勾股定理單元測(cè)試卷(含答案)

勾股定理單元測(cè)試卷

一.選擇題（共12小題）

1.如圖，四邊形A8CD的對(duì)角線(xiàn)AC與8。互相垂直，若A2=3,BC=4,CD=5,則AQ的

長(zhǎng)為（）

2.ZVIBC中，/A,NB,/C的對(duì)邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定△ABC為直

角三角形的是（）

A.NA+/8=NCB.NA：ZB：ZC=l：2：3

C.“2=/_/j2D.a：btc=3：4：6

3.三角形的三邊長(zhǎng)a,6,c滿(mǎn)足2而=（a+b）2-c2,則此三角形是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等邊三角形

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,點(diǎn)。在上，ZADC=2ZB,AD=娓,則BC

的長(zhǎng)為（）

A.V3-1B.A/3+IC.V5-1D.75+1

5.如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，8。，4（7于點(diǎn)。,

則BO的長(zhǎng)為（）

A--|V5B.-|x/5C--|>/5D-

6.以下列各組線(xiàn)段為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,1,&B.3,4,5C.5,10,13D.2,3,4

7.如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/

時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距（）

A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里

北

（第7題）（第9題）（第10題）

8.ZVIBC中，邊AB=15,AC=13,高40=12,則△ABC的周長(zhǎng)是（）

A.42B.32C.42或32D.不能確定

9.如圖，在RfA48C中，ZACB=90°,AB=y/l3,BC=2,則這個(gè)直角三角形的面積為（）

A.3B.6C.V13D.1V13

2

10.如圖，有4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若大正方形面積

是17,小正方形面積是5,直角三角形較長(zhǎng)直角邊為。，較短直角邊為江則成的值是

()

A.4B.6C.8D.10

11.如圖①所示，有一個(gè)由傳感器A控制的燈，要裝在門(mén)上方離地高4、5〃?的墻上，任何

東西只要移至該燈5〃?及5m以?xún)?nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光.請(qǐng)問(wèn)一個(gè)身高1、5根的學(xué)生要

走到離墻多遠(yuǎn)的地方燈剛好發(fā)光？（）

（第11題）（第12題）

12.如圖表示的是一個(gè)十字路口，。是兩條公路的交點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、。表示的是公路上

的四輛車(chē)，若OC=8c，〃，AC^17cm,AB=5cm,BD=T。辰n,貝ijC,。兩輛車(chē)之間的距

離為（）

A.5mB.4mC.3/nD.2m

二.填空題（共5小題）

13.如圖，在△ABC中，AB=AC=4,AO=BO,P是射線(xiàn)CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，NAOC=120。，

則當(dāng)△辦B為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為

C

O

B

P\B,BO____/

（第13題）（第14題）（第15題）

14.如圖，一架10米長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上，剛好梯頂?shù)诌_(dá)8米高的路燈.當(dāng)電工師傅沿梯

上去修路燈時(shí)，梯子下滑到了用處，下滑后，兩次梯腳間的距離為2米，則梯頂離路

燈米.

15.如圖，將一根長(zhǎng)245?的筷子，置于底面直徑為5c利，高為12cs的圓柱形茶杯中，設(shè)

筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為acm（茶杯裝滿(mǎn)水），則a的取值范圍是.

16.如圖，四邊形ABC￡>中，AD=3,C￡>=4,ZABC=ZACB=ZADC=45°,則8。的長(zhǎng)

為.

17.如果矩形的周長(zhǎng)是14a”，相鄰兩邊長(zhǎng)之比為3：4,那么對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為,

三.解答題（共5小題）

18.一架梯子長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，

（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A，，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米?

19.在aABC中，CC是AB邊上的高，AC=4,BC=3,DB=?

5

求：（1）求AO的長(zhǎng)；（2）△ABC是直角三角形嗎？為什么？

20.如圖，AB=BC=CD=DE=L且BC_LAB,CDLAC,DE±AD,求線(xiàn)段AE的長(zhǎng).

B□

21.如圖，在中，ZA=90°,邊BC的垂直平分線(xiàn)QE交A8于點(diǎn)E,連接CE.

求證：BE2=AC2+AE2.

22.(1)如圖(1),分別以三邊為直徑向外作三個(gè)正方形，其面積分別用a,S2,

$3表示，寫(xiě)出Si，S2,S3之間關(guān)系.(不必證明)

(2)如圖(2),分別以RfZVIBC三邊為邊向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S，S2,S3表示,

確定它們的關(guān)系證明；

(3)如圖(3),分別以RraABC三邊為邊向外作正三角形，其面積分別用S，S2,S3表示,

確定它們的關(guān)系并證明.

(3)、

(1)⑵

參考答案

一.選擇題（共12小題）

1.如圖，四邊形A8CD的對(duì)角線(xiàn)AC與8?；ハ啻怪?，若A2=3,BC=4,CD=5,則AQ的

長(zhǎng)為（）

A.3料B.4C.2MD.4近

【解答】解：在Rt/\AOB中，A^AB2-BO2；

Rt/XDOC中可得：DO2=DC2-CO2；

：.可得A^AO^+D^AB1-BO^+DC2-CO2=18,

即可得47=而殺3點(diǎn).

故選A.

2.△ABC中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定△ABC為直

角三角形的是（）

A.NA+NB=NCB.NA：ZB：ZC=1：2：3

C._從D.a：b：c=3：4：6

【解答】解：A、ZA+ZB=ZC,又NA+/B+NC=180。，則NC=90。，是直角三角形；

B、NA：ZB：NC=1：2：3,又乙4+NB+NC=180。，則NC=90。，是直角三角形；

C、由〃2=02-〃，得a2+〃=c2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

￡＞、32+42找2,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.

故選D.

3.三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足2"=（a+Z?）2-c2,則此三角形是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等邊三角形

【解答】解：???原式可化為。2+/=02,

此三角形是直角三角形.

故選：C.

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,點(diǎn)D在BC上，ZADC=2ZB,AD=?則BC

的長(zhǎng)為（）

A.V3-1B.V3+1C.V5-1D.V5+1

【解答】解：VZADC=2ZB,ZADC=ZB+ZBAD,

：.NB=NDAB,

；.DB=DA=5,

在中，

DC=VAD2-1=1，

.\BC=V5+1.

故選D.

5.如圖所示，AABC的頂點(diǎn)4、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BOJ_AC于點(diǎn)

則BD的長(zhǎng)為（）

A--|V5B.-|>/5c--|V5d--jVs

【解答】解：/XABC的面積=[xBCxAE=2,

2

由勾股定理得，AC=J^，=加，

貝必庭xB￡）=2,

2

解得BD=9娓,

5

故選：A.

6.以下列各組線(xiàn)段為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,1,MB.3,4,5C.5,10,13D.2,3,4

【解答】解：A,12+1V（V3）2,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)正確；

C、52+10V132,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、22+32^42,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

7.如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/

時(shí)的速度同時(shí)從港口4出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距（）

A.25海里B.30海里50海里

【解答】解：連接BC,

由題意得：AC=16x2=32（海里），48=12x2=24（海里）,

CB=VAC2+AB2=40（海里），

故選：C.

8.2XABC中，邊AB=15,AC=13,高AO=12,則△ABC的周長(zhǎng)是()

A.42B.32C.42或32D.不能確定

【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說(shuō)明：

(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在心△A3。中，

SD=7AB2-AD^VlS2-122"9'

在Rf/XACC中，

CD=A/AC2-AD^VlS2-122=5

，BC=5+9=14

.,.△ABC的周長(zhǎng)為：15+13+14=42；

(2)當(dāng)△4BC為鈍角三角形時(shí)，

在RfAABD中，^=7AB2-ADN152-122=9'

在RfA4CD中，8=京2///132-12”

：.BC=9-5=4.

.?.△ABC的周長(zhǎng)為：15+13+4=32

...當(dāng)AABC為銳角三角形時(shí)，△48C的周長(zhǎng)為42；當(dāng)AABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周

長(zhǎng)為32.

綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)是42或32.

故選：C.

A

【解答】解：

?.?在R48C中，NACB=90。，AB=V13>BC=2,

AC=7AB2-BC2=3'

.?.這個(gè)直角三角形的面積=LC?BC=3,

2

故選A.

10.如圖，有4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若大正方形面積

是17,小正方形面積是5,直角三角形較長(zhǎng)直角邊為m較短直角邊為b,則ab的值是（）

A.4B.610

【解答】解：根據(jù)勾股定理可得。2+〃=17,

四個(gè)直角三角形的面積是：L〃x4=17-5=12,

2

即：ab=6,

故選：B.

11.如圖①所示，有一個(gè)由傳感器A控制的燈，要裝在門(mén)上方離地高4、5機(jī)的墻上，任何

東西只要移至該燈5機(jī)及5,”以?xún)?nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光.請(qǐng)問(wèn)一個(gè)身高1、5〃?的學(xué)生要走到

離墻多遠(yuǎn)的地方燈剛好發(fā)光？（）

【解答】解：由題意可知.BE=CD=1、5m,AE=AB-BE=4、57、5=3m,BD=5m

由勾股定理得CE=｛啰_§發(fā)4"

故離門(mén)4米遠(yuǎn)的地方，燈剛好打開(kāi),

故選A.

12.如圖表示的是一個(gè)十字路口，0是兩條公路的交點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、。表示的是公路上

的四輛車(chē)，若0C=8c，〃，AC=llcm,AB=5cm,BD=\Oy[sm,則C,。兩輛車(chē)之間的距離為

()

A.5mB.4m

【解答】解：在RTAAOC中，：OA2+OC2^AC2,

OA=7AC2-0C2=V172-82=15On),

，OB=0A+AB=20m,

在RTABOD中，B^OB^OD2,

OD=7BD2-OB^V(1(V5)2~202=103"),

/.CD=OD-OC=2mf

故選：D.

二.填空題（共5小題）

13.如圖，在△ABC中，AB=AC=4fAO=BOfP是射線(xiàn)CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N400120。,

則當(dāng)為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為2或2y.

【解答】解：當(dāng)NAP3=90。時(shí)，分兩種情況討論,

情況一：如圖1,

\'AO=BOf

；.PO=BO,

???ZAOC=120°,

JNAOP=60。，

???△AOP為等邊三角形，

??.NOAP=60。，

.\ZZPBA=30°,

：.AP=1AB=2；

2

情況二：如圖2,9：AO=BO,ZAPB=90°,

APO=BO,

???NAOG120。，

???N3OP=60。，

：./\BOP為等邊三角形，

：.ZOBP=60°t

亨2g

?AP=A8?s血60°=4x

當(dāng)N84P=90。時(shí)，如圖3,

ZAOC=120°,

JNAO尸二60。，

：.AP=OA-tanZAOP=2xy[j=2yf3.

故答案為：2或2?.

14.如圖，一架10米長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上，剛好梯頂?shù)诌_(dá)8米高的路燈.當(dāng)電工師傅沿梯

上去修路燈時(shí)，梯子下滑到了跟處，下滑后，兩次梯腳間的距離為2米，則梯頂離路燈，

米.

【解答】解：在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理，得:

OB=6m,

根據(jù)題意，得：。夕=6+2=8加.

又???梯子的長(zhǎng)度不變，

在狡△4。夕中，根據(jù)勾股定理，得：04=6〃?.

則AA'=8-6=2，*.

15.如圖，將一根長(zhǎng)24c,”的筷子，置于底面直徑為5。孫高為12c機(jī)的圓柱形茶杯中，設(shè)

筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為4C"?（茶杯裝滿(mǎn)水），則a的取值范圍是1112cm.

【解答】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)〃最大，人政大=24-12=12c/n.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)a最小，

如圖所zK：此時(shí)，AB=JAC2+BC2=J]22+5813c,

故a=24-13=llcm.

所以。的取值范圍是：112cm.

故答案是：11cm<a<12cm.

16.如圖，四邊形ABC。中，AD=3fCD=4,ZABC=ZACB=ZADC=45°,則8。的長(zhǎng)為_(kāi)

V34_.

【解答】解：作AD'=AD,連接CO,DD',如圖:

,?ZBAC+ZCAD=ZDAD'+ZCAD,

即N8A3=/CA￡>',

在△BA。與△C4。中，

'AB=CA

<ZBAD=ZCAD>

AD=AD'

：./\BAD^￡\CAD'(SAS),

：.BD=CD'.

ZDAD'=90°

由勾股定理得”>[AD2+(AD，)=亞,

ZD'DA+ZADC=90°

由勾股定理得8=任2+3，）在疝,

：.BD=CD'=-/^,

故答案為：V34.

17.如果矩形的周長(zhǎng)是145b相鄰兩邊長(zhǎng)之比為3：4,那么對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為5c/n.

【解答】解：設(shè)矩形的相鄰兩邊的長(zhǎng)度分別為3acm,4acm,

由題意3a+4a=l,a=l,

所以矩形的相鄰兩邊分別為3cm,4cm,

所以對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)=而曬2=5cm,

故答案為5.

三.解答題（共5小題）

18.一架梯子長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，

（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了4米到AT那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？

【解答】解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米,

AB=q252-72=24（米）,

答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米;

（2）由題意得：84=20米，

=2

BC725-202=15（米），

則：CC=15-7=8（米），

答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米.

19.在△ABC中，CQ是A8邊上的高，AC=4,BC=3,DB=2

5

求：（1）求的長(zhǎng)；

（2）4ABC是直角三角形嗎？為什么？

【解答】解：（1）CDLAB,

：.NCQB=NCD4=90。，

在RfZ\BC￡>中，8c=3,DB=2

5

根據(jù)勾股定理得：D=21

C7BC5

在/^△AC￡>中，AC=4,CD=12,

5

根據(jù)勾股定理得：^7AC2-CD2"—;

5

（2）ZViBC為直角三角形，理由為：

"：AB=BD+AD=^+1^5,

55

：.AC2+BC2^AB2,

...△ABC為直角三角形.

20.如圖，AB=BC=CD=DE=l,且BC_LAB,CD1AC,DELAD,求線(xiàn)段AE的長(zhǎng).

E

D

【解答】解：VBC1AB,CD上AC,AC±DE,

：.ZB=ZACD=ZADE=90°,

■:AB=BC=CD=DE=1,

??在.Rt/\ACB111,AC=JAC2+BC心11+1=，^，

,,,在?△AC。'I',A￡>=A/AC2+CD2=V（V2）2+l=^,

在.zMOE中，A￡=VAD2+DE2=V（V3）2+l=2,

21.如圖，在放ZVIBC中，NA=90。，邊3c的垂直平分線(xiàn)OE交AB于點(diǎn)E,連接CE.求

證：BE2^AC2+AE2.

【解答】證明：：如圖，邊8c的垂直平分線(xiàn)。E交AB于點(diǎn)E,

CE=BE.

;在心△ABC中,NA=90°,

由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2

:.BE2=AC2+AE2.

22.(1)如圖(1),分別以放△ABC三邊為直徑向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S,S2,

S3表示，寫(xiě)出S|,S2，S3之間關(guān)系.(不必證明)

(2)如圖(2),分別以R/Z\A8C三邊為邊向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S，Si，S3表示,

確定它們的關(guān)系證明；

(3)如圖(3),分別以三邊為邊向外作正三角形，其面積分別用Si，S2,S3表示,

確定它們的關(guān)系并證明.

【解答】解：(1)52+S3-S1,

由三個(gè)四邊形都是正方形則：

222

"：Si=AC,S2=BC,St=AB,

?.?三角形ABC是直角三角形，

:.AC2+BC2=AB2,

52+S3—5i.

222

(2)VS3=2L4C,S2=—BC,SI=—AB,

888

?.?三角形ABC是直角三角形，

：.AC2+BC2=AB2,

??52+53=51.

2

(3),:S2^J^BC,S3=^4C2,

44-4

?.?三角形ABC是直角三角形，

:.AC2+BC2-AB2,

.*.S2+S3=S1.

勾股定理單元測(cè)試題

一、選擇題(共12小題，每題4分，共40分)

1.以下列各組數(shù)據(jù)為三角形三邊，能構(gòu)成直角三角形的是()

(A)4cm,8cm,7cm(B)2cm,2cm,2cm

(C)2cm,2cm,4cm(D)13cm，12cm，5cm

2.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為15cm,20cm,25cm,則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為()

(A)12cm(B)10cm(C)12、5cm(D)10>5cm

3.RtAABC的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)的平方是()

(A)25(B)7(C)12(D)25或7

4.有長(zhǎng)度為9cm,12cm,15cm,36cm,39cm的五根木棒，用其中的三根首尾連接可搭成

直角三角形的個(gè)數(shù)為()

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

5.將直角三角形的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是()

(A)直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)以上結(jié)論都不對(duì)

6.在△ABC中，AB=12cm,AC=9cm,BC=15cm,下列關(guān)系成立的是()

(A)ZB+ZC>ZA(B)ZB+ZC=ZA

(C)ZB+ZC<ZA(D)以上都不對(duì)

7.小剛準(zhǔn)備測(cè)量河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊1、5m遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面0、5m,

把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水平剛好相齊，河水的深度為()

(A)2m(B)2、5cm(C)2、25m(D)3m

8.若一個(gè)三角形三邊滿(mǎn)足(a+加2-C?=2"。，則這個(gè)三角形是()

(A)直角三角形B)等腰直角三角形(C)等腰三角形(D)以上結(jié)論都不對(duì)

9.一架250cm的梯子斜靠在墻上，這時(shí)梯足與墻的終端距離為70cm,如果梯子頂端沿墻

下滑40cm,那么梯足將向外滑動(dòng)()

(A)150cm(B)90cm(C)80cm(D)40cm

10.三角形三邊長(zhǎng)分別為2〃+1、2/+2〃、2n2+2n+l(〃為自然數(shù))，則此三角形是

()

(A)直角三角形(B)等腰直角三角形(C)等腰三角形(D)以上結(jié)論都不對(duì)

二、填空題（共6小題，每題4分，共24分）

II.寫(xiě)四組勾股數(shù)組、，，，、

12.若一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，則它的周長(zhǎng)為.

13.有一個(gè)長(zhǎng)為12cm,寬為4cm,高為3cm的長(zhǎng)方形鐵盒，在其內(nèi)部要放一根筆直的鉛筆,

則鉛筆最長(zhǎng)是cm

14.直角三角形有一條直角邊為11,另外兩條邊長(zhǎng)是自