凸函數(shù)凸規(guī)劃

凸函數(shù)凸函數(shù)(ConvexFunction)----定義2.3.1設(shè)是非空凸集，若對(duì)任意的及任意的都有：則稱(chēng)函數(shù)為上的凸函數(shù)．定義嚴(yán)格凸函數(shù)注：將上述定義中的不等式反向，可以得到凹函數(shù)的定義．凸函數(shù)

對(duì)一元函數(shù)在幾何上表示連接的線段．所以一元凸函數(shù)表示連接函數(shù)圖形上任意兩點(diǎn)的線段總是位于曲線弧的上方．幾何性質(zhì)表示在點(diǎn)處的函數(shù)值．

f凸函數(shù)例：設(shè)試證明在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．證明:設(shè)且都有：因此,在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)例：試證線性函數(shù)是上的凸函數(shù)．證明:設(shè)則故,是凸函數(shù)．類(lèi)似可以證明是凹函數(shù)．凸函數(shù)凸函數(shù)定理2.3.1設(shè)是凸集上的凸函數(shù)，性質(zhì)凸函數(shù)定理2.3.2性質(zhì)凸函數(shù)定理2.3.3設(shè)是凸集上的凸函數(shù)，則對(duì)任意，水平集是凸集．水平集(LevelSet)稱(chēng)為函數(shù)f在集合S上關(guān)于數(shù)的水平集.注：定理2.3.3的逆命題不成立.下面的圖形給出了凸函數(shù)的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集.凸函數(shù)凸函數(shù)定理1:設(shè)是定義在凸集上，令則:(1)是定義在凸集是凸集上的凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的一元函數(shù)為上的凸函數(shù).(2)設(shè)若在上為嚴(yán)格凸函數(shù)，則在上為嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理該定理的幾何意義是：凸函數(shù)上任意兩點(diǎn)之間的部分是一段向下凸的?。购瘮?shù)定理2.3.4設(shè)在凸集上可微，則：在上為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的都有：嚴(yán)格凸函數(shù)(充要條件)??凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---一階條件注：定理2.3.4提供了一個(gè)判別可微函數(shù)是否為凸

函數(shù)的依據(jù).凸函數(shù)定理

2.3.4

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幾何

解釋一個(gè)可微函數(shù)

是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處的

切平面位于曲

面的下方.凸函數(shù)定理

2.3.4

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幾何

解釋一個(gè)可微函數(shù)

是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處的

切平面位于曲

面的下方.定理2.3.5:設(shè)在開(kāi)凸集內(nèi)二階可微,則是內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為:對(duì)任意的Hesse矩陣半正定,其中：凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件定理2.3.6:設(shè)在開(kāi)凸集內(nèi)二階可微,若在內(nèi)正定,則在內(nèi)是嚴(yán)格凸函數(shù)．注:反之不成立．例：f(x)是嚴(yán)格凸的，但在點(diǎn)處不是正定的凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件例：凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件凸規(guī)劃凸規(guī)劃(ConvexProgramming)設(shè)為凸集，為上的凸函數(shù)，則稱(chēng)規(guī)劃問(wèn)題為凸規(guī)劃問(wèn)題．例：為上的凸函數(shù)，為無(wú)約束凸規(guī)劃問(wèn)題．例：凸規(guī)劃凸規(guī)劃例：凸規(guī)劃定理2.4(1)凸規(guī)劃問(wèn)題的任一局部極小點(diǎn)是全局極小點(diǎn)，且全體極小點(diǎn)的集合為凸