初中數(shù)學(xué)常見的模型方法-15 平行四邊形的模型

平行四邊形的模型

模型一中點(diǎn)四邊形

模型通解

1.如圖所示，點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABCO的邊的中點(diǎn)，求

證：四邊形EFGH是平行四邊形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】連接80,利用三角形的中位線定理證明得出E”//月G,￡H=FG,從而得

到四邊形EFGH是平行四邊形

【詳解】解：如圖，連接50.

???點(diǎn)￡,〃分別是線段的中點(diǎn),

EH是△A5D的中位線，

C.EH//BD,EH=-BD.

2

同理，F(xiàn)G/IBD,FG=-BD.

2

...EH//FG,EH=FG,

...四邊形EFGH是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線定理和平行四邊形的判定方法，題目比較典

型，又有綜合性，難度不大，解題的關(guān)鍵是正確的添加輔助線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)

化為三角形的問題.

巧記

1.任意四邊形中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形.

2.對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形；對角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩

形；對角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.

拓展

例題1

2.己知四邊形Z8C。中，ACA.BD,E,F,G,"分別是ABBC,CD,D4的

中點(diǎn)，則四邊形EFGH是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】如圖，

,.,EDFIG□，分別是，513c口?！酢?的中點(diǎn)，

nEF-AACUHG^ACU

□￡FOJCn

同理可得HEJGFQ

口四邊形EFGH是平行四邊形，

^EFUAC^ACUBD^

JEFQBDQ

QHEDBD\J

-JEFQHED

□□77￡F=90°Q

口平行四邊形EEG”是矩形.

故選B.

變式1

3.順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則這個(gè)四邊形可能是

().

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】D

【解析】

【分析】利用連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形，則結(jié)合正方形的性質(zhì)及

三角形的中位線的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而不難求解.

【詳解】解：如圖點(diǎn)￡,F,G,〃分別是四邊形Z8CQ各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFG”

是正方形.

?.?點(diǎn)E,F,G,“分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，且四邊形舟G”是正方形.

：.EF=EH,EF1EH,

：.BD=2EF,AC=2EH,EFUBD,EH!/AC

：.AC=BD,ACLBD,

即四邊形力BCD滿足對角線相等且垂直,

選項(xiàng)D滿足題意.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角形中位線定理得到新四邊形各邊與相應(yīng)線段之間的數(shù)

量關(guān)系和位置.熟練掌握特殊四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

變式2

4.若順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則下列結(jié)論中正確的

是（）

A.AB〃CDB.AB±BCC.AC±BDD.AC=BD

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EH=：AC,EH〃AC,FG=[AC,FG〃AC,

可得四邊形EFGH為平行四邊形，要得到四邊形EFGH為菱形，則EH=EF,而EF

=：BD,所以當(dāng)AC=BD時(shí)可得到四邊形EFGH為菱形.

【詳解】解：如圖，連接AC,BD,

點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，

.".EH=-AC,EH〃AC,FG=-AC,FG〃AC,

22

...四邊形EFGH為平行四邊形，

當(dāng)EH=EF時(shí)，四邊形EFGH為菱形，

又?.?EF」BD,

2

若EH=EF,

則AC=BD.

故選D.

D

H

E

F\\X

R

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理：鄰邊相等的平行四邊形是菱形.也考查了平

行四邊形的判定以及三角形中位線的性質(zhì).

變式3

5.如圖，在任意四邊形ABCD中，M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA上的

點(diǎn)，對于四邊形MNPQ的形狀，以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)M,N,P,Q是各邊中點(diǎn)，四邊MNPQ一定為平行四邊形

B.當(dāng)M,N,P,Q是各邊中點(diǎn)，且NABC=90M,四邊形MNPQ為正方形

C.當(dāng)M,N、P,Q是各邊中點(diǎn)，且AC=BD時(shí)，四邊形MNPQ為菱形

D.當(dāng)M,N、P、Q是各邊中點(diǎn)，且ACLBD時(shí)，四邊形MNPQ為矩形

【答案】B

【解析】

【分析】連接AC、BD,根據(jù)三角形中位線定理得到PQ〃AC,PQWAC,MN〃AC,

MN《AC,根據(jù)平彳亍四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.

【詳解】解:BD交于點(diǎn)0,

?.?M,N,P,Q是各邊中點(diǎn),

.-.PQ//AC,PQ=1AC,MN//AC,MN=-AC,

22

/.PQ//MN,PQ=MN,

四邊MNPQ一定為平行四邊形，A說法正確，不符合題意；

/ABC=90。時(shí)，四邊形MNPQ不一定為正方形，B說法錯(cuò)誤，符合題意;

AC=BD時(shí)，MN=MQ,

二四邊形MNPQ為菱形，C說法正確，不符合題意;

AC_LBD時(shí)，/MNP=90°,

二四邊形MNPQ為矩形，D說法正確，不符合題意.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

定理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

變式4

6.如圖□在任意四邊形ABCD中DACIBD是對角線□EEJFDG口H分別是線段

BDOBCJAC口AD上的點(diǎn)□對于四邊形EFGH的形狀□某班的學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)

課中□通過動(dòng)手實(shí)踐□探索出如下結(jié)論二其中錯(cuò)誤的是口

A.當(dāng)EUFUGUH是各條線段的中點(diǎn)時(shí)口四邊形EFGH為平行四邊形

B.當(dāng)EIFDGDH是各條線段的中點(diǎn)□且ACJ_BD時(shí)□四邊形EFGH為矩形

C.當(dāng)EDFDGTH是各條線段的中點(diǎn)」且AB=CD時(shí)□四邊形EFGH為菱形

D.當(dāng)EEiFEJGDH不是各條線段的中點(diǎn)時(shí)□四邊形EFGH可以為平行四邊形

【答案】B

【解析】

【分析】4用三角形的中位線定理判斷四邊形ERG”的形狀；8.判斷四邊形EFGH

的內(nèi)角能否為直角；C根據(jù)菱形的定義判斷；。.當(dāng)

口3。//口5?？??！昕??？?。6口3?？?3時(shí)判斷四邊形環(huán)6〃是平行四邊形.

【詳解】解：如圖1口口￡口仃6口”分別是線段8?？??？??？?）的中點(diǎn)，

H

JEFQ-CD\JFGa-AB3GHD-CD\3HEQ-ABJ

2222

UEF'JGHQFGQHEQ：.四邊形EFGH為平行四邊形.

則/正確；

如圖23當(dāng)/(713。時(shí)口口1口900口

□1>Q2>DEHGD：.四邊形E//GF不可能是矩形口則B錯(cuò)誤口

ABOCDHGEFOFGaGHOHED：.四邊形EFGHB是菱形.

則C正確；

如圖3」當(dāng)￡口口口”口6是相應(yīng)線段的三等分點(diǎn)時(shí)L四邊形MG”是平行四邊形.

□￡QFU/7UG是相應(yīng)線段的三等分點(diǎn)□□DEHDULiBADJQCFGGDCBAa

HE1FGi

——=-□—=-QLEHFG

AB3AB3

又,：EH3AB3FGUABU\3EHUFGU

，四邊形E尸G”是平行四邊形□則D正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】判定兩個(gè)三角形相似的方法有：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊

（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊成比例的兩個(gè)三

角形相似；③兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；④有兩個(gè)角相等的三角形

相似.

變式5

7.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4,對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且

E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.EH=HGB.四邊形EFGH是平行四邊形

C.AC±BDD.AABO的面積是AEFO的面積的2倍

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng)即可解答，

【詳解】解：因?yàn)镋、H為OA、OD的中點(diǎn)，

所以，EH=，AO=2,同理，HG=-CD=1,所以，A錯(cuò)誤;

22

EH〃AD,EH」A。,

2

FG〃BC,FG=-BC,

2

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，AD=BC,且AD〃BC,

所以，EH=FG,且EH〃FG,

所以，四邊形EFGH是平行四邊形，B正確.

AC與BD不一定垂直，C錯(cuò)誤；

由相似三角形的面積比等于相似比的平方，知：^ABC的面積是△EFO的面積的4

倍，D錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握是解題的

關(guān)鍵.

變式6

8.如圖，任意四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的

點(diǎn)，對于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過動(dòng)手實(shí)踐，探

索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

A.□EnFDGnHaDDDDDDAC=BDDDDDDEFGHnnD

B.□EnFnG3H^nDnnncACOBDnnnnnEFGHacn

c.□EnFaGDHannnannnnaaEFGHan□□□□□□

D.□EDFDGDHDDQD□□□□□□□EFGHaDnnnn

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：

根據(jù)題意，可知，連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形必為平行四邊形，根據(jù)中點(diǎn)四

邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷：

A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且AC=BD時(shí)，EF=FG=GH=HE,故四邊形

EFGH為菱形，故A正確；

B.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且ACDBD時(shí)，□EFG=DFGH=CGHE=90°,故

四邊形EFGH為矩形，故B正確；

C.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，EFDHG,EF=HG,故四邊形EFGH為平行

四邊形，故C正確；

D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可能為菱形，故D錯(cuò)誤；

故選D.

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

模型二十字架模型

模型通解

9.正方形內(nèi)部，MNA.EF,求證MN=EF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】分別把MN和族平移，根據(jù)AS4證明△ADGgzJXH即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：分別把MN和瓦'平移，如圖.

,?四邊形ABCD是正方形，

/.AD=CD,ZADC=ZA=90。,

ZADG+ZCDG=90°.

?；MN1EF

：.GD±CH,

：.NDCH+NCDG=90°,

：.ZADG=ZDCH.

在AADG與ADC”中,

NADG=NDCH,

<AD=DC,

ZA=ZHDC=90°,

^ADG^DCH(ASA),

:.GD=CH,

：.MN=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知

識，通過平移構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

巧記

正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.

點(diǎn)撥

無論怎么變，只要垂直，十字架就會(huì)相等.

例題1

10.如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN,EF,M,N,E,F分別在邊

AB,CD,AD,BC±.小明認(rèn)為：若MN=EF,則MNLEF；小亮認(rèn)為：若

MN±EF,則MN=EF□你認(rèn)為（）

A.僅小明對B.僅小亮對C.兩人都對D.兩人都不對

【答案】C

【解析】

【分析】分別過點(diǎn)E作EGJ_BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)M作MPLCD于點(diǎn)P,設(shè)EF與MN

相交于點(diǎn)O,MP與EF相交于點(diǎn)Q,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得EG=MP；對于小明的

說法，先利用“HL”證明RtAEFG^RtAMNP,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

NMNP=NEFG,再根據(jù)角的關(guān)系推出NEQM=NMNP,然后根據(jù)NMNP+ZNMP=90°

得到NNMP+NEQM=90°,從而得到NMOQ=90°,根據(jù)垂直的定義即可證得

MN1EF；對于小亮的說法，先推出NEQM=NEFG,ZEQM=ZMNP,然后得到

ZEFG=ZMNP,然后利用“角角邊”證明4EFG之△MNP,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊

相等可得EF=MN.

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EGLBC于點(diǎn)G,過點(diǎn)M作MPLCD于點(diǎn)P,設(shè)EF與MN

相交于點(diǎn)O,MP與EF相交于點(diǎn)Q,

?.?四邊形ABCD是正方形，

；.EG=MP,

對于小明的說法：

在RtAEFG和RtAMNP中，

MN=EF

EG=MP'

ARtAEFG^RtAMNP(HL),

，ZMNP=ZEFG,

:MP_LCD,ZC=90°,

，MP〃BC,

，ZEQM=ZEFG=ZMNP,

XVZMNP+ZNMP=90°,

/.ZEQM+ZNMP=90°,

在aMOQ中，ZMOQ=180°-(ZEQM+ZNMP)=180°-90°=90°,

.,.MN±EF,

故甲正確.

對小亮的說法：

:MP_LCD,ZC=90°,

，MP〃BC,

，NEQM=NEFG,

VMN1EF,

/.ZNMP+ZEQM=90°,

又，.加口口，

/.ZNMP+ZMNP=90°,

.,.ZEQM=ZMNP,

，ZEFG=ZMNP,

在aFFG和△MNP中，

4EFG=4MNP

<NEGF=NMPN=90。,

EG=MP

/.△EFG^AMNP(AAS),

，MN=EF,故小亮的說法正確，

綜上所述，兩個(gè)人的說法都正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等的

性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，通常情況下，求兩邊相等，

或已知兩邊相等，都是想法把這兩條線段轉(zhuǎn)化為全等三角形的對應(yīng)邊進(jìn)行求解.

變式1

11.如圖，在正方形/8CO中，點(diǎn)E是8c上一點(diǎn)，BFL4E交DC于點(diǎn)F,若

=5,BE=2,plijAF=.

【答案】取.

【解析】

［分析］根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC,NABE=N8Cb=90。,推出NA4E=NEBH,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CR=8E=2,求得。p=5-2=3,根據(jù)勾股定理即可得

到結(jié)論.

【詳解】???四邊形/BCD是正方形，

：.AB=BC,NABE=/BCF=9。。,

：.NBAE+NAEB=90°,

'：BHA_AE,

：.NBHE=90°,

ZAEB+ZEBH=90°,

：.NBAE=/EBH,

'NBAE=NCBF

在zUBE和"CF中，＜AB=BC

NABE=NBCF

:AABE學(xué)ABCF(.ASA),

：.CF=BE=2,

：.DF=5-2=3,

?.?四邊形Z5CO是正方形，

：.AB=AD=5,ZADF=9Q°,

由勾股定理得：AF=7AD2+DF2=V52+32=V34.

故答案為取.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，本題證

^△ABE^ABCF是解本題的關(guān)鍵.

變式2

12.如圖，正方形ABCD中，E,F分別為BC,CD上的點(diǎn)，且AELBF,垂足為

G.

(1)求證：AE=BF；(2)若BE=?,AG=2,求正方形的邊長.

【答案】(1)見解析；(2)正方形的邊長為灰.

【解析】

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC,□ABC=DC=90°,□BAE+DAEB=

90°,由AECBF,得出口CBF+DAEB=90。，QBAE=QCBF,由ASA證得

「ABEUUBCF即可得出結(jié)論；

(2)證出口BGE=DABE=90。，□BEG=CAEB,得出口86￡口口人8￡,得出BE?

=EG?AE,設(shè)EG=x,貝ijAE=AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股

定理即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：口四邊形ABCD是正方形，

□AB=BC,□ABC=DC=90°,

□□BAE+CAEB=90°,

□AELIBF,垂足為G,

□□CBF+DAEB=90°,

□□BAE=DCBF,

在OABE與DBCF中，

ZBAE=ZCBF

<AB=BC,

ZABE=NC=90°

□CABEODBCF(ASA),

□AE=BF；

(2)解：口四邊形ABCD為正方形，

□□ABC=90°,

□AEQBF,

□□BGE=DABE=90°,

□□BEG=DAEB,

□□BGEDOABE,

BE_EG

1------------,

AEBE

即：BE2=EG?AE,

設(shè)EG=x,則AE=AG+EG=2+x,

□(百)2=x?(2+x),

解得：X1=1,X2=-3(不合題意舍去)，

□AE=3,

□AB=yjAE2-BE2=舟―(6)2=娓.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等與相似是解題

的關(guān)鍵.

模型三梯子模型

模型通解

13.如圖所示，線段A6的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，ZABC^90°,的中點(diǎn)為0,

連接O2QC,求證：O,Q,C三點(diǎn)共線時(shí)，OC取得最大值.

【解析】

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和勾股定理判定即可;

【詳解】如圖.

/.OQ=^AB.

在中，由勾股定理得CQ=1QB?+CB?=拈Aq+CB2.

OC>OQ+CQ,

...當(dāng)。，。，。三點(diǎn)共線，0C取得最大值，OC=OQ+QC,即

OC=gAB+J（AB）+CB2；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系和勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

巧記

梯子滑動(dòng)求最值，要把梯子中點(diǎn)取，兩條線段相加得結(jié)果.

例題1

14.如圖所示，一根長2.5米的木棍A3斜靠在與地面垂直的墻上，此時(shí)墻角。與

木棍8端的距離為L5米，設(shè)木棍的中點(diǎn)為尸，若木棍工端沿墻不滑，則8端沿地

面向右滑行.

（1）木棍在滑動(dòng)過程中，線段。尸的長度發(fā)生改變了嗎？請說明理由；若不變,

求0P的長.

（2）如果木棍的底端8向外滑出0.9米，那么木棍的頂端工沿墻下滑多少米？

【答案】（1）1.25米;（2）1.3米

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出04求出0/',即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）OP的長不變.

連接。尸，如圖.

是A3的中點(diǎn),

，AP=BP.

'：ZAQ3=90°,

AOP=-AB=-x2.5=1.25（米）.

22

：ZMON=90°,

???OA=12.52-If=2（米）,

又OF=1.5+0.9=24（米），

???av=,2.52-2.42=0.7（米）,

二A4'=2—0.7=1.3（米）.

木棍的頂端Z沿墻下滑L3米.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)勾股定

理求出各個(gè)邊的長是解此題的關(guān)鍵，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半.

變式1

15.如圖，ZMON=90°,矩形ABC。在NMON的內(nèi)部，頂點(diǎn)A,B分別在射線

OM,ON上,AB=4,BC=2,則點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距離是（）

A.2V2-2B.2V2+2C.2A/5-2D.72+2

【答案】B

【解析】

【分析】取DC的中點(diǎn)E,連接OE、DE、0D,根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第

三邊可知當(dāng)0、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)0的距離最大，再根據(jù)勾股定理求出

DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出0E的長，兩者相加即

可得解.

【詳解】取A3中點(diǎn)E,連接QE、DE、0D,

?;AMON=90°,

:.OE=-AB=2.

2

在RtADAE中,利用勾股定理可得DE=2垃.

在△ODE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知OE+OE〉。。，

,當(dāng)。、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，0D最大為OE+DE=26+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到性質(zhì)，三角形的

三邊關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)0、E、D三

點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)0的距離最大是解題的關(guān)鍵.

變式2

16.如圖，在Rta/BC中，/B4c=90°,AB=\,/C=4,點(diǎn)力在y軸上，點(diǎn)C

在x軸上，則點(diǎn)/在移動(dòng)過程中，80的最大值是

B

0\Cx

【答案】2+布

【解析】

【分析】取4c的中點(diǎn)P□連接二。3□由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半得到0P的長口在Rt」/初中□由勾股定理得到BP的長」在△O8P中□根據(jù)

三角形三邊關(guān)系定理得到。把0P+8P口當(dāng)?！跏?三點(diǎn)共線時(shí)取等號口從而得到0B

的最大值口

【詳解】取/C的中點(diǎn)P□連接OPD8P口08□貝ij0P=；/C=2□在RtEMBP中□BPM

4+2?=石口

在△O3P中口0比0。+8?？诋?dāng)?？?口5三點(diǎn)共線時(shí)取等號□□州的最大值為

2+亞□

故答案為2+V^

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的斜邊的一半和勾股定理門解題的關(guān)鍵是構(gòu)

造三角形OP8口

變式3

17.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30。的三角尺的直角頂點(diǎn)。落在第二象限.其

斜邊兩端點(diǎn)力、8分別落在x軸、y軸上且Z8=12cm

(1)若OB=6cm.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離;

（2）點(diǎn)C與點(diǎn)。的距離的最大值是多少cm.

【答案】（1）①點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-36，9）；②滑動(dòng)的距離為6（6-1）cm；（2）

0C最大值12cm.

【解析】

【分析】（1）①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為。，根據(jù)30。的直角三角形的性質(zhì)解答

即可；

②設(shè)點(diǎn)4向右滑動(dòng)的距離為x,根據(jù)題意得點(diǎn)8向上滑動(dòng)的距離也為x,根據(jù)銳角

三角函數(shù)和勾股定理解答即可；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,了），過C作CEJ_x軸，CD_Ly軸，垂足分別為E,D,

證得△ZCESABS,利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：（1）①過點(diǎn)。作y軸的垂線，垂足為。，如圖1：

：.ZBAO=30°,ZABO=60°,

又在RtAACB中，ZCBA=60°,

：.ZCBD=60°,ZBCD=30°,BC^AB?sin30°=6

：.BD=BC?sin30°=3,CD=BC?cos30°=373,

：.OD=OB+BD=9

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-38，9）；

②設(shè)點(diǎn)/向右滑動(dòng)的距離為x,根據(jù)題意得點(diǎn)8向上滑動(dòng)的距離也為x,如圖2：

力CM2xcosNA4cM2xcos30°=6V5.

:.A'O=6也-x,B'O=6+x,A'B'=AB=\2

在△4。夕中，由勾股定理得，

（6^/3-x）2+（6+x）2=122,解得：x=6（百-1）,

滑動(dòng)的距離為6（6-1）；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y）,過C作軸，CD_Ly軸，垂足分別為￡,D,

'：NACE+NBCE=9。。,NDCB+NBCE=9。。,

/.NACE=NDCB,

又,:NAEC=NBDC=9Q。,

：./XACESABCD,

.CEBP—=tan60°=V3,

-CDBCCD

產(chǎn)_W>X,

（?C2=x2+y2=x2+（-百x）2=4f,

...當(dāng)|x|取最大值時(shí)，即C到〉軸距離最大時(shí)，。。2有最大值，即。C取最大值,

如圖，即當(dāng)。9旋轉(zhuǎn)到與y軸垂直時(shí).此時(shí)慟=6,OC=V47=2|x|=12,

故點(diǎn)C與點(diǎn)。的距離的最大值是12cm.

考點(diǎn)：相似三角形綜合題.

模型四對角互補(bǔ)模型

模型通解

18.已知：ZABC=ZADC=90°,AD=DC,求證：BC+AB=6BD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作84的垂線交朋的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作BC的垂線交于

點(diǎn)F,根據(jù)A4S證明△OE4也△￡>方C得EA=FC,ED=FD,再證明四邊形EBFD

是正方形，由勾股定理進(jìn)一步得出結(jié)論.

【詳解】證明：過點(diǎn)。作84的垂線交84的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作BC的垂線交

BC于點(diǎn)、F,如圖.

易知NZMB+NABC+/BCD+NADC=360°.

ZABC=ZADC=90°,

ZDAB+ZBCD=1SO0.

又NDAB+ND4￡=180。，

NDAE=NBCD.

'：DE±AB,DFIBC,

：./DEB=/DFC=90°.

又AD二CD,

/.△DE4^ADFC（A45）,

：.EA=FC,ED=FD

又DE上AB,DFLBC,ZABC=90°,

四邊形EBED是正方形，

ED=BF=FD=EB,EB2+ED2=BD2,

???2EB2=BD2，

/.EB=—BD,

2

:.EB+BF=6BD.

"：EB=BA+EA,BF=BC-CF,

:?BA+EA+BC-CF=6BD-

'：EA=FC,

BA+BC=6BD.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，勾股定理等知

識，由勾股定理得出￡8=立8。是解答本題的關(guān)鍵.

2

巧記

對角互補(bǔ)，鄰邊相等四邊形是一個(gè)天然的旋轉(zhuǎn)模型，旋轉(zhuǎn)的角度為相等的邊的夾角.

條件中的關(guān)鍵信息是對角互補(bǔ)，而實(shí)際全等或者相似的證明常需要等角，所以想辦法通過

目標(biāo)角的鄰補(bǔ)角及同角的補(bǔ)角相等，轉(zhuǎn)化成等量條件有興趣的同學(xué)可以自己試著證明一

下.

拓展

19.已知ZABC=60°,ZADC=120°,AB=BC,求證：AD+DC^BD,

S四邊形ABC0=S?ABD+S"BCD=

A

【答案】見解析

【解析】

【分析】延長OC至點(diǎn)￡使CE=/。，先證明40g△8CE,再證明是等邊

三角形，可證結(jié)論成立.

【詳解】證明：延長DC至點(diǎn)E使CE=AD,

'：ZABC=60°,NADC=120°,

AZA+ZBCD=18O°,

VZSC￡+ZSCZ)=180o,

/.NA=NBCE,

在△8/。和aBCE中

BA=BC

<NA=NBCE,

AD^CE

：.△BAD^ABCE,

:.BD=BE,NABD=NCBE,

?：NABC=NABD+/CBD=60",

AZDBE=ZCBE+ZCBD=60°,

.?.△8DE是等邊三角形，

：.BD=DE,

■:DC+CE=DE,

，AD+DC=BD;

作8F_L￡>E于點(diǎn)/，貝IJNE8尸=30。，EF=DF=；DE=gBE,

,________n

???BF=yjBE2-EF2=^BE,

，S△麗！OEX5R二XBEX^-BE=—BE2,

2224

S四邊形4BCD=^^ABD+SABCD

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證出△氏4。絲△8CE,再證

出△BDE是等邊三角形.

例題1

20.如圖，AABC為等邊三角形，以AB為邊向外作△ABO,使NADB=120。，

再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把ACBD旋轉(zhuǎn)到VC4E,則給出下列結(jié)論：①O,A,E三點(diǎn)、

共線；②。。平分/BD4；③NE=NBAC；?DC=DB+DA.其中正確的有

().

E

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】①設(shè)/1書度，把N2=(60-x)度，ZDBC=Z4=(x+60)度，N3=60。加起

來等于180度，即可證明。、4、E三點(diǎn)共線；

②根據(jù)△58繞著點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到aACE,判斷出△COE為等邊三

角形，求出N5DC=NE=60。，ZC￡>^=120°-60°=60°,可知OC平分N8ZM；

③由②可知，N3/C=60。，ZE=60°,從而得到NE=N8/C.

④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD,又ND4E=180。，DE=AE+AD.而為等邊三角形，

DC=DE=DB+BA.

【詳解】解：如圖,

①設(shè)Nl=x度，則N2=(60-x)度，ZDBC=(x+60)度，故N4=(x+60)度,

Z2+Z3+Z4=60-x+60+x+60=l80度，

：.D,/、E三點(diǎn)共線；故①正確；

②???△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△4后,

：.CD=CE,NDCE=60。,

.??△COE為等邊三角形，

二ZE=60°,

：.NBDC=NE=60°,

.,.zcr)/f=1200-600=60°,

.?.OC平分N8D4；故②正確；

③：ZBAC=60°,

Z￡=60°,

AZE=ZBAC.故③正確；

④由旋轉(zhuǎn)可知

又：ND4E=180°,

：.DE=AE+AD.

???△COE為等邊三角形，

：.DC=DB+DA.故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，要注意旋轉(zhuǎn)不變

性，找到變化過程中的不變量.

變式1

21.我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫作“完美四邊形

(1)在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是_

(請?zhí)钚蛱?；

(2)在“完美"四邊形/BCD中，AB=AD,N8+/￡>=180。，連接ZC.

①如圖1,求證：ZC平分N5C。；

小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明ZC平分N8CD：

想法一：通過NB+ND=180。，可延長CB到E,使BE=CD,通過證明

△AEB^AACD,從而可證AC平分NBCD；

想法二：通過可將aACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使工。與N8重合，得到

△AEB,可證C,B,E三點(diǎn)在條直線上，從而可證AC平分NBCD.

請你參考上面的想法