工程力學(xué)課堂教學(xué)軟件教師版虛位移原理

第二篇彈性靜力學(xué)(二)

第3章虛位移原理在彈性桿件問題中的應(yīng)用清華大學(xué)范欽珊

2024年1月11日

引言

基本概念

互等定理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

虛位移原理在彈性桿件上的應(yīng)用

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

結(jié)論與討論

引言

引言

分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的優(yōu)勢分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

引言分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

直接方法－利用平衡、變形協(xié)調(diào)和物性關(guān)系

應(yīng)力分析方法；

求解超靜定問題的方法。

引言分析應(yīng)力、變形和位移的兩種方法

引言

能量方法－利用能量原理（同時滿足平衡、變形協(xié)調(diào)和物性關(guān)系)

虛位移原理

虛力原理

最小勢能原理

最小余能原理

引言能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的優(yōu)勢能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的的優(yōu)勢

引言

一般能量守恒原理：可以確定加力點沿加力方向的位移ABCFP外力功＝系統(tǒng)的應(yīng)變能能解決什么問題？不能解決什么問題？能量原理分析應(yīng)力、變形和位移的

6個方面的優(yōu)勢

引言

可以確定任意點沿任意方向的位移；

可以確定位移函數(shù)；

既可以確定位移，又可以確定內(nèi)力和應(yīng)力；

既適用于線性問題，又適用于非線性問題；

可以用于直接求解超靜定；

容易擴展到二維和三維問題。

基本概念

基本概念

功和余功；

應(yīng)變能和余應(yīng)變能；

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計算；

功和余功

基本概念

基本概念功和余功討論一般的力和位移關(guān)系：廣義力與廣義位移－

力－線位移；

力偶－角位移；

均勻分布載荷－？；

均勻分布壓力－？；一般的力和位移關(guān)系－

基本概念功和余功功(work)－以位移作為積分變量dW=FPd

W=

dW=

FPd

dW

基本概念功和余功余功(complementarywork)

－以力作為積分變量dWc=

dFPdWc=

dFPFPWc=

dWc

應(yīng)變能和余應(yīng)變能

基本概念

基本概念

應(yīng)變能和余應(yīng)變能廣義的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

＝(),

=()

－可以是正應(yīng)力也可以是切應(yīng)力

－可以是正應(yīng)變也可以是切應(yīng)變

基本概念

應(yīng)變能和余應(yīng)變能應(yīng)變能(strainenergy)－以

為積分變量

=

d－應(yīng)變比能V

＝

dV－應(yīng)變能

基本概念

應(yīng)變能和余應(yīng)變能

余應(yīng)變能(complementary

strainenergy)－以

為積分變量

c

=

d

－余應(yīng)變比能Vc＝

c

dV

－余應(yīng)變能

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計算

基本概念

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計算幾個前提：

桿件變形后橫截面保持平面；

靜力學(xué)方程成立；

FNx=

AdAMz=-AydAMy=AzdAMx=AdA

細長桿忽略剪力影響。

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計算對于線性問題由

=

dV

＝

dV以及

＝E

和＝G

得到

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計算這一公式也可以由微段上內(nèi)力作功累加得到dxdx+

dxFNxFNx

基本概念

桿件應(yīng)變能和余應(yīng)變能的計算對于非線性問題以及非線性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系得到V

和Vc的表達式。由

c

=

dVc＝

c

dV(參閱：工程力學(xué)教程(II)

第3章中的例題)

互等定理

互等定理功的互等定理

功的互等定理

位移互等定理

應(yīng)用能量守恒原理和疊加原理可以得到兩個互等定理

功的互等定理

互等定理FPmFPmFP－系統(tǒng)FS－系統(tǒng)

互等定理功的互等定理

功的互等定理(reciprocaltheoremofwork)FPmFPm

互等定理功的互等定理定理：一個力系的力在另一個力系引起的相應(yīng)的位移上所作之功等于另一個力系的力在這一個力系引起的相應(yīng)的位移上所作之功。FPm

PnS

P2S

P1S

互等定理FP－系統(tǒng)FS－系統(tǒng)

互等定理FP－系統(tǒng)FS－系統(tǒng)

S1P

S2P

SnP

S1P

S2P

SnP

互等定理FPm

互等定理

互等定理功的互等定理

互等定理功的互等定理特殊情形iFi

iij

jiji

jj

ijFjFi

ij=Fj

ji

位移互等定理

互等定理iFi

iij

jiji

jj

ijFj

互等定理位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=ji＝Fii1

iij

jiji

jj

ij1iFi

iij

jiji

jj

ijFj

互等定理位移互等定理Fi

ij=Fj

ji

ij=

ji

互等定理位移互等定理位移互等定理

一個力(廣義的)與另一個力(廣義的)若數(shù)值相等，則一個力(廣義的)在另一個力(廣義的)作用處引起的位移，數(shù)值上等于另一個力(廣義的)在這一個力(廣義的)作用處引起的位移。

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

原理表述

彈性體平衡必要性的簡單證明

虛位移模式的多樣性

虛位移原理的應(yīng)用條件

原理表述

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理原理表述彈性體平衡的必要條件

對于處于平衡狀態(tài)的彈性體，令其自平衡位置起有一微小虛位移，則作用在彈性體上的外力在相應(yīng)的虛位移上所作之功與彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所作之功之和等于零。彈性體平衡

We＋Wi＝0

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理原理表述彈性體平衡的充分條件

對于處于某一位置的彈性體，令其自這一位置起有一微小虛位移，若作用在彈性體上的外力在相應(yīng)的虛位移上所作之功與彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所作之功之和等于零，則彈性體在這一位置保持平衡。彈性體平衡

We＋Wi＝0

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理原理表述虛位移原理

彈性體平衡的充分和必要條件是，作用在彈性體上的外力在相應(yīng)的虛位移上所作之功與彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所作之功之和等于零。彈性體平衡

We＋Wi＝0

彈性體平衡必要條件的簡單證明

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明以承受分布載荷的簡單支承梁為例平衡時，有平衡位置虛位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明令梁自變形后的平衡位置起，有一虛位移

w平衡位置平衡位置虛位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明

微段dx上的外力qdx在虛位移

w上所作虛功為(qdx)wxdx

全部外力在虛位移

w上所作之總虛功為

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明00

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明

全部外力在虛位移

w上所作之總虛功為

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明考察微段的變形和虛位移，計算內(nèi)力虛功平衡位置虛位移xdx

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明考察微段的變形和虛位移，計算內(nèi)力虛功平衡位置虛位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明考察微段的變形和虛位移，計算內(nèi)力虛功其中(d)

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理彈性體平衡必要性的簡單證明彈性體平衡

虛位移模式的多樣性

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是與真實位移有關(guān)的位移，也可以與真實位移無關(guān)

可以是真實位移的增量，這時外力的虛功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變能的增量。虛位移原理變?yōu)閺椥泽w平衡

We＝V

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是某一(或某幾個)真實位移的增量

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是另外一個與之相關(guān)的系統(tǒng)的真實位移

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移模式的多樣性虛位移必須微小的、滿足變形協(xié)調(diào)條件（包括約束條件)

可以是另外一個與之相關(guān)的系統(tǒng)的真實位移

可以是某一(或某幾個)真實位移的增量

可以是與真實位移有關(guān)的位移，也可以與真實位移無關(guān)

可以是真實位移的增量，這時外力的虛功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變能的增量。虛位移原理變?yōu)閺椥泽w平衡

We＝V

虛位移原理的應(yīng)用條件

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理

應(yīng)用于彈性體的虛位移原理虛位移原理的應(yīng)用條件

所有推證過程，只涉及小變形條件下的平衡方程，而與物性關(guān)系無關(guān)。

虛位移原理的應(yīng)用條件僅為小變形。

虛位移原理既適用于線性物性關(guān)系也適用于非線性物性關(guān)系。

虛位移原理在彈性桿件上的應(yīng)用

虛位移原理的應(yīng)用

求解位移曲線的近似方程

由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理

求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用

先假設(shè)一含有一個或幾個待定常數(shù)的位移函數(shù)，這一函數(shù)必須滿足連續(xù)條件和約束條件。

然后，以真實位移的增量作為虛位移原理的表達式：

We＝V

分別計算物外力虛功

We和應(yīng)變能增量

V

代入虛位移原理的表達式，得到待定常數(shù)從而求得位移函數(shù)。求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用例題已知：F、EI、l求：梁的位移曲線以及梁中點的撓度求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用例題1，假設(shè)位移函數(shù)2,計算應(yīng)變能3,由虛位移計算外力虛功和應(yīng)變能增量求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用2,計算應(yīng)變能3,由虛位移計算外力虛功和應(yīng)變能增量虛位移：外力虛功：應(yīng)變能增量：求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用3,由虛位移計算外力虛功和應(yīng)變能增量虛位移：外力虛功：應(yīng)變能增量：4，應(yīng)用虛位移原理確定待定常數(shù)

We＝V

求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用4，應(yīng)用虛位移原理確定待定常數(shù)

We＝V

5，確定位移曲線方程以及梁中點的撓度位移曲線方程求解位移曲線的近似方程

虛位移原理的應(yīng)用5，確定位移曲線方程以及梁中點的撓度位移曲線方程梁中點的撓度精確值誤差1.4%

由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理

虛位移原理的應(yīng)用

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

載荷系統(tǒng)：F1、F2、...、Fi、...、Fn

加力點位移：

1、

2

、...、i、...、n

虛位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

虛位移模式

1＝

2＝...

n＝0

i＝0/外力虛功：應(yīng)變能增量：應(yīng)變能000

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)外力虛功：應(yīng)變能增量：應(yīng)變能應(yīng)用虛位移原理

We＝V

000

虛位移原理的應(yīng)用由虛位移原理導(dǎo)出卡氏第一定理卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

系統(tǒng)的總應(yīng)變能對于某個力作用點沿加力方向位移的一階偏導(dǎo)數(shù)等于這個力。

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題已知：圖示結(jié)構(gòu)中，A、B、C三處均為鉸鏈，

AB桿和BC桿的拉壓剛度均為EI。FP

、

l、EI

等均為已知。求：加力點B處的位移。

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題

一般情形下，都是先由變形前的平衡位置求得桿的受力，再由受力計算變形或位移。

現(xiàn)在必須考察變形以后的平衡位置才能求得桿的受力，然后求得位移。問題的性質(zhì)

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題解決問題的思路

先將系統(tǒng)的應(yīng)變能V

表示成位移

B函數(shù):V

＝V

(

B)；

再應(yīng)用卡氏第一定理建立力FP與位移

B的關(guān)系。

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理例題1，建立位移

B與變形

l

之間的關(guān)系

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理1，建立位移

B與變形

l

之間的關(guān)系2,建立應(yīng)變能表達式V

＝V

(

B)例題

虛位移原理的應(yīng)用卡氏第一定理1，建立位移

B與變形

l

之間的關(guān)系2,建立應(yīng)變能表達式V

＝V

(

B)例題3,應(yīng)用卡氏第一定理建立力FP與位移

B之間的關(guān)系

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

應(yīng)用于彈性體的勢能駐值定理與最小勢能原理

鐵摩辛柯方法

瑞利－里茲法

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

應(yīng)用于彈性體的勢能駐值定理與最小勢能原理應(yīng)用于彈性體的勢能駐值定理與最小勢能原理彈性體的總勢能V＝V

＋VPV

－彈性勢能，即應(yīng)變能；

VP－載荷的位置勢能。

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用應(yīng)用于彈性體的勢能駐值定理與最小勢能原理

應(yīng)用于彈性體的勢能駐值定理：彈性體平衡構(gòu)形的充要條件是系統(tǒng)的總勢能取駐值。

V＝

V

＋

VP＝0

V

－彈性勢能增量；

VP－載荷的位置勢能增量。

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

應(yīng)用于彈性體的最小勢能原理：彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的總勢能取最小值。應(yīng)用于彈性體的勢能駐值定理與最小勢能原理

V＝

V

＋

VP

0

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

鐵摩辛柯方法

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用F=FPcr時，令其從直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變到鄰近的微彎屈曲構(gòu)形這時系統(tǒng)總勢能改變量為

V＝

V

＋

VP鐵摩辛柯方法

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

V＝

V

＋

VP

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(1)

對于一端固定、另一端自由的壓桿，假定屈曲位移函數(shù)：

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(2)

對于兩端鉸鏈的壓桿，假定屈曲位移函數(shù)：

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)

對于一端固定、另一端自由，承受軸向均布載荷的壓桿，假定屈曲位移函數(shù)：則應(yīng)變能的改變量為載荷位置勢能的改變量為

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)則應(yīng)變能的改變量為載荷位置勢能的改變量為

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)則應(yīng)變能的改變量為載荷位置勢能的改變量為

V

＋

VP＝0

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法例題(3)近似解精確解

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用鐵摩辛柯方法

瑞利－里茲法

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

首先假設(shè)包含未知參數(shù)(例如an,n=1,2,...)的屈曲構(gòu)形級數(shù)解，這一級數(shù)必須滿足幾何邊界條件；

其次根據(jù)所假設(shè)的解，計算以未知參數(shù)(例如an,n=1,2,...)表示的系統(tǒng)總勢能；根據(jù)勢能駐值定理

V＝0，由

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法根據(jù)勢能駐值定理

V＝0，由于其中都是任意的，于是得到據(jù)此即可確定未知參數(shù)a1,a2,...,an等等。

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法例題

兩端鉸支的變截面壓桿，截面的慣性矩按下列公式變化：求：臨界力。

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法例題

假設(shè)包含未知參數(shù)a1

的屈曲構(gòu)形為：系統(tǒng)的總勢能為

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法例題系統(tǒng)的總勢能為由

勢能原理在彈性穩(wěn)定分析中的應(yīng)用瑞利－里茲法

結(jié)論與討論

結(jié)論與討論

關(guān)于應(yīng)變能的計算

關(guān)于互等定理

應(yīng)用于剛體和變形體的虛位移原理之比較

關(guān)于虛位移模式的多樣性

能否通過虛位移原理確定彈性桿件的內(nèi)力和應(yīng)力

怎樣減小近似解的誤差

關(guān)于泛函和變分的概念

結(jié)論與討論

關(guān)于應(yīng)變能的計算

結(jié)論與討論關(guān)于應(yīng)變能的計算計算應(yīng)變能時能不能應(yīng)用疊加原理

不能；

能；

有時能，有時不能；什么時候能，什么時候不能？

－請讀者結(jié)合具體問題加以分析研究

結(jié)論與討論關(guān)于應(yīng)變能的計算計算應(yīng)變能時能不能應(yīng)用疊加原理

M

和F

引起的應(yīng)變能是不是等于二者引起的應(yīng)變能之和？如果將

M

換為扭轉(zhuǎn)力偶Mx

,Mx

和F引起的應(yīng)變能是不是等于二者引起的應(yīng)變能之和？

關(guān)于互等定理

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?=?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?=?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?=?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理?

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理百分表

懸臂梁受力如圖示。現(xiàn)用百分表測量梁在各處的撓度，請設(shè)計一實驗方案。移動百分表；固定百分表？

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理均布載荷q－廣義力廣義位移－？

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理

能不能應(yīng)用互等定理確定撓度曲線與梁的原軸線之間的面積？“互等

”必須有兩個相應(yīng)的系統(tǒng)，另一個系統(tǒng)是什么？

與所要求的面積相對應(yīng)的量又是什么？

結(jié)論與討論關(guān)于互等定理

實心圓柱體承受軸向拉伸，請分析有幾種方法可以確定其體積改變量？

應(yīng)用于剛體和變形體的虛位移原理之比較

結(jié)論與討論應(yīng)用于剛體和變形體的虛位移原理之比較

結(jié)論與討論

都是討論平衡(位形或構(gòu)形)的充分和必要條件；

都是自平衡位置起令其有