北師大版九年級(jí)上第一章 特殊平行四邊形3 正方形的性質(zhì)與判定“黃岡賽”一等獎(jiǎng)

正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)正方形的性質(zhì)圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？新知導(dǎo)入新知講解正方形的定義：

有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.練一練：下面四個(gè)定義中不正確的是(

)A．有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形B．有一組鄰邊相等的四邊形叫做菱形C．有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形D．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形B新知講解議一議(1)正方形是矩形嗎？是菱形嗎？(2)你認(rèn)為正方形的邊具有哪些性質(zhì)？與同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì)．正方形邊的性質(zhì)新知講解正方形的性質(zhì)：

具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行.新知講解知識(shí)點(diǎn)例1

如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四條邊相等，

四個(gè)角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.例題講解知識(shí)點(diǎn)(2)延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)M(如圖)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.例題講解例2已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求證：EF∥AB.導(dǎo)引：要證EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需證∠OEF＝45°，即要證明OE＝OF，而OE＝OF可通過證明△AEO≌△DFO獲得．例題講解∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.證明：例題講解總

結(jié)通過證明三角形全等得到邊和角相等，再進(jìn)一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件．例題講解知識(shí)點(diǎn)議一議平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個(gè)圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流．平行四邊形矩形菱形正方形解：例題講解1正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．四個(gè)角都相等

B．四條邊相等C．對(duì)角線相等

D．對(duì)角線互相平分B練一練例題講解2如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長(zhǎng)是(

)A．3

B．4

C．5

D．6B例題講解例3

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．導(dǎo)引：線段BE是Rt△ABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE≌△AFE，問題轉(zhuǎn)化為求EF的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件易獲解．例題講解

∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.解：例題講解

解有關(guān)正方形的問題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線垂直平分且相等等性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計(jì)算問題的三把鑰匙．總

結(jié)例題講解練一練：如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，若M，N是AD上的兩點(diǎn)，連接MO，NO，并分別延長(zhǎng)交邊BC于M′，N′兩點(diǎn)，則圖中的全等三角形共有(

)A．2對(duì)B．3對(duì)C．4對(duì)D．5對(duì)C例題講解有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形同時(shí)具備平行四邊形，矩形，菱形