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文檔簡(jiǎn)介

4.6線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)

一、函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)性

定義：設(shè)在區(qū)間上有定義，若存在個(gè)不全為的常數(shù)使得對(duì)任意則稱(chēng)在區(qū)間內(nèi)線(xiàn)性相關(guān).否則，稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān).即：例1、討論下列函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)性。定理：兩個(gè)非零函數(shù)線(xiàn)性相關(guān)成比例，即

使得

二、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)

形式：線(xiàn)性性：齊次：非齊次：1、齊次方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)1：若

的兩個(gè)解，則對(duì)任意常數(shù)是有的解。是定理：二階線(xiàn)性齊次微分方程的解集構(gòu)成一個(gè)二維線(xiàn)性空間.定理1、若是齊次方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，則是任意常數(shù)）是方程的通解.例2、驗(yàn)證下列函數(shù)是否是微分方程的通解.2、非齊次方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)2、若是方程的解，則是方程的解.性質(zhì)3、若是方程的解，是方程的解，則是方程的解.定理2、若是非齊次方程的特解，是齊次方程的特解，則是非齊次方程的通解.例3、設(shè)則是其通解.易驗(yàn)證是的一個(gè)特解，故方程的通解為：例4、設(shè)是二階非齊次方程的個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，求方程的通解.

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