解三角形一類已知對邊對角求最值與范圍問題講義-2024屆高三數(shù)學一輪復習

解三角形一類已知對邊對角求最值與范圍問題考點分類：考點1三角形面積的最值與范圍問題考點2三角形周長的最值與范圍問題考點3與角度、邊長有關(guān)的最值與范圍問題解題策略：將問題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；將問題用某一個角的三角函數(shù)表示，利用三角函數(shù)的有界性，單調(diào)性再結(jié)合角的范圍確定最值或范圍；構(gòu)建隱圓：利用三角外接圓，直觀判斷面積與周長最值所在。此法僅限小題。例題詳解:例1、（單選題）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，若，則面積的最大值是（

）A．B．C． D．【詳解】∵，∴，∴由余弦定理可得：，又∵，∴.又∵，解法一：由余弦定理：，即，故選：B.解法二：作出三角形ABC的外接圓O，則圓O半徑滿足2R=，即R=1ACBOH顯然圓心角。動點A在優(yōu)弧BC上運動。過點A作BC垂線，垂足為H，由圖可知當點A、O、H三點共線時高AH最大，此時面積最大。此時ACBOH解法三：由正弦定理可得：，∴，又∵，∴∵在銳角中，∴，∴，∴當，即時，取最大值，最大值為.故選：B.變式訓練：1．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求面積的最大值.變式訓練：2．在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，求面積的取值范圍．例2、已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且外接圓半徑為，則△ABC周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】因為，由正弦定理的又因為，可得，所以，即，因為，可得，可得，即，解得或（舍去），因為，所以，則，又因為外接圓半徑為，所以，又由，因為為銳角三角形，且，所以且，解得，可得，所以，所以.故選：C.變式訓練：3.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，．(1)求角A的大??；(2)求周長的范圍．變式訓練：4．在中，角的對邊分別為的面積為，已知.(1)求角；(2)若的周長為，求的最大值.例3、在銳角中，已知角的對邊分別為，且．(1)求角的值；(2)若，求的取值范圍．【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，整理得，而，因此，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，則，于是，其中銳角由確定，且，在銳角中，，解得，于是，因此當時，；由，得，于是，則，所以的取值范圍是.變式訓練：5．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角C的大??；(2)若，求的最大值．變式訓練：6．已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.對點練習：1、（多選題）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則滿足條件的三角形只有1個B．面積的最大值為C．周長的最大值為D．若為銳角三角形，則的取值范圍是2、在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)若，求面積的最大值.3、已知在，角所對的邊分別是，且．(1)求的大小；(2)若，求面積的取值范圍．4、記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍．5、在銳角中，已知角的對邊分別為，且．(1)求角的值；(2)若，求的取值范圍．解三角形一類已知對邊對角求最值與范圍問題答案變式訓練：1．【詳解】（1）因為，化簡可得，且，則，即，且，則或.（2）因為為銳角三角形，由（1）可知，又，由余弦定理可得，，即，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即面積的最大值為.變式訓練：2．【詳解】（1）由已知條件得，由正弦定理得，即．因為在中，，所以．又是銳角，所以．（2）由正弦定理得，則，所以．由，得，所以，所以，所以．所以面積的取值范圍為．變式訓練：3.【詳解】（1）由余弦定理，，化簡得，所以，因為，所以（2）由正弦定理：，則，，由（1），故因為，則，所以，即周長范圍是．變式訓練：4．【詳解】（1）因為，所以，即，由正弦定理，得，因為，所以，因為，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，得，即，所以，即，因為，，所以，所以，又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），即的最大值為.變式訓練：5．【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以；（2）由正弦定理得，則，所以，因為，所以，所以，則的最大值為．變式訓練：6．【詳解】（1）由，得，即，又，則，所以，又，所以；（2）由正弦定理得，所以，所以，由為銳角三角形，得，所以，所以，所以.對點練習：1、【詳解】對于A，因為，，所以滿足條件的三角形有2個，故A錯誤；對于B，由余弦定理得，即，所以，當且僅當時取等號，所以，所以面積的最大值為，故B正確；對于C，由余弦定理得，即，所以，當且僅當時取等號，所以的周長，所以周長的最大值為，故C正確；對于D，由正弦定理得，因為為銳角三角形，所以，，即，，所以，故D正確．故選：BCD.2、【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，整理得，因為，所以，即，由為三角形內(nèi)角得，.（2）由余弦定理得，當且僅當時取等號，故，.故面積的最大值.3、【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，整理可得，又，所以．（2）因為，所以由正弦定理得，所以，又，所以，所以又因為，可得，所以（當且僅當時，等號成立），可得，由，,即面積的取值范圍是．4、【詳解】（1）根據(jù)及正弦定理，得，得，根據(jù)余弦定理，得，又，所以．（2）由（1）知，，因為，所以，（若，因為，所以為正三角形，則，這