微分方程模型2

微分方程模型二、微分方程模型

引言

在研究某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常無(wú)法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問(wèn)題的特性往往會(huì)給出關(guān)于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。在自然界以及工程技術(shù)領(lǐng)域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問(wèn)題以及商業(yè)預(yù)測(cè)等領(lǐng)域中去，其影響是廣泛的。人口模型問(wèn)題的提出假設(shè)和定義模型的建立分析和求解結(jié)論和討論1問(wèn)題的提出

人口問(wèn)題是當(dāng)今世界上最令人關(guān)注的問(wèn)題之一，一些發(fā)展中國(guó)家的人口出生率過(guò)高，越來(lái)越威脅著人類(lèi)的正常生活，有些發(fā)達(dá)國(guó)家的自然增長(zhǎng)率趨于零，甚至變?yōu)樨?fù)數(shù)，造成勞動(dòng)力緊缺，也是不容忽視的問(wèn)題。另外，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的推動(dòng)下，世界人口以空前的規(guī)模增長(zhǎng)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：年1625183019301960197419871999

人口（億）5102030405060

可以看出，人口每增長(zhǎng)十億的時(shí)間，由一百年縮短為十二三年。我們賴(lài)以生存的地球，已經(jīng)帶著它的60億子民踏入了21世紀(jì)。

長(zhǎng)期以來(lái)，人類(lèi)的繁衍一直在自發(fā)地進(jìn)行著。只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開(kāi)始研究人類(lèi)和自然的關(guān)系，人口數(shù)量的變化規(guī)律，以及如何進(jìn)行人口控制等問(wèn)題。

我國(guó)是世界第一人口大國(guó)，地球上每九個(gè)人中就有二個(gè)中國(guó)人，在20世紀(jì)的一段時(shí)間內(nèi)我國(guó)人口的增長(zhǎng)速度過(guò)快，如下表：年1908193319531964198219902000人口（億）3.04.76.07.210.311.312.95

有效地控制人口的增長(zhǎng)，不僅是使我國(guó)全面進(jìn)入小康社會(huì)、到21世紀(jì)中葉建成富強(qiáng)民主文明的社會(huì)主義國(guó)家的需要，而且對(duì)于全人類(lèi)社會(huì)的美好理想來(lái)說(shuō)，也是我們義不容辭的責(zé)任。

認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提，下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型。2.模型1(Malthus模型)18世紀(jì)末，英國(guó)人Malthus在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后認(rèn)為，在人口自然增長(zhǎng)的過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率（出生率減去死亡率為凈增長(zhǎng)率）是常數(shù)。返回這個(gè)模型可以與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)很好地吻合，但是當(dāng)后來(lái)人們用它與19世紀(jì)的人口資料比較時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)大的差異。人們還發(fā)現(xiàn)，遷往加拿大的法國(guó)移民后代的人口比較符合指數(shù)增長(zhǎng)模型。而同一血統(tǒng)的法國(guó)本土居民人口的增長(zhǎng)卻與指數(shù)模型大相徑庭。

分析表明，以上這些現(xiàn)象的主要原因是隨著人口的增長(zhǎng)，自然資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越顯著。人口較少時(shí)，人口的自然增長(zhǎng)率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨著人口的增加而減少。因此，我們將對(duì)指數(shù)模型關(guān)于凈相對(duì)增長(zhǎng)率是常數(shù)的基本假設(shè)進(jìn)行修改。2.5模型修改