微分差分方程穩(wěn)定性方法建模

數(shù)學(xué)模型?微分方程穩(wěn)定性方法建模北京理工大學(xué)王宏洲微分、差分方程穩(wěn)定性理論微分和差分方程的穩(wěn)定理論，是研究方程的解在自變量t→+

時的發(fā)展趨勢。反映在實(shí)際問題中，就是已知事物的現(xiàn)在狀態(tài)，希望了解其最終的發(fā)展趨勢。比如說準(zhǔn)備修建攔河大壩，會對下游的河床及周圍的生態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生怎樣的影響？建立穩(wěn)定性模型可以對各種可能的最終結(jié)果進(jìn)行預(yù)測。微分、差分方程穩(wěn)定性理論簡介常微分方程穩(wěn)定性理論差分方程穩(wěn)定性理論一、常微分方程穩(wěn)定性理論1、一階微分方程方程右端不顯含t一階微分方程通常判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性有兩種方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程為線性，即f(x)=ax+b，則a<0穩(wěn)定，

a>0不穩(wěn)定；2、若方程為非線性，即x`(t)=f(x)，考慮f`(x0)。

f`(x0)<0穩(wěn)定，f`(x0)>0不穩(wěn)定。2、二階微分方程所以討論二階微分方程的穩(wěn)定性往往就歸結(jié)為對二維一階方程組的討論二階微分方程求方程組的平衡點(diǎn)，即求解下面設(shè)法給出P0穩(wěn)定的判斷準(zhǔn)則。二階微分方程首先將方程組線性化：其系數(shù)矩陣為：二階微分方程二階微分方程的穩(wěn)定性由p

和q

的正負(fù)決定。p>0且q>0時平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定；p<0或q<0時平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定.3、一階線性差分方程4、二階線性差分方程5、一階非線性差分方程微分方程穩(wěn)定性模型可再生資源管理生態(tài)系統(tǒng)建模差分形式的阻滯增長模型經(jīng)濟(jì)發(fā)展的蛛網(wǎng)模型軍備競賽模型一、可再生資源管理模型可再生資源：與無限資源和有限資源相對而言。無限資源指陽光、空氣等；有限資源指煤、鐵等礦物和石油等?？稍偕Y源指木材、糧食、蔬菜、肉類等，雖然有限，但可以再生。建模目的：研究如何管理可再生資源才能使人類最終有盡可能多的收獲。1、問題背景

漁場的矛盾漁場如果很少捕撈，那么經(jīng)濟(jì)效益會減少；如果捕撈太頻繁或者太多，又會導(dǎo)致魚群總數(shù)大量減少，影響漁場今后的產(chǎn)量。問題分析只有在“捕撈量=魚的增長量”時，漁場的魚量才能保持穩(wěn)定。設(shè)法給出漁場魚量變化規(guī)律，分析魚量穩(wěn)定的條件，并據(jù)此討論：如何制訂捕撈策略才能使?jié)O場的效益實(shí)現(xiàn)最大化？2、漁業(yè)資源開發(fā)模型記x(t)為t時刻漁場中的魚量。在沒有捕撈的情況下，魚量的增長可以視為有限環(huán)境中生物種群的增長，即可以用Logistic模型來描述：2.1假設(shè)（1）在無捕撈條件下，魚的自然增長量服從上面的Logistic規(guī)律；（2）在有捕撈情況下，需要在Logistic模型中減去一個h(x,t)，即單位時間的捕撈量。捕撈量函數(shù)反映的就是捕撈策略。通常的捕撈策略有兩種：一是固定限額捕撈，即h(x,t)是一個常數(shù)；二是固定努力量捕撈，即取函數(shù)h(x,t)=Ex，E為常數(shù)，表現(xiàn)的是捕撈努力程度。2.2構(gòu)造模型（Scheafer模型）對于這個模型，我們希望能分析出漁場應(yīng)該使魚量保持在怎樣的一個水平上，以及怎樣才能保持魚量的穩(wěn)定，即給出t→+

時，x(t)的變化趨勢。根據(jù)假設(shè)（2），建立模型：2.3平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性分析令F(x)=rx(1-x/N)–Ex=0（求平衡點(diǎn)）得到兩個解：

x0=N(1-E/r)，x1=0兩個平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件：考慮F`(x)=r-E-2rx/N：F`(x0)=E-r，F(xiàn)`(x1)=r-E。由此可知：若E<r，則F`(x0)<0而F`(x1)>0，x0穩(wěn)定而x1不穩(wěn)定；若E>r，則F`(x0)>0而F`(x1)<0，x0不穩(wěn)定而x1穩(wěn)定。2.4捕撈策略有了捕撈原則E<r，如何使每年的捕撈量Ex都能達(dá)到最高？設(shè)法給出明確的捕撈策略，即確定每年的最佳捕撈量。分別記f(x)=rx(1-x/N)，h(x)=Ex。直線族與拋物線的交點(diǎn)都是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。y=E1xy=E0xy=rxOyxNx1N/22.5結(jié)論將捕撈能力控制在魚群自然增長率的一半左右，即Er/2，或者單位時間內(nèi)只捕撈總魚量的一半，都能保證漁場長期產(chǎn)量的最大化。根據(jù)這里的分析結(jié)果，我們可以調(diào)整捕撈努力量，實(shí)現(xiàn)長期的產(chǎn)量最大化。可是產(chǎn)量最大化是漁場的目標(biāo)嗎？漁場的真正目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)效益的最大化。這時需要對模型進(jìn)行調(diào)整。3、最大經(jīng)濟(jì)效益模型綜合考慮漁場捕撈成本和捕撈量及魚的市場價格，給出投入、產(chǎn)出之間的最優(yōu)結(jié)合點(diǎn)。3.1假設(shè)（1）收獲的單位魚量價格為p（固定）；（2）漁場捕撈成本與捕撈能力投入成正比，單位捕撈能力投入的費(fèi)用為C。根據(jù)假設(shè)，漁場收入=p?h(x)，成本=C?E，從而漁場的經(jīng)濟(jì)效益=pEx–CE=(px–C)E=R。現(xiàn)在的問題：求E，使?jié)O場的經(jīng)濟(jì)效益最高。3.2模型分析產(chǎn)量穩(wěn)定下來后，漁場的收益R=pExR-CE=pEN(1-E/r)-CE令R’(E)=0，即R’(E)=pN-C-2pNE/r=0E=[1-C/(pN)]?r/2，xR=N(1-E/r)=N/2+C/2p，h(xR)=ExR=[1-C2/(p2N2)]rN/4。E=r/2，x0=N/2h(x0)=rN/43.3結(jié)論在最大經(jīng)濟(jì)效益原則下，漁場的捕撈能力投入E和長期產(chǎn)量h(x)都應(yīng)該比最大產(chǎn)量模型稍低。同時，漁場魚的保有總量略有增加。也就是說，有的時候，產(chǎn)量最大并不能保證收益最大，這在企業(yè)的經(jīng)營當(dāng)中是非常常見的現(xiàn)象。4.盲目捕撈模型假設(shè)經(jīng)營者根本不顧長遠(yuǎn)利益，看到有利潤就投入經(jīng)營，沒有利潤就放棄經(jīng)營，這樣會對漁場產(chǎn)生什么樣的影響？這時經(jīng)營者的決策完全是由利潤決定的，只要有利潤就捕撈，不考慮全局。考慮R(E)=pEN(1-E/r)-CE：令R(E)=0，得到Es=r(1-C/pN)。當(dāng)E<Es時，R(E)>0，即有利可圖，盲目經(jīng)營者會繼續(xù)增加捕撈能力，直到E>Es，使R(E)<0，即虧損經(jīng)營。出現(xiàn)虧損，經(jīng)營者又降低E……盲目捕撈模型分析Es=r(1-C/pN)是盲目捕撈情況下的臨界狀態(tài)，高于這個臨界值則出現(xiàn)虧損，低于臨界值則贏利。Es存在的條件：C<pN，即p>C/N，相對于魚的總量，魚的價格必須大于成本才能保證臨界點(diǎn)的存在。在沒有科學(xué)經(jīng)營策略的前提下，漁場應(yīng)該始終把捕撈能力控制在Es以下。在盲目捕撈情況下，漁場的穩(wěn)定魚量應(yīng)該為：xs=C/p（將Es代入x0的表達(dá)式得到）盲目捕撈模型的結(jié)論在盲目捕撈情況下，漁場的穩(wěn)定魚量為：xs=C/p注意：這個穩(wěn)定魚量由兩個因素決定，一是捕撈成本，二是魚的價格。這是一個典型的市場經(jīng)濟(jì)結(jié)果，捕撈量(市場供應(yīng)量)、捕撈努力量、漁場最終穩(wěn)定的保有量等等，完全由市場的價格杠桿決定。完全自由的市場經(jīng)濟(jì)并不可取，現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)應(yīng)該是一種結(jié)合了宏觀調(diào)控的市場經(jīng)濟(jì)。二、兩個生物種群的競爭模型考慮兩個生物種群競爭同一種有限資源的問題。在自然條件下，適應(yīng)環(huán)境能力弱的種群將趨于滅亡，適應(yīng)能力強(qiáng)的種群將增長到環(huán)境允許的最大數(shù)量。種群競爭模型現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到描述企業(yè)、國家等社會實(shí)體之間的競爭研究中。下面通過建立模型來解釋這種現(xiàn)象，并分析出現(xiàn)各種結(jié)局的條件。1.模型的建立設(shè)同一環(huán)境中有甲、乙兩個種群，x1(t)、x2(t)分別記t時刻甲、乙種群的數(shù)量；r1、r2為各自固有的增長率，N1、N2為各自環(huán)境最大容量。據(jù)此建立下面的模型：x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-

1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-

2x1/N1-x2/N2)其中

1，2是非常關(guān)鍵的指標(biāo)，反映一個種群對另一種群的競爭能力。2.穩(wěn)定性分析（競爭的結(jié)局）2.1求平衡點(diǎn)令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四個平衡點(diǎn)：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，pq穩(wěn)定條件P1r1-r2(1-

2)-r1r2(1-

2)P2-r1(1-

1)+r2-r1r2(1-

1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-

1)+r2(1-

2)](1-

1

2)-1r1r2(1-

1)(1-

2)(1-

1

2)-1

2<1(1<1)

1>1(

2<1)不穩(wěn)定

1<1

2<1p>0而且q>02.2平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性根據(jù)前面的方法不能給出各個平衡點(diǎn)全部的穩(wěn)定性條件。下面對

1和

2分情況討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。考慮轉(zhuǎn)到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿著t增加所表現(xiàn)出的趨勢。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-

1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-

2x1/N1-x2/N2)可知，在任意時刻，x1(t)和x2(t)是增是減由

=1-x1/N1-

1x2/N2

和

=1-

2x1/N1-x2/N2

決定。1、

1<1，2>1S1S2S3ON1/

2N1x1x2N2/

1N2=0

=0這時=0和=0將相平面分為三個區(qū)域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加時，所有解都將趨于P1，所以P1是穩(wěn)定的。ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2穩(wěn)定3、

1<1，2<1，P3穩(wěn)定ON1N1/

2x1P3N2N2/

1x2ON1/

2N2x1P3x2N2N2/

14、

1>1，2>1，方程的解不存在統(tǒng)一的發(fā)展趨勢。二(2)生物互惠共生模型甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。2)甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。3)甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。第一種情形模型假設(shè)甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的

1倍甲為乙提供食物是乙消耗的

2倍平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)有三個：P1(N1,0),P3(0,0)種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)0

1<1,

2>1,

1

2<1

P2穩(wěn)定模型結(jié)果分析

1

2<1~

2>1

前提下P2存在的必要條件

2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的

2倍

1<1~

2>1,

1

2<1

的需要，且

1必須足夠小，才能在

2>1條件下使

1

2<1

成立

P2穩(wěn)定條件：

1<1,

2>1,

1

2<1甲可以獨(dú)自生存乙不能獨(dú)立生存二(3)食餌-捕食者模型

種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量

y(t)甲獨(dú)立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與

y成正比乙獨(dú)立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析P點(diǎn)穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析

p=0,q>0P:臨界狀態(tài)

q<0P′不穩(wěn)定tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)的周期約為9.6xmax

65.5,xmin

6,ymax

20.5,ymin

3.9用數(shù)值積分可算出

x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,

y(t)的平均值約為10。平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

消去dt用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時無相軌線以下設(shè)穩(wěn)定性分析Py0x0x2x1取定x[x1,x2],xy2y1模型結(jié)果分析Py0x0對應(yīng)于每一個c，都有一條閉軌線T3T2T4

T1模型解釋r~食餌增長率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者數(shù)量食餌數(shù)量a~捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比,與a成反比食餌數(shù)量與d成正比,與b成反比Pr/ad/b模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？r

r-1,d

d+1捕撈戰(zhàn)時捕撈r

r-2,d

d+2,2<1???xy食餌(魚)減少，捕食者(鯊魚)增加自然環(huán)境還表明：對害蟲(食餌)—益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲的殺蟲劑,會使害蟲增加，益蟲減少。食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn)Volterra模型改寫多數(shù)食餌—捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn)加Logistic項有穩(wěn)定平衡點(diǎn)三、差分形式的阻滯增長模型連續(xù)型的阻滯增長模型應(yīng)用非常廣泛，其平衡點(diǎn)為0，N，其中N是穩(wěn)定的。而且平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與參數(shù)r的選取無關(guān)?？梢杂糜诿枋觯喝丝诨蚱渌镌谟邢拶Y源環(huán)境中的生長；傳染病在一個封閉區(qū)域的傳播規(guī)律；耐用消費(fèi)品在有限市場上的銷售。差分形式阻滯增長模型的實(shí)用背景在現(xiàn)實(shí)問題研究中，采用差分形式更便于進(jìn)行數(shù)值計算和計算機(jī)仿真；同時有些生物的繁殖不是時間連續(xù)的，而是按照固定的周期進(jìn)行。而且這是大量野生哺乳動物的生活習(xí)性。所以研究離散(差分)形式的阻滯增長模型是非常有實(shí)際意義的。差分形式阻滯增長模型將下面的連續(xù)型阻滯增長模型離散化得到差分形式阻滯增長模型這是一個一階非線性差分方程，只要給出初始值x0，可得任何時刻k的xk。差分形式阻滯增長模型下面準(zhǔn)備討論的是k

時，xk以及yk的發(fā)展趨勢問題，即差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。1、求解平衡點(diǎn)解方程x=bx(1-x),得到x*=1–1/b，x0=0(對應(yīng)的y*=N，y0=0)差分形式阻滯增長模型2、穩(wěn)定性按照差分方程穩(wěn)定性理論，這里f(x)=bx(1-x)f`(x)=b

(1-2x)x*=1–1/b，x0=0f`(x*

)=2-bf`(x0

)=b>0下面重點(diǎn)考慮非零平衡點(diǎn)x*

的穩(wěn)定條件。根據(jù)穩(wěn)定性理論，|2–b|<1，即1<b<3時x*

是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。也就是說，0<r<2時，y*

=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。這與連續(xù)型模型中，r

取任何值N都是穩(wěn)定不同1<b<3時x*

是穩(wěn)定的，即xk

x*.

在x-y平面上分別做y=

bx(1-x)和

y=x

的圖形O1<b<22<b<3O1/21xy1/2差分形式阻滯增長模型圖形分析表明：當(dāng)1<b<2時，x*

<1/2，xk

x*的過程是單調(diào)的.

當(dāng)2<b<3時，x*

>1/2，xk

x*的過程呈現(xiàn)交替.

當(dāng)b>3時，雖然x*存在，但不穩(wěn)定。差分形式阻滯增長模型另外，用計算機(jī)計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)3<b<3.449時，雖然{xk}不收斂，{xk}有兩個收斂子列：{x2k}和{x2k+1}它們各自都有自己的收斂點(diǎn)：

x2k+1

x*1,x2k

x*2如果說1<b<3時，差分方程的解是單周期收斂的話，那么3<b<3.449時差分方程是雙周期收斂的。這在實(shí)際問題中也有一定的實(shí)用背景。四、市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型在自由竟?fàn)幍氖袌鼋?jīng)濟(jì)中，從生產(chǎn)者、消費(fèi)者兩方面來討論商品生產(chǎn)隨價格變化的規(guī)律，即討論生產(chǎn)數(shù)量與產(chǎn)品價格之間的關(guān)系。市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟(jì)中的一個典型現(xiàn)象：供大于求價格下跌生產(chǎn)者減產(chǎn)供不應(yīng)求價格上升生產(chǎn)者增產(chǎn)這樣的震蕩有兩種發(fā)展趨勢：振幅越來越大導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)崩潰；振幅趨于平穩(wěn)。推出新品下面設(shè)法建立模型來描述這個震蕩過程，以及影響其發(fā)展趨勢的因素。一、圖形法建模記x為生產(chǎn)數(shù)量，y為產(chǎn)品單價。從消費(fèi)者的角度出發(fā)，價格是數(shù)量的減函數(shù)：

y=f(x)——需求函數(shù)，反映消費(fèi)者對商品的需求。從生產(chǎn)者的角度出發(fā)，數(shù)量是價格的增函數(shù)：

x=g(y)——供應(yīng)函數(shù)，與生產(chǎn)者的生產(chǎn)