廣西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2024屆數(shù)學高一第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

廣西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2024屆數(shù)學高一第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．2．已知兩個單位向量的夾角為，則下列結論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．3．在，，，是邊上的兩個動點，且，則的取值范圍為()A． B． C． D．4．若實數(shù)滿足,則的大小關系是：A． B． C． D．5．已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．6．在中，若為等邊三角形（兩點在兩側），則當四邊形的面積最大時，（）A． B． C． D．7．同時拋擲三枚硬幣，則拋擲一次時出現(xiàn)兩枚正面一枚反面的概率為（）A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的值域為，且圖象在同一周期內(nèi)過兩點，則的值分別為（）A． B．C． D．10．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.12．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_______.13．函數(shù)，的值域為________14．有一個底面半徑為2，高為2的圓柱，點，分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點或的距離不大于1的概率是________.15．已知向量，則與的夾角是_________.16．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則的最小值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的周期，且滿足，求及的遞增區(qū)間；（2）若，在上的最小值為，求的最小值.19．如圖，某小區(qū)有一塊半徑為米的半圓形空地，開發(fā)商計劃在該空地上征地建一個矩形的花壇和一個等腰三角形的水池EDC，其中為圓心，在圓的直徑上，在半圓周上.（1）設，征地面積為，求的表達式，并寫出定義域；（2）當滿足取得最大值時，建造效果最美觀.試求的最大值，以及相應角的值.20．已知函數(shù)的值域為A，.(1)當?shù)臑榕己瘮?shù)時，求的值；(2)當時,在A上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(3)當時，（其中)，若，且函數(shù)的圖象關于點對稱，在處取得最小值，試探討應該滿足的條件.21．在數(shù)列中，，.（1）分別計算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應的函數(shù)值增加的速度越來越快，結合基本初等函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【題目詳解】對于A：函數(shù)在是單調(diào)遞增，且函數(shù)值增加速度越來越快，將自變量代入，相應的函數(shù)值，比較接近，符合題意，所以正確；對于B：函數(shù)值隨著自變量增加是等速的，不合題意；對于C：函數(shù)值隨著自變量的增加比線性函數(shù)還緩慢，不合題意；選項D：函數(shù)值隨著自變量增加反而減少，不合題意.故選:A.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的選擇和應用問題，解題的關鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎題.2、B【解題分析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點：向量的數(shù)量積；向量的投影；向量的夾角．點評：熟練掌握數(shù)量積的有關性質(zhì)是解決此題的關鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質(zhì)．3、A【解題分析】由題意，可以點為原點，分別以為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則點的坐標分別為，直線的方程為，不妨設點的坐標分別為，，不妨設，由，所以，整理得，則，即，所以當時，有最小值，當時，有最大值.故選A.點睛：此題主要考查了向量數(shù)量積的坐標運算，以及直線方程和兩點間距離的計算等方面的知識與技能，還有坐標法的運用等，屬于中高檔題，也是?？伎键c.根據(jù)題意，把運動（即的位置在變）中不變的因素（）找出來，通過坐標法建立合理的直角坐標系，把點的坐標表示出來，再通過向量的坐標運算，列出式子，討論其最值，從而問題可得解.4、D【解題分析】分析：先解不等式,再根據(jù)不等式性質(zhì)確定的大小關系.詳解：因為,所以,所以選D.點睛：本題考查一元二次不等式解法以及不等式性質(zhì)，考查基本求解能力與運用性質(zhì)解決問題能力.5、B【解題分析】

利用周期公式計算出周期，根據(jù)對稱軸對應的是最值，然后分析單調(diào)減區(qū)間.【題目詳解】因為，若取到最大值，則，即，此時處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時無符合答案；故選：B.【題目點撥】對于正弦型函數(shù)，對稱軸對應的是函數(shù)的最值，這一點值得注意.6、A【解題分析】

求出三角形的面積，求出四邊形的面積，運用三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，求出滿足條件的角的值即可．【題目詳解】設，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，時，四邊形的面積最大，此時．故選A．【題目點撥】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查兩角的和差公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡運算能力，屬于中檔題．7、B【解題分析】

根據(jù)二項分布的概率公式求解.【題目詳解】每枚硬幣正面向上的概率都等于，故恰好有兩枚正面向上的概率為：.故選B.【題目點撥】本題考查二項分布.本題也可根據(jù)古典概型概率計算公式求解.8、D【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知、、成等比數(shù)列,即可得關于的等式,化簡即可得解.【題目詳解】等比數(shù)列的前n項和為,若,,根據(jù)等比數(shù)列前n項和性質(zhì)可知,、、滿足：化簡可得故選：D【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及簡單應用,屬于基礎題.9、C【解題分析】

根據(jù)值域先求，再代入數(shù)據(jù)得到最大值和最小值對應相差得到答案.【題目詳解】函數(shù)的值域為即，圖象在同一周期內(nèi)過兩點故答案選C【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的最大值最小值，周期，意在考查學生對于三角函數(shù)公式和性質(zhì)的靈活運用和計算能力.10、D【解題分析】

化簡函數(shù)可得y＝2sin（2x），把“2x”作為一個整體，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出x的范圍，即是所求函數(shù)的增區(qū)間．【題目詳解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ，kπ]（k∈z），故選D．【題目點撥】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性應用，一般的做法是利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的性質(zhì)進行求解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1．98.【解題分析】

本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．【題目詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點率約為．【題目點撥】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．側重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．12、1【解題分析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結合基本不等式求最值即可.【題目詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當且僅當，即時取等號，故答案為：1.【題目點撥】本題考查了等差中項的運算，重點考查了基本不等式的應用，屬基礎題.13、【解題分析】

先求的值域,再求的值域即可.【題目詳解】因為,故,故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了余弦函數(shù)的值域與反三角函數(shù)的值域等,屬于基礎題型.14、【解題分析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點的距離等于1的點構成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點到點，的距離不大于1的概率；【題目詳解】解：由題意可知，點P到點或的距離都不大于1的點組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉化思想．關鍵是明確滿足題意的測度為體積比．15、【解題分析】

利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【題目詳解】由題知，，因為，所以與的夾角為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎題.16、【解題分析】

用基本量法求出數(shù)列的通項公式，由通項公式可得取最小值時的值，從而得的最小值．【題目詳解】設數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值為．故答案為：．．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前項和的最值．首項為負且遞增的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最小，首項為正且遞減的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最大，當然也可把表示為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識求得最值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）利用向量的數(shù)量積化簡即可得，再根據(jù)，求出的范圍結合圖像即可解決．（2）根據(jù)（1）求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)區(qū)間即可．【題目詳解】解：（1）因為所以，所以，所以（2）解法一：令得因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在，使得，所以有因為，所以所以，又因為，得所以從而有所以，所以解法二：由，得因為所以所以解得又所以【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)在給定區(qū)間是的最值以及根據(jù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)．屬于中等題，解決本題的關鍵是記住正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值等．18、（1），；（2）2.【解題分析】

（1）由函數(shù)的性質(zhì)知，關于直線對稱，又函數(shù)的周期，兩個條件兩個未知數(shù)，列兩個方程，所以可以求出，進而得到的解析式，求出的遞增區(qū)間；（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值．【題目詳解】（1），由知，∴對稱軸∴，又，,由，得，函數(shù)遞增區(qū)間為；（2）由于，在上的最小值為，所以，即，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)解析式、單調(diào)區(qū)間以及最值的求法，特別注意用代入法求單調(diào)區(qū)間時，要考慮復合函數(shù)的單調(diào)性，以免求錯．19、(1)(2)最大值為，此時【解題分析】

（1）連接，在中，求出，進而求出面積以及角的范圍；（2）令，再求出的范圍，轉化為二次函數(shù)即可求出最大值，以及相應角的值.【題目詳解】（1）連接，在中，，（2），令，因為，所以，所以因為在上單調(diào)遞增，所以時有最大值為，此時【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)與實際應用相結合，最終轉化為二次函數(shù)進行求解，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查解決問題的能力、仔細理解題，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.20、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，故，由此可得的值．（2）化簡函數(shù)，求出，化簡，由題意可知：，由此可得的取值范圍．（3）由條件得，再由，，可得．由的圖象關于點，對稱求得，可得．再由的圖象關于直線成軸對稱，所以，可得，，由此求得滿足的條件．【題目詳解】解：（1）因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，得對恒成立，即，所以.（2），即，，由題意可知：得，∴.（3）又∵，，，不妨設，，則，其中，由函數(shù)的圖像關于點對稱，在處取得最小值得，即，故.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和對稱性的綜合應用，屬于中檔題．21、(1),；

(2),證明見解析