專題1.4 用空間向量研究距離、夾角問題（七個重難點突破）（解析版）

專題1.4用空間向量研究距離、夾角問題知識點1空間距離及向量求法1.點到直線的距離設為直線l的單位方向向量，是直線外一點，設，向量在直線l上的投影向量為，則2.點到平面的距離設已知平面的法向量為，是直線外一點，向量是向量在平面上的投影向量，則重難點1點到直線的距離1．已知空間直角坐標系中的點，，，則點Р到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D．2．空間中有三點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出，即可得，，再根據點到直線的距離為即可得解.【詳解】解：，則，，則，所以點到直線的距離為.故選：A.3．生活中的建筑模型多與立體幾何中的圖形有關聯，既呈現對稱美，也具有穩(wěn)定性.已知某涼亭的頂部可視為如圖所示的正四棱錐，其所有棱長都為6，且交于點O，點E在線段上，且，則的重心G到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，再利用空間向量法求解即可.【詳解】以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：因為所有棱長都為6，所以，，所以，，，，，因為為的重心，所以.設，，，因為，所以，即.因為，，則G到直線的距離.故選：B4．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，點P在線段上，點P到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，借助空間向量求出點Р到直線距離的函數關系，再求其最小值作答【詳解】以D為原點，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，,,所以，，,因點P在線段上，則，，，所以向量在向量上投影長為，而，則點Р到直線的距離，當且僅當時取等號，所以點Р到直線的距離的最小值為，故選：D5．已知直線過點，它的一個方向向量為，則點到直線AB的距離為.【答案】2【分析】利用空間中點到直線的距離公式求解即可【詳解】因為，，點到直線AB方向上的投影為，所以點到直線AB的距離為，故答案為：26．在空間直角坐標系中，，，，若點到直線的距離不小于，寫出一個滿足條件的的值：.【答案】1（答案不唯一，只要即可）【分析】計算，，根據點到直線的距離公式得到，解得答案.【詳解】因為，，所以點到直線的距離，解得.故答案為：1（答案不唯一，只要即可）7．已知長方體中，，圓內切上底面正方形，為圓上的動點．(1)求點到直線的距離；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用坐標運算求解點到直線的距離;（2）利用圓的參數方程或線面垂直的性質求解距離的最值問題.【詳解】（1）以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，取，所以點到直線的距離為.（2）（法一）設，且有，設，可得,所以，因為，所以.（法二）因為平面，，所以，所以△為直角三角形，而，所以，即.重難點2點到平面的距離8．在單位正方體中，為的中點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求得平面的法向量，根據空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】如圖，以D為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，

則,故，設平面的法向量為，則，令，則，故點到平面的距離為,故選：C9．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，則點C到平面的距離等于.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，，即，取，又，所以點到面的距離，故答案為：.10．如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，點在邊上，且，為的中點．以，，分別為軸，軸，軸的正方向，井以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求：

(1)直線的一個方向向量；(2)點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意得到點的坐標，可得直線的一個方向向量；（2）根據點面距的向量公式可求出結果.【詳解】（1）依題意得，，所以為直線的一個方向向量.（2），，，，設平面的一個法向量為，則，取，得，，則，所以點到平面的距離為.11．在空間直角坐標系中，已知，，，則三棱錐的體積為．【答案】【分析】求出平面的一個法向量，從而可求點到平面的距離，求出即可得棱錐的體積.【詳解】,設平面的法向量為，則，令,可得,所以.所以點到平面的距離為.又，所以，所以.故答案為:.12．斜三棱柱的各棱長都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．(1)在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）連接，以O點為原點，如圖建立空間直角坐標系，設，根據，求出即可；（2）利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，因為，為的中點，所以，由題意知平面ABC，又，，所以，以O點為原點，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，由得，同理得，設，得，又，，由，得，得，又，∴，∴存在點D且滿足條件；（2）設平面的法向量為，，，則有，可取，又，∴點到平面的距離為，∴所求距離為.13．如圖，與都是邊長為的正三角形，平面平面，平面，．(1)證明：平面．(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接、，證明出平面，利用線面垂直的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；（2）以為原點，直線、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】（1）證明：取的中點，連接、，因為是等邊三角形，且為的中點，所以，，同理可得，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）解：因為平面，，以為原點，直線、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示．因為與的邊長均為，，所以、、、，設平面的法向量為，因為，，所以，，取，可得，因為，所以到平面的距離．14．如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是正方形，，點為上的點，.(1)求證：平面平面；(2)若，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據線面垂直的判定證明，，進而可得平面，從而得到平面平面；（2）（法一）利用等體積法求解；（法二）以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，再根據點到面的向量表示求解即可.【詳解】（1）因為底面四邊形為正方形，所以，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）（法一）因為平面，平面，所以，因為底面四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即為直角三角形，因為，則，所以，，，，在中，，在中，由余弦定理，即，同理可求得，所以為直角三角形，，因為，所以點到平面的距離為，設點到平面的距離為，由得，即，所以，所以點到平面的距離為.（法二）因為，則，以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.所以，由，得，，，，設平面的一個法向量為，則取，可得，，所以，設點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為.重難點3直線（或平面）到平面的距離15．兩平行平面，分別經過坐標原點和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是A． B． C． D．【答案】B【詳解】兩平行平面，分別經過坐標原點和點，，且兩平面的一個法向量兩平面間的距離，故選B.16．在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示的直角坐標系，求得和平面的一個法向量，利用向量的距離公式，即可求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的一個法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．【點睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應用，對于利用空間向量求解點到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉化為點到平面的距離求解．著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.17．已知是棱長為1的正方體，則平面與平面的距離為．【答案】/【分析】建立空間直角坐標系，可證得平面平面，從而平面與平面的距離等于點到平面的距離．求得平面的法向量和，結合點到平面的距離的向量公式，即可得解．【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，可得，因為，則，所以，因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，所以平面與平面的距離等于點到平面的距離，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，又因為，所以．所以平面與平面的距離為．故答案為：．18．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，計算平面AMN的一個法向量，然后使用等價轉化的思想，面面距轉為點面距，最后計算即可.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4).∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，∴，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.設=(x，y，z)是平面AMN的一個法向量，則解得取z=1，則x=2，y=-2，得=(2，2，1).平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面EFBD的距離.∵=(0，4，0)，∴平面AMN與平面EFBD間的距離d=.故答案為：【點睛】本題考查面面距，使用數形結合，形象直觀，并采用向量的方法，將幾何問題代數化，便于計算，屬基礎題.19．已知正方體的棱長為4，設M、N、E、F分別是，的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離．【答案】【分析】建立適當空間直角坐標系，求出平面EFBD的法向量，并證明平面平面EFBD.于是兩平面的距離轉化為點到平面的距離．利用向量距離公式求出即可.【詳解】以D為坐標原點，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸．則，.設是平面EFBD的一個法向量，則，即，解得，所以．又因為，所以，從而，所以平面，所以平面平面EFBD，所以兩平面的距離即是點A到平面BDEF的距離．從而兩平面間距離為．知識點2空間角及向量求法1.用向量運算求兩條直線所成的角設兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為，則注意：①范圍為；②兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系．2.用向量運算求直線與平面所成的角設直線l與平面所成的角為θ，l的方向向量為，平面α的法向量為，則注意：①范圍為；②直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．3.用向量運算求平面與平面所成的角平面與平面相交，形成四個二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱為這兩個平面的夾角．設平面α與平面β的夾角為θ，兩平面的法向量分別為，則注意：①范圍為；②兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補角．重難點4異面直線所成的角20．直三棱柱如圖所示，為棱的中點，三棱柱的各頂點在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據已知條件求出側棱長，然后建立空間直角坐標系，求出直線和的方向向量，從而可求解.【詳解】因為在直三棱柱中，所以球心到底面的距離，又因為，所以，所以，所以底面外接圓半徑，又因為球的表面積為，所以，而，所以，

以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設直線和所成的角為，則.故選：A.21．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角從標系，先利用條件求出，進而求出和，再利用線線角的向量公式即可求出結果.【詳解】如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為2，則A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）.所以，又所以，整理得到，解得（舍去）,所以，,所以，故cosθ=，

故選：B.22．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，點是的中點，點是上不與端點重合的動點，則異面直線與所成角的正切值最小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，先證明，再以為空間直角坐標系的原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設異面直線與所成角為，利用向量法求出，再利用函數求出最值即得解.【詳解】如圖所示，連接.由題得，所以是等邊三角形，所以.因為平面，所以.以為空間直角坐標系的原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.設.則.由題得,.設.所以.設異面直線與所成角為，則.當時，最大為，此時最小，最小值為.故選：C23．已知，是異面直線，，，，，且，，則與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計算出,再根據計算夾角的余弦值，即可寫出答案【詳解】設，由，可得：，，故可得：，，，又，，故與所成的角是.故選：C.24．正四面體中，、分別為邊、的中點，則異面直線、所成角的余弦值為．【答案】【分析】根據點分別為棱、的中點，根據向量的運算得出，，然后可設正四面體的棱長為2，從而進行數量積的運算可求得，并且根據可得出，然后便可求出的值，從而可得出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】為棱的中點，設，.又為棱的中點,.又的兩兩夾角都為，并設,.又,,異面直線與所成角的余弦值為.故答案為:.25．已知長方體中，，點是線段上靠近點的三等分點，記直線的夾角為，直線的夾角為，直線的夾角為，則之間的大小關系為．（橫線上按照從小到大的順序進行書寫）【答案】【分析】以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法可求得，，，從而可解.【詳解】

記，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，又，故，，又，故，因為，所以，所以.故．故答案為：.26．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為的正方形，側棱長為，．

(1)求的長；(2)證明：；(3)求直線與AC所成角的余弦值．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）由空間向量的運算法則，得到，結合向量的數量積的運算公式，求得，即可求解；（2）由向量的運算法則，可得，，結合向量的數量積的運算公式，求得，即可證得；（3）因為，求得，和，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：由空間向量的運算法則，可得，所以，所以，即的長為.（2）解：由向量的運算法則，可得，，則，所以，所以.（3）解：因為，所以，，且，所以，所以直線與所成角的余弦值為.重難點5直線與平面所成的角27．在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】設正方體的棱長為4，直線與平面所成的角為，以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，，，，所以，由于，所以平面，即平面的法向量為，，所以.故選：B

28．在正方體中，如圖、分別是，的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設棱長為，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法證明平面平面．（2）由，平面的法向量，利用向量法求出直線與所成角的正弦值．【詳解】（1）設棱長為，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，所以，，，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，所以，則平面平面．（2）設直線與平面所成角的為，而，平面的法向量，所以．直線與所成角的正弦值．29．正三棱柱的所有棱長都相等，則和平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，根據線面角的向量求法即可求得答案.【詳解】設三棱柱的棱長為1，以B為原點，以過B作的垂線為x軸，以為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則，∴，平面的一個法向量可取為，設與平面所成的角為θ，,則，所以.故選：A.30．如圖，在直三棱柱中，，，，依次為，的中點．

(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由直棱柱的性質可得平面，則，而，則由線面垂直的判定可得平面，則，而，則平面，再由線面垂直的性質可得結論；（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證明：連接，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，則，因為在直三棱柱中，，所以四邊形為正方形，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，則．（2）因為直三棱柱中，，所以兩兩垂直，所以以為原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，．設平面的一個法向量為，則，令可得．設與平面所成角為，所以，即與平面成角的正弦值為．

31．如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，．

(1)證明：；(2)若平面平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取為的中點，通過證明平面，即可；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和的坐標，利用向量運算即可.【詳解】（1）證明：設為的中點，連接，由題意得：，，又平面，所以平面，平面，所以；

（2）因為平面平面，，平面平面，由平面垂直性質得：，所以兩兩垂直，建立如圖所示的坐標系，，則，，，設平面的法向量為，則，令，可得，設直線與平面所成角為，則.

32．如圖1，在梯形ABCD中，，O是邊AB的中點．將繞邊OD所在直線旋轉到位置，使得，如圖2．設為平面與平面的交線．

(1)判斷直線與直線的位置關系并證明；(2)若直線上的點滿足，求出的長；(3)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據線面平行的性質定理說明即可；（2）根據兩條平行線確定一個平面的性質，先找出交線的位置后，利用進行求解；（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面角.【詳解】（1）由題意，平面平面，由//，平面，平面，則//平面，又平面根據線面平行的性質定理可知，（2）

過作//，且滿足，連接.于是由//，//，則//，故四點共面，四點共面，則平面與平面的交線即為.由題知，，平面，故平面，由平面，故，即.由知，，則，故，于是，又，//，則，（3）

過作，垂足為，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.則，，.，，設平面的法向量為.由，則是平面的法向量.又，設直線與平面所成角為，則33．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點，，．

(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理可計算出，由勾股定理的逆定理可得，又已知，根據線面垂直的判定定理可得平面，再由線面垂直性質即可得；（2）易證得，，兩兩垂直，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求得直線與平面所成角的正弦值為.【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，即；所以，即可得．由題意且，所以平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，易知，即，又，可得，取中點，連接，則，，兩兩垂直，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則，，，，又為中點，所以，可得由（1）得平面，所以平面的一個法向量設直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值重難點6平面與平面所成的角34．三棱柱中，平面平面，是等邊三角形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性質定理和判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量為和平面的一個法向量，由求解.【詳解】（1）因為，，，所以，則，即，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標系：

則，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，得到，則，設平面的一個法向量為，則，即，令，得到，則，所以，又由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.35．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為梯形，.

(1)證明：平面；(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據余弦定理可得，進而得，根據面面垂直的性質即可求證，（2）建立空間直角坐標系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】（1）證明：，由余弦定理得，，則，平面平面，且平面平面，平面,平面.（2）如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，設平面的法向量為，由得取，得，，易得平面的一個法向量為，，平面與平面夾角的余弦值為.36．如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點，平面平面.

(1)證明：平面；(2)已知四邊形是邊長為2的菱形，且，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用等腰三角形性質，面面垂直的性質推理作答.（2）以點D為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）在三棱柱中，由是的中點，得，而平面平面，且平面平面平面，所以平面.（2）因為四邊形為菱形，，則為正三角形，連接，有，而平面平面，平面平面，因此平面，兩兩垂直，以為坐標原點，分別為軸,軸,軸，建立空間直角坐標系，

則，，設平面的法向量，則，令，得，顯然平面的法向量，設平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的正弦值為.37．校考期末）如圖，和所在平面垂直，且，，求：

(1)直線與平面所成角的大?。?2)平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）過點作交的延長線于，連接，證得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面角的公式即可求出結果；（2）利用向量法求解即可.【詳解】（1）過點作交的延長線于，連接，因為，，所以，因此，又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以,，因此兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，則，則，由于平面，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，又因為線面角的范圍是，所以，因此直線與平面所成的角為；（2），則,設平面的法向量為，所以，令,可得，則，則，故平面和平面的夾角的余弦值為.

38．在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設平面與直線的交點為，根據線面垂直的性質定理以及判定定理推得平面，進而得出，，得出為中點，且二面角的平面角為.根據平面四邊形的條件，可得出，即可得出面面垂直；（2）根據面面垂直的性質，推得平面，進而根據已知推得四邊形為矩形.以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，得出點的坐標，求出平面與平面的法向量，根據向量法，即可得出答案.【詳解】（1）

如圖1，設平面與直線的交點為，連接，.因為直線平面，直線平面，平面，平面，所以，.因為，平面，平面，所以平面.因為平面，平面，所以，.又因為與均是等邊三角形，所以為中點，且二面角的平面角為.在平面四邊形中，因為，所以，所以平面平面.（2）由（1）知，平面平面，平面平面，又，平面，所以，平面.又因為，平面，所以，.同理可得，.所以，四邊形為平行四邊形.又，所以四邊形為矩形.

如圖2，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，因為四邊形為矩形，設，則由已知可得，，則，，，，所以，，，，.設平面的一個法向量為，則，所以.令，則為平面的一個法向量.設平面的一個法向量為，則，所以.令，解得為平面的一個法向量.設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.39．如圖，扇形的半徑為，圓心角，點為上一點，平面且，點且，面．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，設與相交于點，連接MN，利用余弦定理可求得，，的長度，進而得到，又，由此可得平面；（2）建立恰當空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，從而即可得答案．【詳解】（1）證明：連接，設與相交于點，連接，平面，在平面內，平面平面，，，，在中，由余弦定理可得，，，又在中，，由余弦定理可得，，，故，又平面，在平面內，，又，平面，平面，平面；

（2）解：由（1）可知直線，，兩兩互相垂直，所以以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，，設平面的一個法向量為，則，可?。辉O平面的一個法向量為，則，可取，，平面與平面所成二面角的正弦值為．40．如圖1，已知正三棱錐分別為的中點，將其展開得到如圖2的平面展開圖（點的展開點分別為，點的展開點分別為），其中的面積為．在三棱錐中，

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，然后由線面垂直的判定可證得結論；（2）在平面展開圖中過作直線的垂線，垂足為，垂線交于點，則由的面積為可求得，再求得，從而可求出，解法一：如圖2，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，解法二：如圖3，設平面與平面的交線為，可得為平面與平面的夾角（或其補角），然后在三角形中求解即可.【詳解】（1）證明：因為三棱錐為正三棱錐，為的中點，所以，又因為平面，所以平面；（2）如圖1，在平面展開圖中過作直線的垂線，垂足為，垂線交于點，所以，因為分別為的中點，所以，所以，得，在正三角形中，因為，所以，所以，在中，．

解法一：如圖2，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則．設為平面的一個法向量，因為，所以，即，令，可得．設為平面的一個法向量，因為，所以，即，令，可得．設平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角的余弦值為．解法二：如圖3，設平面與平面的交線為，因為∥，所以∥平面，所以∥∥．在等腰三角形中，，在等腰三角形中，，所以，則為平面與平面的夾角（或其補角）．，則在等腰三角形中，，在三角形中，，由余弦定理得，所以平面與平面夾角的余弦值為．重難點7已知夾角求其他量41．如圖，在四棱錐中，，，，，，，過的平面分別交線段，于，.(1)求證：(2)若直線與平面所成角為，，，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由線面垂直判定定理證出平面，再由線面垂直證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，設點坐標，由已知線面角求得點坐標，再由空間向量求解平面與平面夾角即可.【詳解】（1）由已知，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.取中點，連接，∵，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴在中，，，，，∴，即，又∵，∴，又∵，，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，即.（2）如圖，取中點為，連接，∵，∴，由第（1）問知平面，∴以為原點，，所在直線為軸，軸，過與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知，，，，，設，（）則，易知平面的一個法向量為，∵直線與平面所成角為，∴，解得，∴，又∵，，∴，分別為，中點，∴，∴，，設平面的一個法向量為由，得，令，則，，∴平面的一個法向量為，易知，平面的一個法向量為，設平面和平面的夾角為，則，∴平面和平面的夾角的余弦值為.42．在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)已知上是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）先證線面垂直即平面，再證線線垂直即可；（2）假設存在，取中點，證平面，建立空間坐標系，設，利用空間向量計算線面角，待定系數解方程即可.【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，又因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）上存在點，使與平面所成角的正弦值為，且.理由如下：取中點，連接，因為，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因為，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，以為原點，以方向分別為軸，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，，.因為平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，假設上存在一點，使與平面所成角的正弦值為，設，則，所以，設為平面的一個法向量，則，即，令，則，可取，又，所以，即，解得，此時；因此上存在點，使與平面所成角的正弦值為，且.43．如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）以點為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得平面；（2）設，則，利用空間向量法可得出關于的方程，解出的值，即可得出結論.【詳解】（1）證明：因為底面，，如圖，以點為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、、、、、，，，設平面的法向量為，則，取，可得，又因為，則，所以，，又因為平面，所以，平面.（2）解：依題意，設，則，所以，，，由已知，得，整理可得，解得或，所以，線段的長為或.44．如圖，為圓的直徑，點在圓上，且為等腰梯形，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知.

(1)求證：平面平面；(2)當的長為何值時，平面與平面的夾角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由矩形和圓所在的平面互相垂直結合面面垂直的性質可得平面，則有，而，則由線面垂直的性質可得平面，再由面面垂直的判定定理可證得結論；（2）設的中點分別為，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，然后利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為平面，所以.又因為為圓的直徑，所以.因為在平面內相交，所以平面.又由平面，所以平面平面.（2）設的中點分別為，因為四邊形為矩形，四邊形為等腰梯形，所以，