專題2.7因式分解及應(yīng)用大題專練（分層培優(yōu)30題七下蘇科）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】（解析版）

2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.7因式分解及應(yīng)用大題專練（分層培優(yōu)30題，七下蘇科）A卷基礎(chǔ)過關(guān)卷（限時50分鐘，每題10分，滿分100分）1．（2021春?興化市期末）因式分解：（1）4m2﹣36；（2）2a2b﹣8ab2+8b3．【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝4（m2﹣9）＝4（m+3）（m﹣3）；（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）＝2b（a﹣2b）2．2．（2022春?海陵區(qū)校級期中）因式分解：（1）18xn+1﹣24xn（2）x4﹣18x2y2+81y4【分析】（1）根據(jù)提公因式法因式分解即可；（2）根據(jù)公式法因式分解即可．【解答】解：（1）18xn+1﹣24xn＝6xn（3x﹣4）；（2）x4﹣18x2y2+81y4＝（x2﹣9y2）2＝（x+3y）2（x﹣3y）2．3．（2022春?東?？h校級月考）分解因式：（1）4x2﹣36；（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．【分析】（1）先提公因式4，然后再用平方差公式分解因式即可；（2）用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣36＝4（x2﹣9）＝4（x+3）（x﹣3）；（2）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+2ab+b2）（a2﹣2ab+b2）＝（a+b）2（a﹣b）2．4．（2022秋?如東縣期中）分解因式：（1）﹣4x2+24xy﹣36y2；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．【分析】（1）直接提取公因式﹣4，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣4（x2﹣6xy+9y2）＝﹣4（x﹣3y）2；（2）原式＝（2x+y+x+2y）[2x+y﹣（x+2y）]＝（3x+3y）（2x+y﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y）．5．（2022春?濱?？h月考）因式分解：（1）18x2﹣50；（2）81x4﹣72x2y2+16y4．【分析】（1）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝2（9x2﹣25）＝2（3x+5）（3x﹣5）；（2）原式＝（9x2﹣4y2）2＝[（3x+2y）（3x﹣2y）]2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2．6．（2022春?江陰市校級月考）因式分解（1）8m2n﹣2mn；（2）n4﹣16．【分析】（1）根據(jù)提取公因式法進(jìn)行因式分解即可；（2）根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：（1）8m2n﹣2mn＝2mn（4m﹣1）；（2）n4﹣16＝（n2+4）（n2﹣4）＝（n2+4）（n﹣2）（n+2）．7．（2022春?亭湖區(qū)校級期中）分解因式：（1）2a（x﹣y）+b（y﹣x）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【分析】（1）原式變形后，提取公因式即可得到結(jié)果；（2）原式利用平方差公式和完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2a（x﹣y）+b（y﹣x）＝2a（x﹣y）﹣b（x﹣y）＝（2a﹣b）（x﹣y）；（2）（x2+1）2﹣4x2＝（x2+2x+1）（x2﹣2x+1）＝（x+1）2（x﹣1）2．8．（2022春?泰州期末）分解因式：（1）a2b﹣4b；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）．【分析】（1）直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（x﹣2），再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）a2b﹣4b＝b（a2﹣4）＝b（a+2）（a﹣2）；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）＝x2（x﹣2）﹣4（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣4）＝（x﹣2）2（x+2）．9．（2022秋?大豐區(qū)期中）我們用xyz表示一個三位數(shù)，其中x表示百位上的數(shù)，y表示十位上的數(shù)，z表示個位上的數(shù)，即xyz=100x+10y+z（1）說明abc+bca+（2）①寫出一組a、b、c的取值，使abc+bca+cab能被11整除，這組值可以是a＝2，b＝5，c＝4；②若abc+bca+cab能被11整除，則a、b、c三個數(shù)必須滿足的數(shù)量關(guān)系是a+b【分析】（1）將abc+（2）①根據(jù)能被11整除的定義即可求解；②表示，再根據(jù)abc+bca+cab能被11整除，找到a、【解答】解：（1）abc＝100a+10b+c+100b+10c+a+110c+10a+b＝111a+111b+111c＝111（a+b+c），故abc+bca+（2）①∵一組a、b、c的取值，使abc+bca+abc+bca+cab=111（a+b+c），0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a∴a+b+c＝11，∴這組數(shù)可以是a＝2，b＝5，c＝4，故答案為：2，5，4（答案不唯一）；②∵abc+bca+cab=111（a+b+c），abc+bca∴a+b+c能被11整除，即a+b+c是11的倍數(shù)，∵0＜a+b+c≤9+9+9＝27，∴a，b，c必須滿足的關(guān)系是a+b+c＝11或22，故答案為：a+b+c＝11或22．10．（2022春?鳳翔縣月考）如果一個正整數(shù)能表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：4＝22﹣02；12＝42﹣22；20＝62﹣42；因此，4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)．（1）28和2012這兩個數(shù)是不是神秘數(shù)？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k和2k+2（其中k為非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)，請說明理由．（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是不是神秘數(shù)？請說明理由．【分析】（1）試著把28、2012寫成平方差的形式，解方程即可判斷是否是神秘數(shù)；（2）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算，可得這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)；（3）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算，進(jìn)而判斷即可．【解答】解：（1）設(shè)28和2012都是“神秘數(shù)”，設(shè)28是x和x﹣2兩數(shù)的平方差得到，則x2﹣（x﹣2）2＝28，解得：x＝8，∴x﹣2＝6，即28＝82﹣62，設(shè)2012是y和y﹣2兩數(shù)的平方差得到，則y2﹣（y﹣2）2＝2012，解得：y＝504，y﹣2＝502，即2012＝5042﹣5022，所以28，2012都是神秘數(shù)；（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍．（3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)，是偶數(shù)倍，不滿足連續(xù)偶數(shù)的神秘數(shù)為4的奇數(shù)倍這一條件．∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)．B卷能力提升卷（限時60分鐘，每題10分，滿分100分）11．（2022秋?海門市期末）因式分解：（1）x3﹣9x；（2）3x2﹣12xy+12y2．【分析】（1）先提公因式，然后再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．【解答】解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）；（2）3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2．12．（2022秋?如東縣期末）分解因式：（1）4x3﹣xy2；（2）3x（x﹣4）+12．【分析】（1）先提公因式x，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先根據(jù)單項式乘多項式的計算方法化簡后，再提公因式、利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【解答】解：（1）原式＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y）；（2）原式＝3x2﹣12x+12＝3（x2﹣4x+4）＝3（x﹣2）2．13．（2022春?江都區(qū)月考）分解因式：（1）x2﹣16；（2）2x2y﹣8xy+8y．【分析】（1）直接利用平方差公式即可；（2）先提公因式2y，再利用完全平方公式即可進(jìn)行因式分解．【解答】解：（1）原式＝（x+4）（x﹣4）；（2）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．14．（2022春?天寧區(qū)校級期中）把下列各式分解因式：（1）3a2b﹣6ab2+9ab；（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）；（3）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）直接提取公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（a﹣b），再利用平方差公式分解因式即可；（3）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）3a2b﹣6ab2+9ab＝3ab（a﹣2b+3）；（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；（3）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）＝（a﹣1）2（a+1）2．15．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）因式分解：（1）3ab3+15a3b；（2）（m﹣1）（m﹣3）+1．（3）3x3﹣6x2y+3xy2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【分析】（1）提公因式法，因式分解；（2）先化簡，再用公式法分解因式；（3）先提公因式，再利用公式法因式分解；（4）先提公因式，再利用公式法因式分解；【解答】解：（1）原式＝3ab（b2+5a2）；（2）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（3）原式＝3x（x2﹣2xy+y2）＝3x（x﹣y）2；（4）＝（9a2﹣4b2）（x﹣y）＝（3a﹣2b）（3a+2b）（x﹣y）．16．（2022春?金壇區(qū)期中）已知x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．（1）求xy的值；（2）求x3y+2x2y2+xy3的值．【分析】（1）將原式化為xy+2（x+y）+4＝12，求出xy的值即可；（2）將原式因式分解為xy（x+y）2，再代入計算即可．【解答】解：（1）∵（x+2）（y+2）＝12，∴xy+2（x+y）+4＝12，∵x+y＝3，∴xy+6+4＝12，即xy＝2；（2）原式＝xy（x2+2xy+y2）＝xy（x+y）2＝2×32＝18．17．（2022秋?海安市月考）仔細(xì)閱讀下面例題，然后按要求解答問題：例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解法一：設(shè)另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴n+3=-4m=3n∴另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21．解法二：∵二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），∴當(dāng)x+3＝0，即x＝﹣3時，x2﹣4x+m＝0．把x＝﹣3代入x2﹣4x+m＝0，得m＝﹣21，而x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．∴m的值為﹣21，另一個因式為x﹣7．問題：分別仿照以上兩種方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（2x﹣5），求另一個因式以及k的值．解法一：另一個因式為（x﹣1），k的值為5；解法二：k的值為5，另一個因式為（x﹣1）．【分析】（2x﹣5）（x+n）展開，可得出一次項的系數(shù)，繼而即可求出n和k的值．【解答】解法一：設(shè)另一個因式為（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n）則2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n∴2n+5=3-k=5n，解得n=∴另一個因式為（x﹣1），k的值為5；解法二：∵二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（2x﹣5），∴當(dāng)2x﹣5＝0，即x＝2.5時，2x2+3x﹣k＝0．把x＝2.5代入2×（2.5）2+3×2.5﹣k＝0，得k＝5，而2x2+3x﹣5＝（x﹣1）（2x﹣5）．∴k的值為5，另一個因式為（x﹣1）．故答案為：另一個因式為（x﹣1），k的值為5；k的值為5，另一個因式為（x﹣1）．18．（2019春?邗江區(qū)校級期中）定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則c＝b2+ab﹣a+7擴(kuò)充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，試說明“如意數(shù)”c為非負(fù)數(shù)．【分析】（1）本題是一道自定義運(yùn)算題型，根據(jù)題中給的如意數(shù)的概念，代入即可得出結(jié)果（2）根據(jù)如意數(shù)的定義，求出代數(shù)式，分析取值范圍即可【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1∴c＝b2+ab﹣a+7＝1+（﹣2）﹣2+7＝4（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2∴c＝b2+ab﹣a+7＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7＝2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2∵（m﹣1）2≥0∴“如意數(shù)”c為非負(fù)數(shù)19．（2021春?鎮(zhèn)江期中）【活動材料】若干個如圖1所示的長方形和正方形硬紙片【活動要求】用若干塊這樣的長方形和正方形硬紙片拼成一個新的長方形，通過不同的方法計算面積，探求相應(yīng)的等式．例如，由圖2，我們可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【問題解決】（1）選取正方形、長方形硬紙片共8塊，拼出如圖3的長方形，直接寫出相應(yīng)的3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）；（2）嘗試借助拼圖的方法，把二次三項式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的圖形畫在圖4的虛線方框內(nèi)；（3）將2b2﹣3ab+a2分解因式：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）（直接寫出結(jié)果，不需要畫圖）．【分析】運(yùn)用不同方法求解矩形面積：分割法求解、公式法求解，所得的結(jié)果是一樣的，由此可得出答案．【解答】解：（1）如圖3，用分割法求解圖3的矩形，可發(fā)現(xiàn)是由3個邊長為b的正方形和1個邊長為a的正方形以及4個長寬分別為b、a的長方形組成，所以矩形面積可為（3b2+4ab+a2），矩形面積求解還可以用長乘寬計算，長為（3b+a），寬為（a+b），所以矩形面積可為（3b+a）（a+b），面積相等，即：3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）．（2）如圖所示，2a2+3ab+b2可看作由2個邊長為a的正方形，1個邊長為b的正方莆，3個長宙斯分別為b、a的長方形組成的矩形的面積，所以可畫圖．由（1）的方法可得2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（3）由幾何思想可利用已有圖形拼湊，拼湊成2個邊長為b的正方形減去3個長寬分別為b、a的矩形，再加上一個邊長為a的正方形即可，再用公式法算出剩下圖形的面積，即可得到式子：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）．20．（2021春?鼓樓區(qū)期末）對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F(xiàn)（123）＝6．（1）計算：F（243），F(xiàn)（761）的值；（2）已知一個相異數(shù)p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均為小于10的正整數(shù)），則F（p）＝a+b+c，（3）若m，n都是“相異數(shù)”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)），若k=F(m)F(n)，當(dāng)F（m）+F（n）＝16時，求【分析】（1）利用已知條件及方法代數(shù)求解（2）百位數(shù)的表示方法（3）利用前兩問的方法表示F（m），F(xiàn)（n）．利用F（m）+F（n）＝16，求解不定等式中x與y的值．進(jìn)而求出F（m），F(xiàn)（n）的值．【解答】解：（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9，F(xiàn)（761）＝（671+167+716）÷111＝14．（2）∵相異數(shù)p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均為小于10的正整數(shù)），∴F（p）＝[100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）]÷111＝a+b+c故答案為：a+b+c（3）∵m，n都是“相異數(shù)”，且m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)），∴F（m）＝[100（x+2+3）+10（x+2+3）+（x+2+3）]÷111＝x+5，F(xiàn)（n）＝（51y+y51+1y5）＝[100（1+5+y）+10（1+5+y）+（1+5+y）]÷111＝6+y又∵F（m）+F（n）＝16∴x+y＝5．又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴當(dāng)x＝1，y＝4當(dāng)x＝2，y＝3當(dāng)x＝3，y＝2當(dāng)x＝4，y＝1．又∵m，n都是“相異數(shù)”，∴x≠2，x≠3，y≠1∴x＝1，y＝4∴F（m）＝6，F(xiàn)（n）＝10∴k＝6÷10＝0.6故k＝0.6C卷培優(yōu)壓軸卷（限時70分鐘，每題10分，滿分100分）21．（2022春?高淳區(qū)校級期中）分解因式：（1）3ab2﹣6ab+3a；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）．【分析】（1）先提取公因式，再按完全平方公式分解因式；（2）先提取公因式，再按平方差公式分解因式．【解答】解：（1）3ab2﹣6ab+3a＝3a（b2﹣2b+1）＝3a（b﹣1）2；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）＝2（a﹣b）（a2﹣4）＝2（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．22．（2022春?江陰市期中）因式分解（1）a2﹣6a+9；（2）2x2﹣8；（3）x2﹣y2﹣x+y．【分析】（1）利用完全平方公式，進(jìn)行分解即解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；（3）把前兩項分為一組，后兩項分為一組，再進(jìn)行分解即可解答．【解答】解：（1）a2﹣6a+9＝（a﹣3）2；（2）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；（3）x2﹣y2﹣x+y＝（x2﹣y2）﹣（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣1）．23．（2021春?阜寧縣期中）很久以前，有一位老人臨終前，準(zhǔn)備將自己所養(yǎng)的7頭牛全部分給兩個兒子飼養(yǎng)，大兒先得一半，小兒再得剩余的四分之三，兩兒正躊躇不決時，熱心的鄰居從自家牽了一頭牛參與分配，給大兒分了四頭牛，小兒分了三頭牛，余下的一頭牛鄰居又牽回家了，皆大歡喜，聰明的鄰居合理地解決了這個問題．初中數(shù)學(xué)里也有這種“轉(zhuǎn)化”的思考方法．例如：先閱讀下列多項式的因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．按照這種方法分別把多項式分解因式：（1）x4+64；（2）x3﹣y3．【分析】（1）原式加上16x2，再減去16x2，利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計算即可；（2）原式加上x2y，再減去x2y，利用提公因式法進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）x4+64＝（x4+16x2+64）﹣16x2＝（x2+8）2﹣（4x）2＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；（2）x3﹣y3＝（x3﹣x2y）+（x2y﹣y3）＝x2（x﹣y）+y（x+y）（x﹣y）＝（x﹣y）（x2+xy+y2）．24．（2022春?邗江區(qū)期中）閱讀并解決問題．對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+2ax﹣3a2，就不能直接運(yùn)用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2ax﹣3a2中先加上一項a2，使它與x2+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a2，整個式子的值不變，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添﹣適當(dāng)項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是實數(shù)，試比較x2﹣4x+5與﹣x2+4x﹣4的大小，說明理由．【分析】（1）加1再減1，可以組成完全平方式；（2）①加2ab再減2ab可以組成完全平方式；②在①得基礎(chǔ)上，加2a2b2再減2a2b2，可以組成完全平方式；（3）把所給的代數(shù)式進(jìn)行配方，然后比較即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8，＝a2﹣6a+9﹣1，＝（a﹣3）2﹣1，＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），＝（a﹣2）（a﹣4）；（2）a2+b2，＝（a+b）2﹣2ab，＝52﹣2×6，＝13；a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×62＝169﹣2×36＝169﹣72＝97；（3）∵x2﹣4x+5，＝x2﹣4x+4+1，＝（x﹣2）2+1≥1＞0﹣x2+4x﹣4，＝﹣（x2﹣4x+4），＝﹣（x﹣2）2≤0∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．（若用”作差法”相應(yīng)給分）25．（2022春?阜寧縣期中）觀察下列等式，并回答有關(guān)問題：1×2×3×4+1＝52＝（1×4+1）22×3×4×5+1＝112＝（2×5+1）23×4×5×6+1＝192＝（3×6+1）2……（1）填空：5×6×7×8+1＝（5×8+1）2（2）若n為正整數(shù)，猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1因式分解的結(jié)果并說明理由；（3）利用（2）的結(jié)果比較99×100×101×102+1與101002的大?。痉治觥浚?）根據(jù)式子的規(guī)律即可得出答案；（2）根據(jù)規(guī)律猜想出結(jié)果，用因式分解的方法證明即可；（3）應(yīng)用（2）的結(jié)果化簡即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律得：5×6×7×8+1＝（5×8+1）2，故答案為：5×8+1；（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2＝（n2+3n+1）2，理由：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2；（3）99×100×101×102+1＝（992+3×99+1）2＝（9801+297+1）2＝100992＜101002．26．（2022春?射陽縣校級月考）數(shù)學(xué)教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使?中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式?的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與?負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最?值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當(dāng)x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料?配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5（m+1）（m﹣5）．（2）當(dāng)a，b為何值時，多項式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出這個最小值．（3）當(dāng)a，b為何值時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30有最小值，并求出這個最小值．【分析】（1）將多項式加4再減4，利用配方法可得；（2）將多項式配方后可得結(jié)論；（3）將多項式配方后可得結(jié)論．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5），故答案為：（m+1）（m﹣5）；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴當(dāng)a＝2，b＝﹣3時，多項式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+20＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+20，∴當(dāng)a＝4，b＝3時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30有最小值20．27．（2018春?邗江區(qū)期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式，例如：將式子x2+3x+2分解因式．分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）請仿照上面的方法，解答下列問題：（1）分解因式：x2+7x+12＝（x+3）（x+4）；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能的值是±7，±2．【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）將x2﹣3看作整體，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得．（3）找出所求滿足題意p的值即可．【解答】解：（1）x2+7x+12＝（x+3）（x+4），故答案為：（x+3）（x+4）；（2）原式＝（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）＝（x2﹣4）（x2﹣1）＝（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；（3）若x2+px﹣8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是﹣8+1＝﹣7；﹣1+8＝7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2，故答案為：±7，±2．28．（2022秋?如東縣期末）【閱讀理解】一般地，如果正整數(shù)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么a，b，c稱為一組“商高數(shù)”．【問題解決】：（1）下列數(shù)組：①7，3，4；②3，4，6；③5，12，13，其中是“商高數(shù)”的有③（直接填序號）；（2）“商高數(shù)”有很多的構(gòu)造方法．求證：如果m，n為任意正整數(shù)，且m＞n，那么m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高數(shù)”；（3）：①若按（2）中的方法構(gòu)造出的一組“商高數(shù)”中最大的數(shù)與最小的數(shù)的差為32，求n的值；②若按（2）中的方法構(gòu)造出的一組“商高數(shù)”中最大數(shù)是2p2+10p+13（p是任意正整數(shù)），則這組“商高數(shù)”中的最小數(shù)為p+2（用含p的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)新定義判斷求解；（2）根據(jù)新定義進(jìn)行證明；（3）①先判斷大小，再分類討論；②把2p2+10p+13進(jìn)行分解成兩個代數(shù)式的平方，再比較大?。窘獯稹拷猓海?）①∵32+42≠72，∴7，3，4不是“商高數(shù)”，②∵32+42≠62，∴6，3，4不是“商高數(shù)”，③∵52+122＝132，∴5，12，13是“商高數(shù)”，故答案為：③；（2）（m2﹣n2）2+（2nn）2＝（m2+n2）2，∴m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高數(shù)；（3）①∵m2+n2＞m2﹣n2，m2+n2＞2mn，∴當(dāng)（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝32，解得：n＝4，當(dāng)（m2+n2）﹣2mn＝32，解得：m﹣n＝42（不合題意，舍去）；②∵2p2+10p+13＝p2+4p+4+p2+6p+9＝（p+2）2+（p+3）2，∵p是任意正整數(shù)，∴p+2＜p+3，故答案為：p+2．29．（2022秋?江陰市期末）小敏和小華對一些四位數(shù)abcd（a、b、c、d均為不超過9的正整數(shù)）進(jìn)行了觀察、猜想，請你幫助他們一起完成探究．（1）這個四位數(shù)可用含a、b、c、d的代數(shù)式表示為1000a+100b+10c+d；（2）小敏嘗試將一些四位數(shù)倒排后，再與原數(shù)相加，發(fā)現(xiàn)和都為11的倍數(shù)．如：1234+4321＝5555＝505×11，4258+8524＝12782＝1162×11．請仿照小敏的做法再舉一個具體例子2345+5432＝7777＝7×11．你認(rèn)為上述結(jié)論對于一般