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文檔簡介

2023屆余杭高級中學高三下周練(10)班級—姓名_______

一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有

一項是符合題目要求的.

1,復數(shù)z滿足(1+31”=",則(

)

12

B.——C.D.

1053

【答案】A

【解析】

31

【分析】應用復數(shù)相等及除法運算得z=-而-右i,進而求模.

ii(l-3i)i+331.

【詳解】由題設zl+3i-一(1+3。(1—3i)-ICT10-10H

所以IW=J(-新+(-#=嚕

故選:A

Rlog2^<o|,則集合(々A)cB=(

2.設集合4=(0,3),8=<XG)

A.(f0]U[3,4]B.(-oo,0]_[3,+oo)

C.(-oo,4]D.[3,4]

【答案】D

【解析】

【分析】先化簡B,再求出冬入,進而利用交集概念求出結果即可.

【詳解】解:因為8log2;W0>={x[0<x?4},

因為A=(0,3),所以4A=,

所以(々A)c3=[3,4].

故選:D

3.將6個人(含甲乙兩人)平均分成3組,則甲乙不在同一組的概率為()

1414

A.—B.-C.一D.

155515

【答案】C

【解析】

【分析】由組合數(shù)求出6人任意分組、甲乙在同一組的分法,應用古典概率的求法求概率即可.

C;c氾種分法,其中甲乙在同一組的情況有冬種,

【詳解】由題意,6人任意分組共有

A;

c沮A;=114

所以甲乙在同一組的概率為故甲乙不在同一組的概率為=

C:C:C;A;5

故選:C

4.“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理,該定理的內(nèi)容為:橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點,必在

一個與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”,該圓由法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日(1746T818)最先

2

發(fā)現(xiàn),已知長方形R的四條邊均與橢圓C:會+;/=1相切,則長方形/?的面積的最大值為()

A.9B.8C.6D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)所有的長方形在一個同心圓上,結合橢圓方程得圓的方程為/+;/=4,設圓心與長方形中

相鄰的兩個頂點的兩條射線夾角大小為6e(0,2,則長方形S=8sin6,即可得最大值.

【詳解】由題意,任意一個長方形R的四個頂點都在一個同心圓上,

則該圓的方程為f+V=〃+〃=4,即半徑為廠=2,

若圓心與長方形中相鄰的兩個頂點的兩條射線夾角大小為6e(0,兀),

Ic7T

則長方形面積S=4xgx/sin6=8sin。,當。時5n1ax=8.

故選:B

5.在中,E為4C上一點,AC=3AE,P為線段班上任一點(不含端點),若AP=xAB+yAC,則

13

一+一的最小值是()

x)'

A.8B.10C.13D.16

【答案】D

【解析】

1319

【分析】由題設A一P=一2A/,+(l-/l一)AE且0<2<1,進而可得《產(chǎn)1—4,將目標式化為一+—=:+1=

y=------XyAI-A.

結合基本不等式“1”的代換求最小值,注意等號成立條件.

【詳解】由題意,如下示意圖知:AP=AAB+(1-A)AE,且又AC=3AE,

B

4E。

x=A

1-A

所以AP=/IA8+——AC,故《1—4且OvXvl,

3y=----

I3

,.1319cq1—A9411—A-

故Jy=%z+1-產(chǎn)+(ii+Jl-產(chǎn)l°+2j。6,

1-A

1-2o;1

僅當——=——,即4=—時等號成立.

21-24

13

所以一+一的最小值是16.

xy

故選:D

6.已知函數(shù)/(x)=sin((yx+E3>0)在(0,g上單調遞增,在(二2兀1

上單調遞減,則“X)的一個

對稱中心可以為()

DJ號,0)

A.加B.卜利。倍可

【答案】B

【解析】

2兀=1,周期TN,,

【分析】由條件可知/由此可求0,再由正弦函數(shù)性質求其對稱中心.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=sin"+V在(0母上單調遞增,在[葉,兀上單調遞減,

所以/用=1且T吟,

2兀JTTT27147c

所以---<y+—=2E+—eZ,—,又。>0,

362I畫3

13

所以。=3%+—,0<d?<—,

22

?([兀、

所以0=-,故/(x)=sin-X+-J,

2\26;

由一x+一二nrn.meZ,可得x=---,

263

取加=0,可得x=—三,又/(—1]=°,

所以[一(,°]是函數(shù)/(力一個對稱中心.

故選:B.

7.已知數(shù)列{。,,}滿足:卬=,,*=(〃+];:[+])(〃wN)數(shù)列{勿}滿足:々=2〃2,若[可表示

不超過x的最大整數(shù)(例如—1.1]=—2),則[磔2]+&4]++[aAo]=()

A.26B.25C.23D.21

【答案】D

【解析】

111

【分析】根據(jù)已知遞推關系可得:---------=11,結合等差數(shù)列通項公式得4=二~進而確定

4也用的通項公式,根據(jù)新定義求目標式的值.

【詳解】由題設,」一=(〃+1)(1+」一)]1,1

整理得-=1,而—=2

4M叫5+1)%na?lx

,1,11

所以{——}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,故一=〃+1,則%=二一

nannann(n+1)

又h=2/,故a也+|=2=2(1+-),

n盧'

n(n+\)n

所以[a也]+[/4]++p^10]=[2x(l+l)]+[2x(l+l)]+...+[2x(l+l)l)=21.

故選:D

8.若函數(shù)/(x)=e'-2成一2Hnx+辦2有兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(f-e)B.(-00,-e]

C.(-e,0)D.\/e,oj

【答案】A

【解析】

QX2-21nxx2-2lnx

【分析】將問題轉化為函數(shù)y=-。與),=-------圖象有兩個不同的交點,根據(jù)換元法將函數(shù)y=f------

x2-2\nxx2-2\nx

轉化為g(f)=,,利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性求出函數(shù)的值域,進而得出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】函數(shù)的定義域為(0,+8),

/(x)=er-2lnr-2alnx+ax2=ex?~2,nx4-(x2-2In,

h(x)=x2-2Inx(x>0),則〃'(x)=—2=2(x+l)(xD,

xx

令hf(x)>0=>x>1,令hf(x)vOnOvxvl,

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)上單調遞減,在。,行)上單調遞增,且〃。)二1,

所以〃(X)min=〃(l)=l,所以/X)N1,

函數(shù)〃力有兩個不同的零點等價于方程/。)=0有兩個不同的解,

/—2ln.r

則e.21nx+a(爐一21nx)=0=>一〃=:------,

')x2-21nx

.x2-2Jnx

等價于函數(shù)y=-。與),=-4------圖象有兩個不同的交點.

x2-21nx

令f-21nx=r,g⑺=7J〉1,

p

則函數(shù)y=—。與g(,)=匕,f>1圖象有一個交點,

則g'(>寧=竽>。,

所以函數(shù)g(f)在(1,"。)上單調遞增,

所以g(/)>g(l)=e,

且,趨向于正無窮時,8(。=亍趨向于正無窮,

所以一a>e,解得a<-e.

故選:A.

二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項是

符合題目要求的.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.下列命題中,說法正確的是()

A.已知《N(0,l),若P(J>D=p,則P(—lwg<0)=g_p

B.若從小到大排列的一組數(shù)據(jù)為24,27,28,37,40,42,46,48,50,52.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第60

7

百分位數(shù)的比值為五

C.若A5兩個事件獨立,那么P(A_B)=P(A)+P(B)

1__n1

D.若P(AB)=§,P(X)=§,P⑻=§,則事件A與事件B相互獨立

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質判斷A,根據(jù)百分位數(shù)的定義求這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第60

百分數(shù),由此判斷B,通過舉例判斷C,根據(jù)獨立事件的概率公式判斷D.

【詳解】對于A:因為JN(0,l),

所以P(JZ0)=;,又PC>1)=〃,

所以「(OWj41)=g-〃,

由對稱性可得P(-14gw0)=;-p,A正確;

對于B:由已知樣本數(shù)據(jù)中有10個數(shù),

又10x25%=2.5,10x6()%=6,

42+46

所以樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為28,第60百分位數(shù)為------=44,

2

7

所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的比值為打,B正確;

對于C:舉例如下:

分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣,

設A="第一枚硬幣正面朝上",B="第二枚硬幣正面朝上”,

則P(A)=P(5)=—,P(AB)=-,尸(A8)=.,

所以A,8兩個事件獨立,但是尸(A6)/P(A)+P(B),C錯誤;

因為產(chǎn)(入)=|,所以尸(A)=l—1=;,

又「(A6)=",P(B)=/

所以尸(AB)=P(A)P(B),

所以事件A與事件B相互獨立,D正確.

故選:ABD.

10.已知函數(shù)/(x)=x+2-ln(如),則下列說法正確的是()

A.當機>0時,函數(shù)/(x)的圖象在點(2,/⑵)處的切線的斜率為g

B.當加=1時,〃x)>0恒成立

C.當加=1時,/(e)在(0,+8)上單調遞增

D.當施=e時,f(x)=0有兩個零點

【答案】ABC

【解析】

【分析】由題設得/'(x)=l-4且>0,根據(jù)各項參數(shù),〃的范圍或取值,研究/(X)的單調性、最值和零

X

點判斷正誤即可.

【詳解】由題設f(x)=l—L且〃a>0,

X

A:當機>0時xe(0,+8),則/(2)=g,故/*)的圖象在點(2,/(2))處的切線的斜率為正確;

B、C:加=1時XG(O,+?)),則(0,1)上/'(x)<0,/(X)遞減,(1,4W)上r(x)>0,Bx)遞增,

所以f(x)N/⑴=3>O,B正確;

/=6、在(。,+8)上遞增,又/(f)在te(l,+。)上遞增,故/(e)在(0,+8)上單調遞增,c正確;

D:m=e時有/(x)=x+l—Inx,同上分析知:/(%)(0,1)上遞減,(1,+8)上遞增,

所以J(x)W〃l)=2>0,故/3無零點,錯誤.

故選:ABC

11.已知4目,%),3(%2,%)是圓O:/+y2=3上的兩點,則下列結論中正確的是()

A.若點。到直線AB的距離為a,則|AB|=1

B.若直線A8的方程為乙一丁+1-左=0,則圓心到直線距離的最大值為

C.再%2+%%的最小值為一3

D.若=則(為+/)2+(0+%)2的值為6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)幾何法求圓的弦長判斷A,判斷直線AB的定點,從而將圓心到直線AB距離的最大值轉化為

圓心到點(1,1)的距離求解判斷B,利用數(shù)量積的定義求解Q4-O8的最小值,即可判斷C,求解向量

\OA+OB^,即可得(%+々)2+(兇+%)2的值,判斷D.

【詳解】對A,由題意,圓。的半徑為G,且點。到直線A6的距離為0,

所以|AB|=2](6)-(V5)=2>故A錯誤;

對B,由直線AB的方程依一y+1-左=0,可得直線過定點(1』),

則圓心到直線AB距離的最大值為圓心到點(1,1)的距離,

即最大值為{(—Of+(1.0)2=J5,故B正確;

對C,西龍2+多力為。4?。?的值,因為圓。的半徑為6,

可得煙=3=百,又—IWCOSZAOBWI,

所以04?。3=大X2+,%-1|cos^OB>-3,

所以玉Z+X%的最小值為一3,故c正確;

對D,04+。8=(石+工2,乂+%),

則|OA+081=(玉+/『+(必+%)12,

JT..

因為NAO8=5,所以QA-O6=0,

I|2.22

所以|。4+04=0A+20A03+05=3+3=6,

所以(%+X2『+(y+必)2的值為6,故D正確.

故選:BCD

12.如圖所示,在棱長為2的正方體ABC?!狝AGA中,E是線段的中點,點M,N滿足

\M=AA^C,BN=〃BC,其中4"e(O,l),則()

12

A.當%=1,〃=二時,過E,M,N三點的平面截正方體得到的截面多邊形為正方形

23

B.存在/le(O,l),使得平面A。/_L平面做C

C.存在九4e(0,1),使得平面MEN平面AB、C

D.當〃=g時,點A到平面ANC的距離為手

【答案】BD

【解析】

|2

【分析】根據(jù)4=一,4=—找至iJM,N位置,通過平行補全過E,M,N三點的平面截正方體所得的截面,

23

即可判斷A;先找到垂直于平面ABC的直線,判斷是否存在力€(。,1)使得平面能與該直線平行即

可;找到與平面做C平行的平面,進而判斷M,N的位置即可判斷C;補全平面ANC,用等體積法即可

求得點A到平面4NC的距離,進而判斷D.

12

【詳解】解:由2=5,〃=],可知M為AC中點,N為qG靠近G的三等分點,

連接EM并延長交平面CBB?與點片,

由E為AA中點,M為4c中點可知,片為BG中點,

連接Ng并延長交BC于點耳,由4c1〃8耳可知,

22

△G&NABER因為=所以月C=]3C,

所以《為BC靠近8的三等分點,取AO靠近A的三等分點產(chǎn),

2

連接尸耳,再連接石產(chǎn)并延長交AR于點M,同理可得4N1=1AA,

連接NN|如圖所示:

則可知過E,M,N三點的平面截正方體得到的截面多邊形為FF\NN\,

22

在平面BCCg中,由耳N=§4G,片。=§5??芍?汽。。。|,

所以四邊形咐NM不是正方形,故選項A錯誤;

連接DB如圖所示,

因為正方體ABC。一AAGA,所以。。,平面438,所以DD|,AC,

因為正方形ABC。,所以3。LAC,

因為?!?gt;JBD=D,DD,u平面BDQ,80u平面BDD1,

所以AC_L平面8。,,即AC,8D1,同理可證與。,8,,

因為4CcAC=C,4Cu平面AB。,ACu平面AgC,

所以BQ,平面A4C,所以當丸=;時,加為AC8。中點,

由BD、,平面ABtC,可得D.M1平面ABC,

因為u平面中,所以平面AQM_1_平面的(7,

即選項B正確;

連接AG,A0,DG如圖所示:

所以AGAC,因為ACU平面AC。,AC.平面AC0,

所以AC平面ACQ,因為4。BC,AQu平面ACQ,4cz平面4(0,

所以々C平面A££),因為ACcqC=C,ACu平面ABC,^Cu平面A^C,

所以平面AG。1平面ABC,因E為4。中點,所以E在平面AC0內(nèi),

若平面A/EN平面ABC,則“與A|重合,N與C1重合,

即幾=0,〃=1時成立,與題意不符,故選項C錯誤;

當〃=g時,N為B?中點、,取AO中點H,連接C",4",AC如圖所示:

由圖可知AN〃C",且AN=CH,即四邊形CHAN為平行四邊形,

所以A到平面4NC的距離即為A到平面\HC的距離,

因為正方體棱為2,所以A"=1,AA=2,即=

同理C〃=石,因為AC=2,5,所以4c=2百,

在△4"。中,由余弦定理得:

5+5-12_1

cosZ24HC=

12A.HHC2?/?6一5

因為幺HCe(O,7i),所以sinNA”C=¥,

即SaAHc=g.AH.HC.sinN4"C=g??-7^^=?,

且有%,c=gA"-C£)=gi2=l,

記A到平面A“c的距離為6,

可得V=—?5HC.h=--h-V-—?S?2=2,

A~/Ai|HHC3ZAA4/1|/7C3/A1|-/A1H/7C3ZAA/iizC3

即Y5〃=2,解得〃=逅,故選項D正確.

333

故選:BD

【點睛】方法點睛:此題考查立體幾何的綜合應用,屬于難題,關于立體幾何中找截面的方法有:

(1)直接連線法:有兩點在幾何體的同一個面上,兩點連線即為幾何體與截面的交線;

(2)作平行線:過直線與直線外一點作截面,若直線所在平面與點所在平面平行,通過過該點找直線的平

行線找到幾何體與截面交線;

(3)延長線找交點:若直線相交,但立體幾何圖形中未體現(xiàn),可通過作延長線的方法找到交點,然后借助

交點找到截面形成的交線;

(4)輔助平面法:若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中,則在作截面時需要作一個輔助平面.

三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填寫在答題卡相應位置上:

13.我國國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)2022年比2013年翻了一番,則平均每年的增長率是.

【答案】^2-1

【解析】

【分析】國內(nèi)生產(chǎn)總值從2013年到2022年共增長9次,由于平均每年增長率相同,故模型為指數(shù)函數(shù),根

據(jù)翻一番可列方程(l+x)9=2求解.

【詳解】設年均增長率為x,根據(jù)題意得,

(1+力9=2,解得了=也一1,

所以平均每年的增長率應是吸.

故答案為:^2-1

14.(l-x)2+(l-x)3++(1-x)6的展開式中/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】35

【解析】

【分析】(1—x)”的展開式的通項為7;+i=C:(—x)'=C:(T)"£,取尸=2,計算得到答案.

【詳解】(1—x)”的展開式的通項為7;+i=C:(—口

則f的系數(shù)為:

^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2=1+3+6+10+15=35

故答案為:35

【答案】:##0.5

【解析】

【分析】應用誘導公式、二倍角余弦公式得2cos2(x—工)+3cos(x-四)—2=0,即可求目標式的值.

66

7T7T7T7T

【詳解】由cos(2x一一)=sin[-+(2x—一)]=sin(2x+-),

所以sin(2工+弓)+3cos(工一弓)-1=cos(2x-])+3cos(x一弓)一1=0,

由cos(2x——)=2cos?(x—-)-1,貝ij2cos2(x——)4-3cos(x--)-2=0,

3666

TTJlTT1TT

所以[2cos(九—)—l][cos(x—)+2]=0f可得cos(x—)——或cos(x—)——2(舍),

66626

綜上,cos(x--)=—.

62

故答案為:g

16.已知過點〃(3,-1)作拋物線。:/=2〃>,(0>0)的兩條切線,切點分別為A3,直線A8經(jīng)過拋物

線C的焦點/,則+\MBf=.

【答案】169

【解析】

【分析】設出A(玉,兇),3(%,%),分別求在A3兩點處導數(shù),進而求出在A5兩點處的切線方程,將

M(3,—1)代入,利用同構即可求得直線A3方程,根據(jù)直線AB經(jīng)過焦點F,代入直線方程即可求得P,

聯(lián)立直線與拋物線方程,求得%+%20?%2,進而求得X+%,*%,寫叫『的式子進行化簡

求值即可.

【詳解】解:由題知尸(0,^),設A(石,%),8(々,必),所以西2=2py,々2=2〃%,

x2x

因為Cd=2py(p>0),即>=了,所以y'=q,

故勺M=',匕WB=上,所以'MA:y=-H%—xj+x,

ppp

即:y=2x—上+工,即〉=2》_工,即y=±x-y,

PP2Pp2pp

同理可得:/血:〉=上》一>2,

P

-1二一一y

P

因為M(3,—l)在直線上,所以有<

3X2

-^=--y2

P

13x

故A3在直線-1二----y上,即:3x-〃y+〃=0,

因為A6經(jīng)過拋物線C的焦點尸。,彳

所以—1=—K,解得p=2,故拋物線為f=4y,

2

所以兀:3x-2y+2=0,

(3x-2y+2=Q

聯(lián)立〈2/>即/一6%—4=0,所以司+無,=6,%=一4,

x=4y

Rr2.r2

所以y+%=5(%+w)+2=11,x?%='I=1

2222

所以|M4『+\MBf=(x)-3)+(y+1)+(x2-3)+(y2+1)

=xJ+X~-6%|+2y+10+x2+y2—6/+21y2+1()

書2+/2+城+%2_6&+£)+2(%+%)+20

=(玉+%2f-2中2+(y+%f-2y,y2-6(x,+&)+2(y+%)+20

=36+8+121-2-36+22+20=169.

故答案為:169

【點睛】思路點睛,該題考查開口向上的拋物線的切線問題,屬于難題,關于過拋物線外一點做拋物線兩

條切線,切點所在的直線方程的思路有:

(1)設出兩切點坐標A(X,X),8(X2,%),根據(jù)求導分別求出兩條切線的斜率;

(2)根據(jù)點的坐標及切線斜率寫出切線方程,并化簡至關于王,々,%,內(nèi)的一次方程;

(3)將拋物線外一點分別帶入兩條切線方程,通過同構即可得出切點所在直線方程.

四、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=cos7u-sinTLr(xeR)的所有正的零點構成遞增數(shù)列{a“}(〃eN)

(I)求數(shù)列{4}的通項公式;

、、

(2)設么,求數(shù)列{2}的前"項和

77

3

【答案】(1)^=^--

⑵(=2—(〃+2)出“

【解析】

【分析】(1)先化簡/(X),求得其正的零點,進而判斷數(shù)列{%}的類型,求出基本量,寫出通項公式即

可;

(2)將(1)中的通項公式代入可得{d}的通項公式,再用乘公比錯位相減求出前〃項和T“即可.

【小問1詳解】

71

解:因為/(x)=COSTLY-sin7LX=0cos7LT+—

4

令〃可得血

x)=0cos(6+7)=0,即7LX+;=]+E,(&wZ),

解得x=;+M左eZ),因為{4}為所有正的零點構成的,

故4=;,且?!?。,一|=1,故{%}為以:為首項,I為公差的等差數(shù)列,

3

=n——

4'74

【小問2詳解】

3/1、33、

由(1)知?二九一w,所以2幾------1—=n

12;4472

所以7;=々+b2+h3++%+hn

?(

j++72-1)①,

母2配出C.

3、〃+1

I++〃]

所以±7;=削2〔加出②,

2"7

①-②可得:

(]\rt+1

=1一(〃+2)T

故事=2—(〃+2)反/iY.

7T

18.在ABC中,。為BC上的中點,滿足/8A£)+/AC8=—.

2

(1)證明:_ABC為等腰三角形或直角三角形;

(2)若角A為銳角,E為邊AC上一點,AE=2EC,BE=2,BC=6求JRC的面積.

【答案】(1)證明見解析;

【解析】

【分析】⑴設NACB=a,/ABC=B,由正弦定理可得絲=星空,券=與與

BDcosaCDcos/3

TT

根據(jù)二倍角正弦公式和正弦函數(shù)性質證明。=£或a+4=5即可;

(2)由余弦定理列方程求C£,AC,再求NAC8的余弦值和正弦值,再利用三角形面積公式求解.

【小問1詳解】

71

因為/BA£)+/AC3=—,

2

7t

所以/C4£>+NABC=兀一NBA。一ZAC8=—,

2

設NAC8=a,ZABC=0,

7171

則/540=萬一々,NCADf-B,

ADBDBD

在△A3Z)中,由正弦定理可得sin,.(it)cosa,

(2)

*,,ADsinB

所以——=-

BDcosa

AD_CDCD

在,AC£>中,由正弦定理可得sina-.(ncos/7,

ADsina

所以=----,

CDcospQ

又BD=CD,

sinBsina

所以一-=-

cosacosp

所以sin/?cos力=sincrcoscr,

所以sin2a=sin2/?,

所以2a—2月=2E或2a+2/7=2也+兀,%eZ,

又a,4£(0,兀),a+/3e(0,K),

TT

所以a=萬或a+£=5,

71

即?ACS?9?;?4。8+/48。=一,

2

所以?AC5?ABC或NBAC=一,

2

所以J3C為等腰三角形或直角三角形;

【小問2詳解】

因為角A為銳角,由(1)可得NABC=NACB,

所以AB=AC,設AB=3x,則AC=3x,

因為AE=2EC,所以CE=x,

在,BCE中,由余弦定理可得cosNBCE=紙+0&-8k

2CBCE

.「乂2_A〃2

在V8C4中,由余弦定理可得cosN8C4=一

2CBCA

又BE=2,BC=>5

2

CR,5+X-45+9%2—9尤2

所以一—=----1=------,

2xy/r5xx2xv5x3x

所以x=,cosZBCA=413,

312

所以sinNBCA=@^4,

12

所以..ABC的面積S=,C8-C4sinN6C4=』xJ^xJ^x"亙=叵.

22124

1]如圖所示,在四棱錐P—ABC。中,底面A8CD是等腰梯形,ABCD,A3=2CD=4.平面

平面ABCO,。為A3的中點,NZMO=NAQP=60°,OA=OP,E,F,G分別為8C,PD,PC

的中點.

(1)求證:平面PCDJ_平面AFGB:

(2)求平面尸£應與平面ABCD所成銳二面角的正切值.

【答案】(1)證明見解析

⑵乎

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理以及性質定理,結合面面垂直判定定理,可得答案;

(2)建立空間直角坐標系,利用二面角的空間向量計算公式,可得答案.

【小問1詳解】

如圖所示,取4。的中點H,連接HO,HP,

在等腰梯形ABCO中,ABCD,AB=4,8=2,NDAO=60°.

???O為A3的中點,即有四邊形BCD。是平行四邊形,

AOD//BC,ZDOA=ZCBO=ZDAO=60°.

△Q4D為正三角形,二AD=2,HD1AO.

在,AQP中,OA=OP=2,ZAOP=60°,

,.AQP為邊長為2的正三角形,二AP=2,PHIAO.

AAP^AD,又尸為尸。的中點,.??A尸

VHD±AO,PHLAO,HDcPH=H,HD,PHu平面PHD,

AO,平面PH。,即ABI平面???QDu平面P”。,...AB_LFD.

而G為PC中點,則尸G//CD//A3,又;MeM=A,A£ABu平面AFGB,,PD_L平面AFGB.

,:PDu平面PCD,:.平面PCD_L平面AFGB.

【小問2詳解】

?/PH±AB,平面Q4B_L平面ABC。,平面IBc平面ABC。=AB,/Wu平面Q4B,

/.P//_L平面A8CD,

...由(1)知,PH,HD,AB兩兩垂直,

以H為坐標原點,HD,HB,所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,

則”(0,0,0),P(0,0,A/3),r>(V3,0,0),E怦怖,0,

I22J

于是HP=(0,0,石),=(>/3,0,-V3),DE=-^-,-,0.

I22J

設平面PDE的法向量為n=(%,y,z),

V3x-A/3Z=0,

fl.PD=0,

取則〃()

則〈即<6Jx=5,=5,g,5,

n-DE=0,-----x+—y=0,

I2------2〉

設平面PDE與平面ABC。所成銳二面角為氏

???”p為平面A8CD的一個法向量,

cI,zn|In-HP\5百5

?COS”=COSH,HP\=——i-----r=—?=——r=='i——

??11\n\\HP\屈xGV53,

..n「[TA2幣*csin?277

??sing=vl—cos0=,—,tan。=-----=------

,53cos<95

平面POE與平面ABC。所成銳二面角的正切值為名自.

5

20.杭州某地準備建造一個以水仙花為主題的公園.在建園期間,甲、乙、丙三個工作隊負責采摘及雕刻水仙

花球莖.雕刻時會損壞部分水仙花球莖,假設水仙花球莖損壞后便不能使用,無損壞的全部使用.已知甲、乙、

丙工作隊所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作隊采摘的水仙花球莖的使

能使用的水仙花球莖數(shù)

用率分別為0.8,0.6,0.75(水仙花球莖的使用率=).

采摘的水仙花球莖總數(shù)

(1)從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機抽取三次,每次抽取一顆,記甲工作隊采摘的水仙花球莖被抽取

到的次數(shù)為求隨機變量J的分布列及期望;

(2)已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用,求它是由丙工作隊所采摘的概率.

【答案】(1)分布列見解析,期望為?

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得到J的所有取值且8卜;],求得相應的概率,得出分布列,利用期望的公式,

即可求解;

(2)用A,A2,4分別表示水仙花球莖由甲,乙,丙工作隊采摘,B表示采摘水仙花球莖經(jīng)雕刻后能

使用,則尸(4),尸(4),P(A),及尸(B|A),「(用4),尸(川4),即可求解.

【小問1詳解】

解:在采摘的水仙花球莖中,任取一顆是由甲工作隊采摘的概率是

4

依題意,J的所有取值為0,1,2,3,且

、3-A

3

所以P(“6,k=0,1,2,3,

7

27279j

即蛇=。)=才%=1)=守32)=#%=3)=互,

所以J的分布列為:

0123

272791

P

64646464

13

所以EC)=3x—=—

44

【小問2詳解】

解:用4,A?,4分別表示水仙花球莖由甲,乙,丙工作隊采摘,8表示采摘的水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使

用,

則尸(A)=0.25,P(4)=0.35,P(A,)=0.4,

且P(同A)=0.8,P(用4)=0.6,P(B\4)=0.75,

故故砂=P(網(wǎng))+p(%)+P(即)=p(A)P(51A)+P(4)P(BI&)+p(A)P(BIA)

=0.25x0.8+0.35x0.6+0.4x0.75=0.71,

p(&8)_P(A)P(*4)_0.3_30

所以P(AlB)

P(B)P(B)0.7171

30

即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用,它是由丙工作隊所采摘的概率為二.

71

2151

同理它是由甲乙工作隊所采摘的概率為一.,所以是由乙工作隊或丙工作隊所采摘的概率一

7171

22

21.已知橢圓/:二+2L=1,如圖所示,A,3為其左、右頂點,P為橢圓上位于第一象限內(nèi)的點,直線

43

交直線/:X=

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