2024屆上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、盧高、東昌等七校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、盧高、東昌等七校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A． B． C． D．2．已知向量，滿足且，若向量在向量方向上的投影為，則（）A． B． C． D．3．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.若，則（）A．的最大值為 B．的最小值為 C．的最大值為 D．的最小值為4．已知，則三個(gè)數(shù)、、由小到大的順序是（）A． B．C． D．5．方程的解所在的區(qū)間為（）A． B．C． D．6．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù).則的值介于0到之間的概率為（）.A． B． C． D．7．三邊，滿足，則三角形是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形8．已知點(diǎn)，則P在平面直角坐標(biāo)系中位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn).若，且與所成的角為，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．10．某市在“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇前夕，在全市高中學(xué)生中進(jìn)行“我和‘一帶一路’”的學(xué)習(xí)征文，收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．又已知全市高一年級(jí)共交稿2000份，則高三年級(jí)的交稿數(shù)為（）A．2800 B．3000 C．3200 D．3400二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．命題“數(shù)列的前項(xiàng)和”成立的充要條件是________.（填一組符合題意的充要條件即可，所填答案中不得含有字母）12．若向量與平行．則__．13．已知為等差數(shù)列,,前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)n的值為_(kāi)__________.14．已知圓Ω過(guò)點(diǎn)A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝0的距離為_(kāi)____．15．方程在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)是________16．等比數(shù)列中首項(xiàng)，公比，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖，是的直徑，所在的平面，是圓上一點(diǎn)，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.19．某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué)，該商場(chǎng)向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付元，沒(méi)有獎(jiǎng)金；第二種，每天的底薪元，另有獎(jiǎng)金.第一天獎(jiǎng)金元，以后每天支付的薪酬中獎(jiǎng)金比前一天的獎(jiǎng)金多元；第三種，每天無(wú)底薪，只有獎(jiǎng)金.第一天獎(jiǎng)金元，以后每天支付的獎(jiǎng)金是前一天的獎(jiǎng)金的倍.（1）工作天，記三種付費(fèi)方式薪酬總金額依次為、、，寫(xiě)出、、關(guān)于的表達(dá)式；（2）該學(xué)生在暑假期間共工作天，他會(huì)選擇哪種付酬方式？20．已知α為銳角，且tanα=（I）求tanα+（II）求5sin21．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

由判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，再求出，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【題目詳解】由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】由，即，所以，由向量在向量方向上的投影為，則，即，所以，故選A．3、C【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)出（n2﹣n）d＜2n2d，從而得到d＞0，所以a1＜0，a8＞0，由此求出數(shù)列{Sn}中最小值是S1．【題目詳解】∵（n+1）Sn＜nSn+1，∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1即na1na1+n2d，整理得（n2﹣n）d＜2n2d∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0∴d＞0∵1＜0∴a1＜0，a8＞0數(shù)列的前1項(xiàng)為負(fù)，故數(shù)列{Sn}中最小值是S1故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列中前n項(xiàng)和最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．4、C【解題分析】

比較三個(gè)數(shù)、、與的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小，可得出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【題目詳解】，，，，且，函數(shù)為減函數(shù)，所以，，即，，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)冪的大小關(guān)系，常用的方法有如下幾種：（1）底數(shù)相同，指數(shù)不同，利用同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小；（2）指數(shù)相同，底數(shù)不同，利用同指數(shù)的冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小；（3）底數(shù)和指數(shù)都不相同時(shí)，可以利用中間值法來(lái)比較大小.5、B【解題分析】試題分析：由題意得，設(shè)函數(shù)，則，所以，所以方程的解所在的區(qū)間為，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).6、D【解題分析】

由，得.由函數(shù)的圖像知，使的值介于0到之間的落在和之內(nèi).于是，所求概率為.故答案為D7、C【解題分析】

由基本不等式得出，將三個(gè)不等式相加得出，由等號(hào)成立的條件可判斷出的形狀．【題目詳解】為三邊，，由基本不等式可得，將上述三個(gè)不等式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，是等邊三角形，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形形狀的判斷，考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”條件的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題．8、B【解題分析】

利用特殊角的三角函數(shù)值的符號(hào)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，直接判斷點(diǎn)所在象限即可．【題目詳解】，．在平面直角坐標(biāo)系中位于第二象限．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)值的符號(hào)，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

連接EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=BD，所以EH∥FG，且EH=FG．所以四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)锳C=BD=a，AC與BD所成的角為60°所以EF=EH．所以四邊形EFGH為菱形，∠EFG=60°．∴四邊形EFGH的面積是2××()2=a2故答案為a2，故選A.考點(diǎn)：本題主要是考查的知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體和公理四，公理四：和同一條直線平行的直線平行，證明菱形常用方法是先證明它是平行四邊形再證明鄰邊相等，以及面積公式屬于基礎(chǔ)題．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是先證明四邊形EFGH為菱形，然后說(shuō)明∠EFG=60°，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出所求．10、D【解題分析】

先求出總的稿件的數(shù)量，再求出高三年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的比例，再求高三年級(jí)的交稿數(shù).【題目詳解】高一年級(jí)交稿2000份，在總交稿數(shù)中占比，所以總交稿數(shù)為，高二年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級(jí)交稿數(shù)為．故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖的有關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、數(shù)列為等差數(shù)列且，．【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為，由數(shù)列的前項(xiàng)和公式分析可得數(shù)列為等差數(shù)列且，，反之驗(yàn)證可得成立，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合，故有數(shù)列為等差數(shù)列且，，反之當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列且，時(shí)，，；故數(shù)列的前項(xiàng)和”成立的充要條件是數(shù)列為等差數(shù)列且，，故答案為：數(shù)列為等差數(shù)列且，．【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件的判定，關(guān)鍵是掌握充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求得的值．【題目詳解】由題意，向量與平行，所以，解得．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、20【解題分析】

先由條件求出，算出，然后利用二次函數(shù)的知識(shí)求出即可【題目詳解】設(shè)的公差為，由題意得即，①即，②由①②聯(lián)立得所以故當(dāng)時(shí)，取得最大值400故答案為：20【題目點(diǎn)撥】等差數(shù)列的是關(guān)于的二次函數(shù)，但要注意只能取正整數(shù).14、【解題分析】

求得線段和線段的垂直平分線，求這兩條垂直平分線的交點(diǎn)即求得圓的圓心，在求的圓心到直線的距離.【題目詳解】∵A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），則AB的垂直平分線方程為y＝2；BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），，則BC的垂直平分線方程為y﹣2＝﹣3（x﹣2），即3x+y﹣8＝1．聯(lián)立，得．∴圓Ω的圓心為Ω（2，2），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝1的距離為d．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)求圓心坐標(biāo)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.15、4.【解題分析】分析：通過(guò)二倍角公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而推斷或，進(jìn)而求得結(jié)果.詳解：，所以或，因?yàn)?，所以或或或，故解的個(gè)數(shù)是4.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦的倍角公式，方程的求解問(wèn)題，注意一定不要兩邊除以，最后求得結(jié)果.16、9【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列求和公式，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后得到關(guān)于和的等式，結(jié)合，討論出和的值，得到答案.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中首項(xiàng)，公比，所以成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，共項(xiàng)，所以整理得因?yàn)樗钥傻?，等式右邊為整?shù)，故等式左邊也需要為整數(shù)，則應(yīng)是的約數(shù)，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，所以，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列求和的基本量運(yùn)算，涉及分類討論的思想，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）由，構(gòu)造是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消可求.【題目詳解】（1）由得：，即，且數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）由（1）得：【題目點(diǎn)撥】關(guān)系式可構(gòu)造為，中檔題。18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）2.【解題分析】

（1）首先證明平面，利用線面垂直推出平面平面；（2）找到直線與平面所成角所在三角形，利用三角形邊角關(guān)系求解即可.【題目詳解】（1）∵是直徑，∴，即，又∵所在的平面，在所在的平面內(nèi)，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）∵平面，∴直線與平面所成角即，設(shè)，∵，∴，∴，∴.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了面面垂直的證明，直線與平面所成角的求解，屬于一般題.19、（1），，；（2）第三種，理由見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、，可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式可計(jì)算出、、關(guān)于的表達(dá)式；（2）利用（1）中的結(jié)論，計(jì)算出、、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）設(shè)三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、，它們的前項(xiàng)和分別為、、，第一種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列為常數(shù)列，且，所以；第二種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以；第三種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，，則.因此，該學(xué)生在暑假期間共工作天，選第三種付酬方式較好.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20