專題58 多個函數(shù)的綜合問題（3）（解析版）-中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題專題訓練

專題58多個函數(shù)的綜合問題（3）【規(guī)律總結】反比例函數(shù)（k≠0）k的符號k＞0k＜0圖像性質(zhì)①x的取值范圍是x≠0，y的取值范圍是y≠0②當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小①x的取值范圍是x≠0，y的取值范圍是y≠0②當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大【典例分析】例1．（2020·重慶西南大學附中九年級期末）如圖，面積為的矩形在第二象限，與軸平行，反比例函數(shù)經(jīng)過兩點，直線所在直線與軸、軸交于兩點，且為線段的三等分點，則的值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】延長AB交x軸于點G，延長BC交y軸于點H，根據(jù)矩形面積求出的面積，通過平行可證明∽，∽，∽，然后利用相似的性質(zhì)及三等分點可求出、、的面積，再求出四邊形BGOH的面積，然后通過反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義求出k值，再利用的面積求出b值即可．【詳解】延長AB交x軸于點G，延長BC交y軸于點H，如圖：∵矩形ABCD的面積為1，∴，∵B、D為線段EF的三等分點，∴，，，∵，∴，，∴∽，∴，即，∴，∵，∴，，∴∽，∴，即，∴，∵，∴，，∴∽，∴即，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，，∴，，又∵，∴四邊形BGOH是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義可知：，∴，∴又∵，即，∴，∴直線EF的解析式為，令，得，令，即，解得，∴，，∵F點在軸的上方，∴，∴，，∵，即，∴．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，一次函數(shù)與面積的結合，綜合性較強，需熟練掌握各性質(zhì)定理及做題技巧．例2．（2020·安徽合肥市·九年級二模）如圖，正方形ABCD的頂點A，B在x軸的負半軸上，反比例函數(shù)y＝（k1≠0）在第二象限內(nèi)的圖象經(jīng)過正方形ABCD的頂點D（m，2）和BC邊上的點G（n，），直線y=k2x+b（k2≠0）經(jīng)過點D，點G，則不等式≤k2x+b的解集為__________．【答案】-3≤x≤-1或x＞0．【分析】利用正方形ABCD的頂點D的坐標得到正方形的邊長為2，則G點坐標表示為（n-2，），則根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到2m=（m-2），求出m得到G（-3，），D（-1，2），然后結合函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應的自變量的范圍（含兩圖象交點的橫坐標）．【詳解】解：∵正方形ABCD的頂點D的坐標為（m，2），∴正方形的邊長為2，∴G（n-2，），根據(jù)題意將D（m，2），G（m-2，）代入到反比例函數(shù)y＝（k1≠0）圖象上，∴2m=（m-2），解得m=-1，∴G（-3，），D（-1，2），∵當-3≤x≤-1或x＞0時，≤k2x+b，∴不等式≤k2x+b的解集為-3≤x≤-1或x＞0．故答案為-3≤x≤-1或x＞0．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了正方形的性質(zhì)．例3．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·九年級其他模擬）已知函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1（1）若k＝2，則新函數(shù)y＝；（2）若新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，則k＝，b＝；（3）設新函數(shù)y頂點為（m，n）．①當k為何值時，n有大值，并求出最大值；②求n與m的函數(shù)解析式；（4）請你探究：函數(shù)y1與新函數(shù)y分別經(jīng)過定點B，A，函數(shù)的頂點為C，新函數(shù)y上存在一點D，使得以點A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出k的值．【答案】（1）x2﹣6x+1；（2）5，﹣12；（3）①；②n＝﹣m2﹣m+4；（4）或﹣或﹣．【解析】【分析】（1）把代入再把代入新函數(shù)即可得到答案，（2）利用新函數(shù)的定義，結論關于的方程組即可得到答案，（3）①利用新函數(shù)的定義，寫出函數(shù)解析式，化為頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案，②利用頂點坐標，消去得到答案，（4）先分別求解的坐標，設，分三種情況討論，利用平行四邊形的對角線互相平分及中點坐標公式可得答案．【詳解】解：（1）當k＝2時，y1＝2kx+k＝4x+2，∵函數(shù)，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1，∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，故答案為：x2﹣6x+1；（2）函數(shù)y1＝2kx+k與函數(shù)，定義新函數(shù)y＝y(tǒng)2﹣y1，∴新函數(shù)y的解析式為y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，∵新函數(shù)y的解析式為y＝x2+bx﹣2，∴b＝，3﹣k＝﹣2，∴k＝5，b＝﹣12，故答案為：5，﹣12；（3）①由（2）知，新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，∵新函數(shù)y頂點為（m，n），∴∴，當時，的最大值②由①知，將k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：∴n＝﹣m2﹣m+4；（4）∵函數(shù)y1＝2kx+k＝k（2x+1），當2x+1＝0即x＝時，y＝0，∴A（，0），∵新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝x2﹣2（k+1）x﹣（k+1）+4＝x2﹣（k+1）（2x+1）+4，當2x+1＝0，即x＝時，y＝∴B，∵函數(shù)∴C（1，2），設D（c，d），∵以點A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，∴①當BC與AD為對角線時，∴∴D（1，），將點D坐標代入新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，∴②當AB與CD是對角線時，∴D（），將點D坐標代入新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，4+4（k+1）+3﹣k＝，∴k＝，③當AC與BD為對角線時，∴∴D（1，），將點D坐標代入新函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，∴k＝，即滿足條件的k的值為或或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的新定義題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．【好題演練】一、單選題1．（2019·南昌高新區(qū)第二實驗學校九年級期中）圖（1）所示矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y(tǒng)，y與x滿足的反比例函數(shù)關系如圖（2）所示，等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點，M為EF的中點，則下列結論正確的是（）A．當x＝3時，EC＜EMB．當y＝9時，EC＞EMC．當x增大時，EC?CF的值增大D．當x變化時，四邊形BCDA的面積不變【答案】D【分析】利用矩形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出AB=CD，∠E=∠F=45°，進而可得出△BEC和△CDF均為等腰直角三角形，結合BC=x，CD=y可得出EC=x，CF=y，EF=（x+y），再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出xy=9．

A、代入x=3可求出y，EC，EF的長，再結合M為EF的中點可得出EM=3=EC，選項A不符合題意；

B、代入y=9可求出x，EC，EM的長，進而可得出EC＜EM，選項B不符合題意；

C、由EC=x，CF=y可得出EC?CF=2xy=2×9=18，選項C不符合題意；

D、利用矩形的面積公式結合xy=9可得出S矩形BCDA=xy=9，進而可得出當x變化時，四邊形BCDA的面積不變，選項D符合題意．

此題得解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD．∵△AEF為等腰直角三角形，∴∠E＝∠F＝45°，∴△BEC和△CDF均為等腰直角三角形．∵BC＝x，CD＝y(tǒng)，∴AE＝x+y，∴EC＝x，CF＝y(tǒng)，EF＝（x+y）．∵y與x滿足的反比例函數(shù)關系，且點（3，3）在該函數(shù)圖象上，∴xy＝9．A、當x＝3時，y＝＝3，EC＝3，EF＝6．又∵M為EF的中點，∴EM＝3＝EC，選項A不符合題意；B、當y＝9時，x＝1，∴EC＝，EM＝EF＝5，∴EC＜EM，選項B不符合題意；C、∵EC＝x，CF＝y(tǒng)，∴EC?CF＝2xy＝2×9＝18，選項C不符合題意；D、∵S矩形BCDA＝xy＝9，∴當x變化時，四邊形BCDA的面積不變，選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及矩形的面積，解題關鍵是利用排除法逐一分析四個選項的正誤2．（2020·四川綿陽市·九年級開學考試）如圖，已知點A（m，m+3），點B（n，n﹣3）是反比例函數(shù)y＝（k＞0）在第一象限的圖象上的兩點，連接AB．將直線AB向下平移3個單位得到直線l，在直線l上任取一點C，則△ABC的面積為（）A． B．6 C． D．9【答案】A【分析】由點A（m，m+3），點B（n，n﹣3）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）第一象限的圖象上，可得到m、n之間的關系，過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，構造直角三角形，可求出直角三角形的直角邊的長，由平移可得直角三角形的直角頂點在直線l上，進而將問題轉(zhuǎn)化為求△ADB的面積．【詳解】解：∵點A（m，m+3），點B（n，n﹣3）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）第一象限的圖象上，∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，∵m+n＞0，∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，過點A、B分別作x軸、y軸的平行線相交于點D，∴BD＝xB﹣xA＝n﹣m＝3，AD＝y(tǒng)A﹣yB＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，又∵直線l是由直線AB向下平移3個單位得到的，∴平移后點A與點D重合，因此，點D在直線l上，∴S△ACB＝S△ADB＝AD?BD＝，故選：A．【點睛】本題主要考察反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題關鍵是熟練掌握計算法則.二、填空題3．（2020·重慶涪陵區(qū)·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線上一點，為軸上一點，連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至線段，過點作直線軸，垂足為，直線與直線交于點，且，連接，直線與直線交于點，則點的坐標為（______）【答案】（，）．【分析】過E作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CME＝∠DNE＝∠CED＝90°，求出∠MCE＝∠DEN，證△MCE≌△NED，推出DN＝EM，EN＝CM，設AD＝a，求出DN＝2a?1，得出2a?1＝1，求出a＝1，得出D的坐標，在Rt△DNE中，由勾股定理求出EC＝ED＝，在Rt△MCE中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐標，設直線CD的解析式是y＝kx＋3，把D（-3，2）代入求出直線CD的解析式，解由兩函數(shù)解析式組成的方程組，求出方程組的解即可．【詳解】解：過E作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CME＝∠DNE＝∠CED＝90°，∴∠MCE＋∠CEM＝90°，∠MEC＋∠DEN＝90°，∴∠MCE＝∠DEN，∵E（-1，1），∴OM＝BN＝1，EM＝1，在△MCE和△NED中，∴△MCE≌△NED（AAS），∴DN＝EM，EN＝CM，∵BD＝2AD，∴設AD＝a，BD＝2a，∵E（1，1），∴BN＝2a?1，則2a?1＝1，a＝1，即BD＝2．∵直線y＝-x，∴AB＝OB＝3，在Rt△DNE中，由勾股定理得：EC＝ED＝，在Rt△MCE中，由勾股定理得：CM＝則C的坐標是（0，3），設直線CD的解析式是y＝kx＋3，把D（-3，2）代入得：k＝，即直線CD的解析式是y＝x＋3，即方程組得：即F的坐標是（，）．故答案為：（，）．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，解方程組，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．4．（2020·浙江寧波市·九年級月考）如圖菱形中，，點C坐標，過點作直線分別交于點，交于E，點E在反比例函數(shù)的圖象上，若和（即圖中兩陰影部分）的面積相等，則的值為_______．【答案】【分析】先說明△OBC為等邊三角形,連接BD；再由等邊三角形即等腰三角形的性質(zhì)說明△ACD是直角三角形，然后由S△BEF=S△DFO,S△BED=S△BEF+S△BFD，S△BOD=S△BFD+S△OFD，可得出S△BED=S△BOD，然后求出BE的長，再求出E點坐標，將點E代入反比例函數(shù)即可求出k的值．【詳解】解：連接BD∵菱形中，∴△BCO為等邊三角形∵點C的坐標為（-2，0）,∴BC=OB=OC=OD=2，∴∠OBD=∠ODB，又∵∠COB=60°，∴∠OBD=∠ODB=30°，∠BCO=60°∴∠CBD=90°∴點B的坐標為（-1，），∴BD=2∵S△BEF=S△DFO∴S△BED=S△BEF+S△BFD，S△BOD=S△BFD+S△OFD∴S△BED=S△BOD=，解得BE=1,即E為BC的中點∴E的坐標為(-,)將E(-,)代入得k=．故答案為．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的面積等有關知識，綜合性較強，靈活應用所學知識是解答本題的關鍵．三、解答題5．（2020·貴州貴陽市·九年級二模）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點A(1，5)和點B(n，1)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）點M是線段AB下方反比例函數(shù)圖象上的一動點，過點M作x軸的垂線，與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點P，連接OP、OM，求的面積的最大值．【答案】（1），；（2）3【分析】（1）由已知的點A坐標求得反比例函數(shù)解析式，由解析式確定點B的坐標，再用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；（2）假設點M橫的坐標是m，可以根據(jù)解析式分別寫出M、P的縱坐標，從而表示出的底，高即是m，因此可以寫出面積的表達式，再計算最值.【詳解】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，5）和點B（n，1）.∴1×5＝n×1＝5∴k＝5，n＝5∴反比例函數(shù)