高中數(shù)學知識點概率古典概型等可能事件

古典概型基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.基本事件的特點知識梳理(1)任何兩個基本事件是

的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成

的和.互斥基本事件2.古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為

，簡稱古典概型.(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件

；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性

.古典概率模型只有有限個相等3.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是

；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝

.4.古典概型的概率公式判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件.(

)(3)從市場上出售的標準為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型.(

)思考辨析×××(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為

.(

)(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.(

)(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件構成集合A，且集合A中的元素個數(shù)為n，所有的基本事件構成集合I，且集合I中元素個數(shù)為m，則事件A的概率為

.(

)√√√

考點自測1.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是答案解析基本事件的總數(shù)為6，構成“取出的2個數(shù)之差的絕對值為2”這個事件的基本事件的個數(shù)為2，

2.(2016·北京)從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為答案解析從甲、乙等5名學生中隨機選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況，

3.(2015·課標全國Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為答案解析4.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________.答案解析取兩個點的所有情況為10種，5.(教材改編)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為________.答案解析擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共6×6＝36(種)可能的結果，其中點數(shù)相同的結果共有6個，題型分類深度剖析題型一基本事件與古典概型的判斷例1

(1)有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù).試寫出：①試驗的基本事件；解答這個試驗的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).②事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件；解答事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件為(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).③事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件.事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件為(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).解答(2)袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球.①有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解答由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法.又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型.②若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解答由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，而白球有5個，顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型.思維升華

跟蹤訓練1下列試驗中，古典概型的個數(shù)為①向上拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；②向正方形ABCD內，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合；③從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率.A.0 B.1 C.2 D.3答案解析①中，硬幣質地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限個，不是古典概型；③符合古典概型的特點，是古典概型.

題型二古典概型的求法例2

(1)(2015·廣東)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為答案解析(2)(2015·江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________.設取出兩只球顏色不同為事件A，答案解析(3)我國古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”將這五種不同屬性的物質任意排成一列，設事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”，則事件A發(fā)生的概率為________.答案解析滿足事件A“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”的基本事件可以按如下方法進行考慮：從左至右，當?shù)谝粋€位置的屬性確定后，例如：金，第二個位置(除去金本身)只能排土或水屬性，當?shù)诙€位置的屬性確定后，其他三個位置的屬性也確定，引申探究1.本例(2)中，若將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2,3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標號和為奇數(shù)的概率.

解答基本事件數(shù)仍為6.設標號和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，2.本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率.

解答求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇.思維升華

跟蹤訓練2

(1)(2016·全國乙卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是答案解析從4種顏色的花中任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇，有((紅黃)，(白紫))，((白紫)，(紅黃))，((紅白)，(黃紫))，((黃紫)，(紅白))，((紅紫)，(黃白))，((黃白)，(紅紫))，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個花壇的種法有((紅黃)，(白紫))，((白紫)，(紅黃))，((紅白)，(黃紫))，((黃紫)，(紅白))，共4種，(2)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.①求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；解答由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種.②求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.解答設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應用例3

(2015·安徽)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工.根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100].

解答(1)求頻率分布直方圖中a的值；因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

解答由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率.

解答受訪職工中評分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2，從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}.又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結果有1種，即{B1，B2}，有關古典概型與統(tǒng)計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點.概率與統(tǒng)計結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決.思維升華跟蹤訓練3海關對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.解答(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；地區(qū)ABC數(shù)量50150100因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.解答設6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構成的所有基本事件為{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個.每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個.典例

(12分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率.

審細節(jié)更完善思想與方法系列六審題路線圖規(guī)范解答(1)基本事件為取兩個球↓(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個球的所有結果列舉出來↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓兩球編號之和不大于4(注意：和不大于4，應為小于4或等于4)↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解(2)兩球分兩次取，且有放回↓(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意細節(jié)，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號)n<m＋2的情況較多，計算復雜↓(將復雜問題轉化為簡單問題)計算n≥m＋2的概率↓n≥m＋2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)↓

返回解

(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個.(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2個.其一切可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個.

[6分]又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，故滿足條件n<m＋2的事件的概率為

返回課時作業(yè)1.(2016·全國丙卷)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是答案解析12345678910111213√第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，所以總的基本事件的個數(shù)為15，2.(2016·威海模擬)從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為答案解析由題意知，向量m共有

＝12(個)，由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，則滿足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)，共2個，√123456789101112133.(2015·廣東)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1答案解析√123456789101112134.(2016·哈爾濱模擬)設a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[1,2]上有零點的概率為答案解析12345678910111213√由已知

f′(x)＝3x2＋a>0，所以f(x)在R上遞增，若f(x)在[1,2]上有零點，經(jīng)驗證有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11對滿足條件，而總的情況有16種，123456789101112135.有編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為答案解析從編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球中隨機取出4個，設事件A為“取出球的編號互不相同”，√123456789101112136.如圖，三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是答案解析√12345678910111213123456789101112137.從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于答案解析√12345678910111213如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種.若要構成矩形，只要選相對頂點即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，123456789101112138.若A、B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，則P(B)＝________.答案解析0.3因為A、B為互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.123456789101112139.(2017·成都月考)如圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為________.依題意，記題中的被污損數(shù)字為x，答案解析0.3若甲的平均成績不超過乙的平均成績，則有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此時x的可能取值是7,8,9，1234567891011121310.10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________.答案解析1234567891011121311.設連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).(1)求事件“a⊥b”發(fā)生的概率；

解答由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36種.因為a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3,1)，(6,2)，共2種，12345678910111213(2)求事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率.

解答由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，123456789101