高中：2023屆余杭高級(jí)中學(xué)高三年級(jí)下冊(cè)周練10,答案

2023屆余杭高級(jí)中學(xué)高三下周練（10）班級(jí)—姓名_______

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,復(fù)數(shù)z滿足（1+31”=",則（

)

12

B.——C.D.

1053

【答案】A

【解析】

31

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)相等及除法運(yùn)算得z=-而-右i,進(jìn)而求模.

ii(l-3i)i+331.

【詳解】由題設(shè)zl+3i-一(1+3。(1—3i)-ICT10-10H

所以IW=J（-新+（-#=嚕

故選：A

Rlog2^<o|,則集合(々A)cB=(

2.設(shè)集合4=(0,3),8=<XG)

A.(f0]U[3,4]B.(-oo,0]_[3,+oo)

C.(-oo,4]D.[3,4]

【答案】D

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)B,再求出冬入，進(jìn)而利用交集概念求出結(jié)果即可.

【詳解】解：因?yàn)?log2；W0>={x[0<x?4},

因?yàn)锳=（0,3）,所以4A=,

所以(々A)c3=[3,4].

故選：D

3.將6個(gè)人（含甲乙兩人）平均分成3組，則甲乙不在同一組的概率為（)

1414

A.—B.-C.一D.

155515

【答案】C

【解析】

【分析】由組合數(shù)求出6人任意分組、甲乙在同一組的分法，應(yīng)用古典概率的求法求概率即可.

C；c氾種分法，其中甲乙在同一組的情況有冬種,

【詳解】由題意,6人任意分組共有

A；

c沮A；=114

所以甲乙在同一組的概率為故甲乙不在同一組的概率為=

C：C：C；A；5

故選：C

4.“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在

一個(gè)與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”，該圓由法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日（1746T818）最先

2

發(fā)現(xiàn)，已知長(zhǎng)方形R的四條邊均與橢圓C:會(huì)+;/=1相切，則長(zhǎng)方形/?的面積的最大值為（）

A.9B.8C.6D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)所有的長(zhǎng)方形在一個(gè)同心圓上，結(jié)合橢圓方程得圓的方程為/+;/=4,設(shè)圓心與長(zhǎng)方形中

相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的兩條射線夾角大小為6e（0,2,則長(zhǎng)方形S=8sin6,即可得最大值.

【詳解】由題意，任意一個(gè)長(zhǎng)方形R的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)同心圓上，

則該圓的方程為f+V=〃+〃=4,即半徑為廠=2,

若圓心與長(zhǎng)方形中相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的兩條射線夾角大小為6e（0,兀），

Ic7T

則長(zhǎng)方形面積S=4xgx/sin6=8sin。，當(dāng)。時(shí)5n1ax=8.

故選：B

5.在中，E為4C上一點(diǎn)，AC=3AE,P為線段班上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若AP=xAB+yAC,則

13

一+一的最小值是（）

x）'

A.8B.10C.13D.16

【答案】D

【解析】

1319

【分析】由題設(shè)A一P=一2A/，+(l-/l一)AE且0<2<1,進(jìn)而可得《產(chǎn)1—4,將目標(biāo)式化為一+—=：+1=

y=------XyAI-A.

結(jié)合基本不等式“1”的代換求最小值，注意等號(hào)成立條件.

【詳解】由題意，如下示意圖知：AP=AAB+(1-A)AE,且又AC=3AE，

B

4E。

x=A

1-A

所以AP=/IA8+——AC,故《1—4且OvXvl,

3y=----

I3

,.1319cq1—A9411—A-

故Jy=%z+1-產(chǎn)+(ii+Jl-產(chǎn)l°+2j。6,

1-A

1-2o；1

僅當(dāng)——=——,即4=—時(shí)等號(hào)成立.

21-24

13

所以一+一的最小值是16.

xy

故選：D

6.已知函數(shù)/(x)=sin((yx+E3>0)在(0,g上單調(diào)遞增，在(二2兀1

上單調(diào)遞減，則“X)的一個(gè)

對(duì)稱中心可以為()

DJ號(hào),0)

A.加B.卜利。倍可

【答案】B

【解析】

2兀=1,周期TN,，

【分析】由條件可知/由此可求0,再由正弦函數(shù)性質(zhì)求其對(duì)稱中心.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=sin"+V在（0母上單調(diào)遞增，在［葉，兀上單調(diào)遞減,

所以/用=1且T吟，

2兀JTTT27147c

所以---<y+—=2E+—eZ,—,又。>0,

362I畫3

13

所以。=3%+—,0<d?<—,

22

?（［兀、

所以0=-，故/（x）=sin-X+-J,

2\26；

由一x+一二nrn.meZ,可得x=---，

263

取加=0,可得x=—三，又/（—1］=°,

所以［一（，°］是函數(shù)/（力一個(gè)對(duì)稱中心.

故選：B.

7.已知數(shù)列｛。,,｝滿足：卬=,，*=（〃+］；：［+］）（〃wN）數(shù)列｛勿｝滿足：々=2〃2,若［可表示

不超過x的最大整數(shù)（例如—1.1］=—2）,則［磔2］+&4］++［aAo］=（）

A.26B.25C.23D.21

【答案】D

【解析】

111

【分析】根據(jù)已知遞推關(guān)系可得:---------=11,結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式得4=二~進(jìn)而確定

4也用的通項(xiàng)公式，根據(jù)新定義求目標(biāo)式的值.

【詳解】由題設(shè)，」一=（〃+1）（1+」一）]1,1

整理得-=1,而—=2

4M叫5+1)%na?lx

,1,11

所以｛——｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，故一=〃+1,則%=二一

nannann(n+1)

又h=2/，故a也+|=2=2(1+-)，

n盧'

n(n+\)n

所以[a也]+[/4]++p^10]=[2x(l+l)]+[2x(l+l)]+...+[2x(l+l)l)=21.

故選：D

8.若函數(shù)/(x)=e'-2成一2Hnx+辦2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(f-e)B.(-00,-e]

C.(-e,0)D.\/e,oj

【答案】A

【解析】

QX2-21nxx2-2lnx

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=-。與)，=-------圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)換元法將函數(shù)y=f------

x2-2\nxx2-2\nx

轉(zhuǎn)化為g(f)=，，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

/(x)=er-2lnr-2alnx+ax2=ex?~2,nx4-(x2-2In,

h(x)=x2-2Inx(x>0)，則〃'(x)=—2=2(x+l)(xD,

xx

令hf(x)>0=>x>1,令hf(x)vOnOvxvl,

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在。,行)上單調(diào)遞增，且〃。)二1,

所以〃(X)min=〃(l)=l，所以/X)N1,

函數(shù)〃力有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程/。)=0有兩個(gè)不同的解，

/—2ln.r

則e.21nx+a(爐一21nx)=0=>一〃=:------,

')x2-21nx

.x2-2Jnx

等價(jià)于函數(shù)y=-。與)，=-4------圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

x2-21nx

令f-21nx=r，g⑺=7J〉1,

p

則函數(shù)y=—。與g（，）=匕,f>1圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

則g'（>寧=竽>。，

所以函數(shù)g（f）在（1,"。）上單調(diào)遞增，

所以g（/）>g（l）=e,

且，趨向于正無(wú)窮時(shí)，8（。=亍趨向于正無(wú)窮，

所以一a>e,解得a<-e.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題中，說法正確的是（）

A.已知《N（0,l）,若P（J>D=p,則P（—lwg<0）=g_p

B.若從小到大排列的一組數(shù)據(jù)為24,27,28,37,40,42,46,48,50,52.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第60

7

百分位數(shù)的比值為五

C.若A5兩個(gè)事件獨(dú)立，那么P（A_B）=P（A）+P（B）

1__n1

D.若P（AB）=§,P（X）=§,P⑻=§，則事件A與事件B相互獨(dú)立

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)判斷A,根據(jù)百分位數(shù)的定義求這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第60

百分?jǐn)?shù)，由此判斷B,通過舉例判斷C,根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式判斷D.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镴N（0,l）,

所以P（JZ0）=；,又PC>1）=〃，

所以「（OWj41）=g-〃，

由對(duì)稱性可得P（-14gw0）=；-p,A正確；

對(duì)于B：由已知樣本數(shù)據(jù)中有10個(gè)數(shù)，

又10x25%=2.5,10x6（）%=6,

42+46

所以樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為28,第60百分位數(shù)為------=44,

2

7

所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的比值為打，B正確；

對(duì)于C：舉例如下：

分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，

設(shè)A="第一枚硬幣正面朝上"，B="第二枚硬幣正面朝上”，

則P（A）=P（5）=—,P（AB）=-,尸（A8）=.,

所以A,8兩個(gè)事件獨(dú)立，但是尸（A6）/P（A）+P（B）,C錯(cuò)誤；

因?yàn)楫a(chǎn)（入）=|,所以尸（A）=l—1=；,

又「（A6）=",P（B）=/

所以尸（AB）=P（A）P（B）,

所以事件A與事件B相互獨(dú)立，D正確.

故選：ABD.

10.已知函數(shù)/（x）=x+2-ln（如），則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，函數(shù)/（x）的圖象在點(diǎn)（2,/⑵）處的切線的斜率為g

B.當(dāng)加=1時(shí)，〃x）＞0恒成立

C.當(dāng)加=1時(shí)，/（e）在（0,+8）上單調(diào)遞增

D.當(dāng)施=e時(shí),f（x）=0有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】

【分析】由題設(shè)得/'（x）=l-4且＞0,根據(jù)各項(xiàng)參數(shù)，〃的范圍或取值，研究/（X）的單調(diào)性、最值和零

X

點(diǎn)判斷正誤即可.

【詳解】由題設(shè)f（x）=l—L且〃a＞0,

X

A：當(dāng)機(jī)＞0時(shí)xe（0,+8）,則/（2）=g,故/*）的圖象在點(diǎn)（2,/（2））處的切線的斜率為正確；

B、C：加=1時(shí)XG(O,+?)),則(0,1)上/'(x)<0,/(X)遞減，(1,4W)上r(x)>0,Bx)遞增,

所以f(x)N/⑴=3>O,B正確；

/=6、在(。,+8)上遞增，又/(f)在te(l,+。)上遞增，故/(e)在(0,+8)上單調(diào)遞增，c正確；

D：m=e時(shí)有/(x)=x+l—Inx,同上分析知：/(%)(0,1)上遞減，(1,+8)上遞增，

所以J(x)W〃l)=2>0,故/3無(wú)零點(diǎn),錯(cuò)誤.

故選：ABC

11.已知4目,%),3(%2，%)是圓O：/+y2=3上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若點(diǎn)。到直線AB的距離為a，則|AB|=1

B.若直線A8的方程為乙一丁+1-左=0,則圓心到直線距離的最大值為

C.再%2+%%的最小值為一3

D.若=則(為+/)2+(0+%)2的值為6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)幾何法求圓的弦長(zhǎng)判斷A,判斷直線AB的定點(diǎn)，從而將圓心到直線AB距離的最大值轉(zhuǎn)化為

圓心到點(diǎn)(1,1)的距離求解判斷B,利用數(shù)量積的定義求解Q4-O8的最小值，即可判斷C,求解向量

\OA+OB^,即可得(％+々)2+(兇+%)2的值，判斷D.

【詳解】對(duì)A,由題意，圓。的半徑為G，且點(diǎn)。到直線A6的距離為0，

所以|AB|=2](6)-(V5)=2>故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由直線AB的方程依一y+1-左=0,可得直線過定點(diǎn)(1』)，

則圓心到直線AB距離的最大值為圓心到點(diǎn)(1,1)的距離，

即最大值為｛(—Of+(1.0)2=J5,故B正確；

對(duì)C,西龍2+多力為。4?。？的值，因?yàn)閳A。的半徑為6，

可得煙=3=百，又—IWCOSZAOBWI,

所以04?。3=大X2+,%-1|cos^OB>-3,

所以玉Z+X%的最小值為一3,故c正確;

對(duì)D,04+。8=（石+工2，乂+%），

則|OA+081=（玉+/『+（必+%）12，

JT..

因?yàn)镹AO8=5，所以QA-O6=0，

I|2.22

所以|。4+04=0A+20A03+05=3+3=6,

所以（％+X2『+（y+必）2的值為6,故D正確.

故選：BCD

12.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！狝AGA中，E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N滿足

\M=AA^C,BN=〃BC,其中4"e（O,l）,則（）

12

A.當(dāng)％=1,〃=二時(shí)，過E,M,N三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形為正方形

23

B.存在/le（O,l）,使得平面A。/_L平面做C

C.存在九4e（0,1），使得平面MEN平面AB、C

D.當(dāng)〃=g時(shí)，點(diǎn)A到平面ANC的距離為手

【答案】BD

【解析】

|2

【分析】根據(jù)4=一，4=—找至iJM,N位置，通過平行補(bǔ)全過E,M,N三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面，

23

即可判斷A；先找到垂直于平面ABC的直線，判斷是否存在力€（。,1）使得平面能與該直線平行即

可；找到與平面做C平行的平面，進(jìn)而判斷M,N的位置即可判斷C；補(bǔ)全平面ANC,用等體積法即可

求得點(diǎn)A到平面4NC的距離，進(jìn)而判斷D.

12

【詳解】解：由2=5，〃=],可知M為AC中點(diǎn)，N為qG靠近G的三等分點(diǎn),

連接EM并延長(zhǎng)交平面CBB?與點(diǎn)片,

由E為AA中點(diǎn)，M為4c中點(diǎn)可知，片為BG中點(diǎn)，

連接Ng并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)耳，由4c1〃8耳可知，

22

△G&NABER因?yàn)?所以月C=]3C,

所以《為BC靠近8的三等分點(diǎn)，取AO靠近A的三等分點(diǎn)產(chǎn)，

2

連接尸耳，再連接石產(chǎn)并延長(zhǎng)交AR于點(diǎn)M，同理可得4N1=1AA，

連接NN|如圖所示：

則可知過E,M,N三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形為FF\NN\,

22

在平面BCCg中，由耳N=§4G，片。=§5?？芍?汽。。。|，

所以四邊形咐NM不是正方形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

連接DB如圖所示,

因?yàn)檎襟wABC。一AAGA,所以。。，平面438,所以DD|，AC,

因?yàn)檎叫蜛BC。，所以3。LAC,

因?yàn)??！?gt;JBD=D,DD,u平面BDQ,80u平面BDD1,

所以AC_L平面8。，，即AC，8D1,同理可證與。，8，，

因?yàn)?CcAC=C,4Cu平面AB。，ACu平面AgC,

所以BQ,平面A4C,所以當(dāng)丸=；時(shí)，加為AC8。中點(diǎn)，

由BD、，平面ABtC,可得D.M1平面ABC,

因?yàn)閡平面中，所以平面AQM_1_平面的（7,

即選項(xiàng)B正確；

連接AG，A0，DG如圖所示：

所以AGAC,因?yàn)锳CU平面AC。，AC.平面AC0,

所以AC平面ACQ,因?yàn)?。BC，AQu平面ACQ,4cz平面4（0,

所以々C平面A￡￡）,因?yàn)锳CcqC=C,ACu平面ABC，^Cu平面A^C,

所以平面AG。1平面ABC，因E為4。中點(diǎn)，所以E在平面AC0內(nèi)，

若平面A/EN平面ABC,則“與A|重合，N與C1重合，

即幾=0,〃=1時(shí)成立，與題意不符，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)〃=g時(shí)，N為B?中點(diǎn)、,取AO中點(diǎn)H,連接C",4",AC如圖所示：

由圖可知AN〃C"，且AN=CH,即四邊形CHAN為平行四邊形,

所以A到平面4NC的距離即為A到平面\HC的距離，

因?yàn)檎襟w棱為2,所以A"=1,AA=2,即=

同理C〃=石，因?yàn)锳C=2，5，所以4c=2百，

在△4"。中，由余弦定理得：

5+5-12_1

cosZ24HC=

12A.HHC2?/?6一5

因?yàn)殓跦Ce(O,7i),所以sinNA”C=￥，

即SaAHc=g.AH.HC.sinN4"C=g??-7^^=?，

且有％,c=gA"-C￡)=gi2=l,

記A到平面A“c的距離為6,

可得V=—?5HC.h=--h-V-—?S?2=2,

A~/Ai|HHC3ZAA4/1|/7C3/A1|-/A1H/7C3ZAA/iizC3

即Y5〃=2,解得〃=逅，故選項(xiàng)D正確.

333

故選：BD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于立體幾何中找截面的方法有：

(1)直接連線法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，兩點(diǎn)連線即為幾何體與截面的交線；

(2)作平行線：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在平面與點(diǎn)所在平面平行，通過過該點(diǎn)找直線的平

行線找到幾何體與截面交線；

(3)延長(zhǎng)線找交點(diǎn)：若直線相交，但立體幾何圖形中未體現(xiàn)，可通過作延長(zhǎng)線的方法找到交點(diǎn)，然后借助

交點(diǎn)找到截面形成的交線；

(4)輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上：

13.我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)2022年比2013年翻了一番，則平均每年的增長(zhǎng)率是.

【答案】^2-1

【解析】

【分析】國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從2013年到2022年共增長(zhǎng)9次，由于平均每年增長(zhǎng)率相同，故模型為指數(shù)函數(shù)，根

據(jù)翻一番可列方程(l+x)9=2求解.

【詳解】設(shè)年均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意得，

(1+力9=2,解得了=也一1，

所以平均每年的增長(zhǎng)率應(yīng)是吸.

故答案為：^2-1

14.(l-x)2+(l-x)3++(1-x)6的展開式中/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】35

【解析】

【分析】(1—x)”的展開式的通項(xiàng)為7；+i=C：(—x)'=C：(T)"￡,取尸=2,計(jì)算得到答案.

【詳解】(1—x)”的展開式的通項(xiàng)為7；+i=C：(—口

則f的系數(shù)為：

^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2=1+3+6+10+15=35

故答案為：35

【答案】：##0.5

【解析】

【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式得2cos2(x—工)+3cos(x-四)—2=0,即可求目標(biāo)式的值.

66

7T7T7T7T

【詳解】由cos（2x一一）=sin[-+（2x—一）]=sin（2x+-），

所以sin（2工+弓）+3cos（工一弓）-1=cos（2x-]）+3cos（x一弓）一1=0,

由cos(2x——)=2cos?(x—-)-1,貝ij2cos2(x——)4-3cos(x--)-2=0,

3666

TTJlTT1TT

所以[2cos(九—)—l][cos(x—)+2]=0f可得cos(x—)——或cos(x—)——2(舍),

66626

綜上，cos(x--)=—.

62

故答案為：g

16.已知過點(diǎn)〃(3,-1)作拋物線。:/=2〃＞，(0＞0)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A3,直線A8經(jīng)過拋物

線C的焦點(diǎn)/，則+\MBf=.

【答案】169

【解析】

【分析】設(shè)出A(玉,兇),3(%,%)，分別求在A3兩點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出在A5兩點(diǎn)處的切線方程，將

M(3,—1)代入，利用同構(gòu)即可求得直線A3方程，根據(jù)直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，代入直線方程即可求得P,

聯(lián)立直線與拋物線方程，求得%+%20?％2,進(jìn)而求得X+%，*%，寫叫『的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)

求值即可.

【詳解】解：由題知尸(0,^),設(shè)A(石,％),8(々,必)，所以西2=2py,々2=2〃%，

x2x

因?yàn)镃d=2py(p＞0),即＞=了，所以y'=q,

故勺M='，匕WB=上，所以'MA：y=-H%—xj+x，

ppp

即：y=2x—上+工，即〉=2》_工，即y=±x-y,

PP2Pp2pp

同理可得：/血：〉=上》一＞2,

P

-1二一一y

P

因?yàn)镸(3,—l)在直線上，所以有＜

3X2

-^=--y2

P

13x

故A3在直線-1二----y上，即：3x-〃y+〃=0,

因?yàn)锳6經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)尸。,彳

所以—1=—K,解得p=2,故拋物線為f=4y,

2

所以兀：3x-2y+2=0,

(3x-2y+2=Q

聯(lián)立〈2/＞即/一6%—4=0，所以司+無(wú)，=6,%=一4,

x=4y

Rr2.r2

所以y+%=5(%+w)+2=11,x?%='I=1

2222

所以|M4『+\MBf=(x)-3)+(y+1)+(x2-3)+(y2+1)

=xJ+X~-6%|+2y+10+x2+y2—6/+21y2+1()

書2+/2+城+%2_6&+￡)+2(%+%)+20

=(玉+%2f-2中2+(y+%f-2y,y2-6(x,+&)+2(y+%)+20

=36+8+121-2-36+22+20=169.

故答案為：169

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛，該題考查開口向上的拋物線的切線問題，屬于難題，關(guān)于過拋物線外一點(diǎn)做拋物線兩

條切線，切點(diǎn)所在的直線方程的思路有：

(1)設(shè)出兩切點(diǎn)坐標(biāo)A(X，X),8(X2，%)，根據(jù)求導(dǎo)分別求出兩條切線的斜率；

(2)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及切線斜率寫出切線方程，并化簡(jiǎn)至關(guān)于王,々，%，內(nèi)的一次方程；

(3)將拋物線外一點(diǎn)分別帶入兩條切線方程，通過同構(gòu)即可得出切點(diǎn)所在直線方程.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=cos7u-sinTLr(xeR)的所有正的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列{a“}(〃eN)

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

、、

（2）設(shè)么,求數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和

77

3

【答案】（1）^=^--

⑵(=2—(〃+2)出“

【解析】

【分析】（1）先化簡(jiǎn)/（X），求得其正的零點(diǎn)，進(jìn)而判斷數(shù)列｛%｝的類型，求出基本量，寫出通項(xiàng)公式即

可;

（2）將（1）中的通項(xiàng)公式代入可得｛d｝的通項(xiàng)公式，再用乘公比錯(cuò)位相減求出前〃項(xiàng)和T“即可.

【小問1詳解】

71

解：因?yàn)?(x)=COSTLY-sin7LX=0cos7LT+—

4

令〃可得血

x)=0cos(6+7)=0,即7LX+；=]+E,(&wZ),

解得x=；+M左eZ）,因?yàn)椋?｝為所有正的零點(diǎn)構(gòu)成的,

故4=；,且。“-。,一|=1,故｛%｝為以:為首項(xiàng)，I為公差的等差數(shù)列,

3

=n——

4'74

【小問2詳解】

3/1、33、

由（1）知?二九一w,所以2幾------1—=n

12；4472

所以7；=々+b2+h3++%+hn

?(

j++72-1)①,

母2配出C.

3、〃+1

I++〃]

所以±7；=削2〔加出②,

2"7

①-②可得:

(]\rt+1

=1一(〃+2)T

故事=2—(〃+2)反/iY.

7T

18.在ABC中，。為BC上的中點(diǎn)，滿足/8A￡)+/AC8=—.

2

(1)證明：_ABC為等腰三角形或直角三角形；

(2)若角A為銳角，E為邊AC上一點(diǎn)，AE=2EC,BE=2,BC=6求JRC的面積.

【答案】(1)證明見解析;

【解析】

【分析】⑴設(shè)NACB=a，/ABC=B,由正弦定理可得絲=星空，券=與與

BDcosaCDcos/3

TT

根據(jù)二倍角正弦公式和正弦函數(shù)性質(zhì)證明。=￡或a+4=5即可；

(2)由余弦定理列方程求C￡,AC,再求NAC8的余弦值和正弦值，再利用三角形面積公式求解.

【小問1詳解】

71

因?yàn)?BA￡)+/AC3=—,

2

7t

所以/C4￡>+NABC=兀一NBA。一ZAC8=—,

2

設(shè)NAC8=a,ZABC=0,

7171

則/540=萬(wàn)一々，NCADf-B，

ADBDBD

在△A3Z)中，由正弦定理可得sin，.(it)cosa,

(2)

*,,ADsinB

所以——=-

BDcosa

AD_CDCD

在,AC￡>中，由正弦定理可得sina-.(ncos/7,

ADsina

所以=----，

CDcospQ

又BD=CD,

sinBsina

所以一-=-

cosacosp

所以sin/?cos力=sincrcoscr,

所以sin2a=sin2/?,

所以2a—2月=2E或2a+2/7=2也+兀,%eZ,

又a,4￡（0,兀），a+/3e（0,K）,

TT

所以a=萬(wàn)或a+￡=5，

71

即？ACS?9。或/4。8+/48。=一，

2

兀

所以？AC5?ABC或NBAC=一，

2

所以J3C為等腰三角形或直角三角形；

【小問2詳解】

因?yàn)榻茿為銳角，由（1）可得NABC=NACB,

所以AB=AC,設(shè)AB=3x,則AC=3x,

因?yàn)锳E=2EC,所以CE=x,

在，BCE中，由余弦定理可得cosNBCE=紙+0&-8k

2CBCE

.「乂2_A〃2

在V8C4中，由余弦定理可得cosN8C4=一

2CBCA

又BE=2,BC=>5

2

CR,5+X-45+9%2—9尤2

所以一—=----1=------，

2xy/r5xx2xv5x3x

所以x=，cosZBCA=413,

312

所以sinNBCA=@^4,

12

所以..ABC的面積S=，C8-C4sinN6C4=』xJ^xJ^x"亙=叵.

22124

1］如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，底面A8CD是等腰梯形，ABCD,A3=2CD=4.平面

平面ABCO,。為A3的中點(diǎn)，NZMO=NAQP=60°,OA=OP,E,F,G分別為8C,PD，PC

的中點(diǎn).

（1）求證：平面PCDJ_平面AFGB：

（2）求平面尸￡應(yīng)與平面ABCD所成銳二面角的正切值.

【答案】（1）證明見解析

⑵乎

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理以及性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量計(jì)算公式，可得答案.

【小問1詳解】

如圖所示，取4。的中點(diǎn)H,連接HO,HP,

在等腰梯形ABCO中，ABCD,AB=4，8=2,NDAO=60°.

???O為A3的中點(diǎn)，即有四邊形BCD。是平行四邊形，

AOD//BC,ZDOA=ZCBO=ZDAO=60°.

△Q4D為正三角形，二AD=2，HD1AO.

在，AQP中，OA=OP=2,ZAOP=60°,

,.AQP為邊長(zhǎng)為2的正三角形，二AP=2，PHIAO.

AAP^AD,又尸為尸。的中點(diǎn)，.??A尸

VHD±AO,PHLAO,HDcPH=H，HD,PHu平面PHD，

AO,平面PH。，即ABI平面???QDu平面P”。，...AB_LFD.

而G為PC中點(diǎn)，則尸G//CD//A3,又；MeM=A,A￡ABu平面AFGB,，PD_L平面AFGB.

,：PDu平面PCD,：.平面PCD_L平面AFGB.

【小問2詳解】

?/PH±AB,平面Q4B_L平面ABC。，平面IBc平面ABC。=AB,/Wu平面Q4B，

/.P//_L平面A8CD,

...由（1）知，PH,HD,AB兩兩垂直,

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HD,HB,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則”（0,0,0）,P（0,0,A/3）,r＞（V3,0,0）,E怦怖,0,

I22J

于是HP=（0,0,石），=（＞/3,0,-V3）,DE=-^-,-,0.

I22J

設(shè)平面PDE的法向量為n=（%,y,z），

V3x-A/3Z=0,

fl.PD=0,

取則〃（）

則〈即＜6Jx=5,=5,g,5,

n-DE=0,-----x+—y=0,

I2------2〉

設(shè)平面PDE與平面ABC。所成銳二面角為氏

???”p為平面A8CD的一個(gè)法向量，

cI,zn|In-HP\5百5

?COS”=COSH,HP\=——i-----r=—?=——r=='i——

??11\n\\HP\屈xGV53,

..n「［TA2幣*csin?277

??sing=vl—cos0=,—,tan。=-----=------

,53cos<95

平面POE與平面ABC。所成銳二面角的正切值為名自.

5

20.杭州某地準(zhǔn)備建造一個(gè)以水仙花為主題的公園.在建園期間，甲、乙、丙三個(gè)工作隊(duì)負(fù)責(zé)采摘及雕刻水仙

花球莖.雕刻時(shí)會(huì)損壞部分水仙花球莖，假設(shè)水仙花球莖損壞后便不能使用，無(wú)損壞的全部使用.已知甲、乙、

丙工作隊(duì)所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作隊(duì)采摘的水仙花球莖的使

能使用的水仙花球莖數(shù)

用率分別為0.8,0.6,0.75（水仙花球莖的使用率=).

采摘的水仙花球莖總數(shù)

（1）從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機(jī)抽取三次，每次抽取一顆，記甲工作隊(duì)采摘的水仙花球莖被抽取

到的次數(shù)為求隨機(jī)變量J的分布列及期望；

（2）已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，求它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率.

【答案】（1）分布列見解析，期望為？

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意得到J的所有取值且8卜；］,求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用期望的公式,

即可求解;

（2）用A，A2,4分別表示水仙花球莖由甲，乙，丙工作隊(duì)采摘，B表示采摘水仙花球莖經(jīng)雕刻后能

使用，則尸（4）,尸（4）,P（A）,及尸（B|A），「（用4），尸（川4）,即可求解.

【小問1詳解】

解：在采摘的水仙花球莖中，任取一顆是由甲工作隊(duì)采摘的概率是

4

依題意，J的所有取值為0,1,2,3,且

、3-A

3

所以P(“6，k=0,1,2,3,

7

27279j

即蛇=。）=才%=1）=守32）=#%=3）=互,

所以J的分布列為:

0123

272791

P

64646464

13

所以EC)=3x—=—

44

【小問2詳解】

解：用4，A?,4分別表示水仙花球莖由甲，乙，丙工作隊(duì)采摘，8表示采摘的水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使

用,

則尸（A）=0.25,P（4）=0.35,P（A,）=0.4,

且P（同A）=0.8,P（用4）=0.6,P（B\4）=0.75,

故故砂=P（網(wǎng)）+p（%）+P（即）=p（A）P（51A）+P（4）P（BI&）+p（A）P（BIA）

=0.25x0.8+0.35x0.6+0.4x0.75=0.71,

p（&8）_P（A）P（*4）_0.3_30

所以P(AlB)

P（B）P（B）0.7171

30

即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率為二.

71

2151

同理它是由甲乙工作隊(duì)所采摘的概率為一.，所以是由乙工作隊(duì)或丙工作隊(duì)所采摘的概率一

7171

22

21.已知橢圓/：二+2L=1,如圖所示，A,3為其左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線

43

交直線/：X=