或，又，且，可得與同號(hào)，即，且一個(gè)大于，一個(gè)小于，若，則，不符合題意；若，則，為遞減數(shù)列，滿足，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，，所以，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由上可知，正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，所以，是數(shù)列中的最大值，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在等比數(shù)列的公比的取值不確定時(shí)，首先分析的符號(hào)，進(jìn)一步確定的取值范圍，解本題的關(guān)鍵就是結(jié)合已知條件分析出，并結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行推導(dǎo).12.圓冪定理是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理，經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦被這點(diǎn)所分成的兩線段長(zhǎng)的積相等，已知圓的半徑為5，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的一定點(diǎn)，且，過點(diǎn)P引兩條弦AC，BD，則下列說法正確的是（）A.為定值B.的取值范圍為C.當(dāng)時(shí)，如圖以O(shè)為原點(diǎn)，OP為x軸，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為D.當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD面積的最大值為40【答案】ABC【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義結(jié)合圓冪定理判斷A，利用數(shù)量積的運(yùn)算律判斷B，利用幾何法求得軌跡方程判斷C，利用弦心距和基本不等式求解最值判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)圓O與x軸正負(fù)半軸的交點(diǎn)分別為E、F，則，故A正確；對(duì)于B，取BD的中點(diǎn)為G，連接OG，則，又，所以的取值范圍為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，整理可得：，即AB中點(diǎn)M的軌跡方程為，故C正確；對(duì)于D，記分別為O到AC，BD的距離，，故D錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知兩異面直線和的方向向量分別為和，若，則與所成角為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)異面直線和的方向向量分別為和，且，結(jié)合求解.【詳解】因?yàn)?，?所以異面直線與所成角為60°.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】，由于，故答案為：15.設(shè)，過定點(diǎn)A的直線和過定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)P，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意，先算出定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)斜率關(guān)系找到兩直線垂直，得到，最后利用三角恒等變換算出的最大值即可.【詳解】因?yàn)橹本€可化為，所以該直線過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€可化為，所以該直線過定點(diǎn)，又因?yàn)閷?duì)任意，，所以直線與直線垂直，又因?yàn)橹本€與直線相交于點(diǎn),所以.記,則，所以其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為.故答案為：.16.已知橢圓，過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的取值范圍為_____________．【答案】【解析】【分析】對(duì)直線、的斜率是否同時(shí)存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線、分別與兩坐標(biāo)軸重合時(shí)，直接求出的值；當(dāng)直線、的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)直線、分別與兩坐標(biāo)軸重合時(shí)，；當(dāng)直線、斜率都存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立，可得，所以，，同理可得，所以，，因?yàn)椋瑒t，令，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又因?yàn)椋?，則，此時(shí)，，則.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.四、解答題，本題共6小題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)和．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出，再代入，然后升次作差即可得到為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)即可；（2）利用裂項(xiàng)求和法即可得到.【小問1詳解】設(shè)，，則，解得，所以．故，當(dāng)時(shí)，，又，故作差得，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故．【小問2詳解】由（1）得，故18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是2.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)，且被曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用條件求出點(diǎn)的軌跡方程，所求方程表示一個(gè)圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是，，即，則，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；小問2詳解】由（1）可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為，圓心到直線的距離，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得，解得或，此時(shí)直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接由的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得解.（2）直接用錯(cuò)位相減法求和即可，進(jìn)一步即可得證.【小問1詳解】由題意得，得，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由題意得，，兩式相減，得，所以，因?yàn)?，所?20.如圖，過拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交C于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，且x1x2＝－4．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）R，Q是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，R，Q的縱坐標(biāo)之和為1，R，Q的垂直平分線交y軸于點(diǎn)T，求的面積的最小值．【答案】（1）x2＝4y（2）3【解析】【分析】(1)由已知設(shè)出直線MN的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，解得，則拋物線方程可求；(2)設(shè)R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t）根據(jù)垂直平分線|TR|＝|TQ|，R，Q的縱坐標(biāo)之和為1，求得，然后根據(jù)求得有關(guān)k的函數(shù)表達(dá)式，此時(shí)即可求出的面積的最小值.【小問1詳解】由題意，設(shè)直線MN方程為，由得x2－2pkx－p2＝0，由題意知x1，x2是方程兩根，所以x1x2＝－p2＝－4，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y．【小問2詳解】設(shè)R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），因?yàn)辄c(diǎn)T在RQ的垂直平分線上，所以|TR|＝|TQ|，得．因?yàn)?，，所以，即，所以?＝y(tǒng)3＋y4－2t．又因?yàn)閥3＋y4＝1