2024屆福建省福州市鼓樓區(qū)福州一中數(shù)學高一第二學期期末復習檢測模擬試題含解析

2024屆福建省福州市鼓樓區(qū)福州一中數(shù)學高一第二學期期末復習檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．不等式的解集是A．或 B．或C． D．2．設函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若，，則等于()A． B． C． D．4．點、、、在同一個球的球面上，，.若四面體的體積的最大值為，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．86．在中,,則是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．已知點，為坐標原點，分別在線段上運動，則的周長的最小值為()A． B． C． D．8．若不等式的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖，長方體的體積為，E為棱上的點,且，三棱錐E－BCD的體積為，則=（）A． B． C． D．10．在中，，則此三角形解的情況是()A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知中，，則面積的最大值為_____12．在平面直角坐標系中，點到直線的距離為______.13．若、分別是方程的兩個根，則______.14．關于的不等式，對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______.15．若是方程的解，其中，則________．16．已知數(shù)列{}滿足，若數(shù)列{}單調遞增，數(shù)列{}單調遞減，數(shù)列{}的通項公式為____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個內角的對邊分別為，且，（1）求證：；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.18．渦陽縣某華為手機專賣店對市民進行華為手機認可度的調查，在已購買華為手機的名市民中，隨機抽取名，按年齡（單位：歲）進行統(tǒng)計的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如圖：分組（歲）頻數(shù)合計（1）求頻數(shù)分布表中、的值，并補全頻率分布直方圖；（2）在抽取的這名市民中，從年齡在、內的市民中用分層抽樣的方法抽取人參加華為手機宣傳活動，現(xiàn)從這人中隨機選取人各贈送一部華為手機，求這人中恰有人的年齡在內的概率.19．已知函數(shù)，其中數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（1）若，，分別寫出數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）若是奇函數(shù)，且，求；（3）若函數(shù)的圖像關于點對稱，且當時，函數(shù)取得最小值，求的最小值．20．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統(tǒng)風味小吃某小區(qū)超市銷售一款土筍凍，進價為每個15元，售價為每個20元.銷售的方案是當天進貨，當天銷售,未售出的全部由廠家以每個10元的價格回購處理.根據(jù)該小區(qū)以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)已知該超市某天購進了150個土筍凍，假設當天的需求量為個銷售利潤為元.(i)求關于的函數(shù)關系式;(ii)結合上述頻率分布直方圖，以額率估計概率的思想,估計當天利潤不小于650元的概率.21．如圖，四面體中，，，為的中點.（1）證明：；（2）已知是邊長為2正三角形.（Ⅰ）若為棱的中點，求的大??；（Ⅱ）若為線段上的點，且，求四面體的體積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

把原不等式化簡為，即可求解不等式的解集.【題目詳解】由不等式即，即，得，則不等式的解集為，故選C．【題目點撥】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中把不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉化為幾個代數(shù)式的乘積形式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】

分別解和時條件對應的不等式即可.【題目詳解】①當時，，此時，不合題意；②當時，，可化為即，解得.綜上，的x的取值范圍是.故選：B.【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎題.3、C【解題分析】

直接用向量的坐標運算即可得到答案.【題目詳解】由，.故選：C【題目點撥】本題考查向量的坐標運算，屬于基礎題.4、D【解題分析】

根據(jù)幾何體的特征，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時體積最大，可得與面垂直時體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．【題目詳解】根據(jù)題意知，、、三點均在球心的表面上，且，，，則的外接圓半徑為，的面積為，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時體積最大，所以，當與面垂直時體積最大，最大值為，，設球的半徑為，則在直角中，，即，解得，因此，球的表面積為.故選：D.【題目點撥】本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體體積取最大值，是解答的關鍵．5、D【解題分析】

由已知向量的坐標求出的坐標，再由向量垂直的坐標運算得答案．【題目詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【題目點撥】本題考查平面向量的坐標運算，考查向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．6、C【解題分析】

由二倍角公式可得，，再根據(jù)誘導公式可得，然后利用兩角和與差的余弦公式，即可將化簡成，所以，即可求得答案．【題目詳解】因為，，所以，，即，．故選：C．【題目點撥】本題主要考查利用二倍角公式，兩角和與差的余弦公式進行三角恒等變換，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．7、C【解題分析】

分別求出設關于直線對稱的點，關于對稱的點，當共線時，的周長取得最小值，為，利用兩點間的距離公式，求出答案.【題目詳解】過兩點的直線方程為設關于直線對稱的點，則，解得即，同理可求關于對稱的點，當共線時的周長取得最小值為.故選C．【題目點撥】本題主要考查了點關于直線的對稱性的簡單應用，試題的技巧性較強，屬于中檔題.8、D【解題分析】

對分兩種情況討論分析得解.【題目詳解】當時，不等式為，所以滿足題意；當時，，綜合得.故選：D【題目點撥】本題主要考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、D【解題分析】

分別求出長方體和三棱錐E－BCD的體積，即可求出答案.【題目詳解】由題意，，，則.故選D.【題目點撥】本題考查了長方體與三棱錐的體積的計算，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.10、B【解題分析】由題意知，，，，∴，如圖：∵，∴此三角形的解的情況有2種，故選B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理求得代入化簡，由三角形三邊關系求得，由二次函數(shù)的性質求得取得最大值．【題目詳解】解：設，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理可得，可得：，由三角形三邊關系有：，且，解得：，故當時，取得最大值，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調性和定義域等問題，屬于中檔題．12、2【解題分析】

利用點到直線的距離公式即可得到答案。【題目詳解】由點到直線的距離公式可知點到直線的距離故答案為2【題目點撥】本題主要考查點到直線的距離，熟練掌握公式是解題的關鍵，屬于基礎題。13、【解題分析】

利用韋達定理可求出和的值，然后利用兩角和的正切公式可計算出的值.【題目詳解】由韋達定理得，，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用兩角和的正切公式求值，同時也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，考查計算能力，屬于基礎題.14、或【解題分析】

利用換元法令，則對任意的恒成立，再對分兩種情況討論，令求出函數(shù)的最小值，即可得答案.【題目詳解】令，則對任意的恒成立，（1）當，即時，上式顯然成立；（2）當，即時，令①當時，，顯然不成立，故不成立；②當時，，∴解得：綜上所述：或.故答案為：或.【題目點撥】本題考查含絕對值函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意分段函數(shù)的最值求解.15、或【解題分析】

將代入方程，化簡結合余弦函數(shù)的性質即可求解.【題目詳解】由題意可得：，即所以或又所以或故答案為：或【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)求值問題，屬于基礎題.16、【解題分析】

分別求出{}、{}的通項公式，再統(tǒng)一形式即可得解?！绢}目詳解】解：根據(jù)題意，又單調遞減，{}單調遞減增…①…②①+②,得，故代入，有成立，又…③…④③+④，得，故代入，成立。，綜上，【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列性質的靈活運用，考查了分類思想和運算能力，屬于難題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）由，聯(lián)立，得，然后邊角轉化，利用和差公式化簡，即可得到本題答案；（2）利用正弦定理和，得，再確定角C的范圍，即可得到本題答案.【題目詳解】解：（1）銳角中，，故由余弦定理可得：，，，即，∴利用正弦定理可得：，即，，可得：，∴可得：，或（舍去），.（2），均為銳角，由于：，，.再根據(jù)，可得，，【題目點撥】本題主要考查正余弦定理的綜合應用，其中涉及到利用三角函數(shù)求取值范圍的問題.18、（1），頻率分布直方圖見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)分布直方圖計算出第二個矩形的面積，乘以可得出的值，再由頻數(shù)之和為得出的值，利用頻數(shù)除以樣本容量得出第四個矩形的面積，并計算出第四個矩形的高，于此可補全頻率分布直方圖；（2）先計算出人中年齡在、內的市民人數(shù)分別為、，將年齡在的位市民記為，年齡在的位市民記為、、、，記事件恰有人的年齡在內，列舉出所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可計算出事件的概率.【題目詳解】（1）由頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖可知，解得.頻率分布直方圖中年齡在內的人數(shù)為人，對應的為，所以補全的頻率分布直方圖如下圖所示：（2）由頻數(shù)分布表知，在抽取的人中，年齡在內的市民的人數(shù)為，記為，年齡在內的市民的人數(shù)為，分別記為、、、.從這人中任取人的所有基本事件為：、、、、、、、、、，共個基本事件.記“恰有人的年齡在內”為事件，則所包含的基本事件有個：、、、，所以這人中恰有人的年齡在內的概率為.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖和頻率分布表的應用，同時也考查了古典概型概率公式計算概率，在列舉基本事件時要遵循不重不漏的基本原則，常用的是列舉法，也可以利用樹狀圖來輔助理解，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1），；（2）；（3）1【解題分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式即可求解；(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義得出，化簡得，解方程可得(3)將化成的形式，依題意有，從而得到，因為當時，函數(shù)取得最小值，所以，兩式相減即可求解.【題目詳解】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，；（2）因為，所以即，所以又由，得（3）記，則，其中；因為的圖像關于點對稱，所以①因為當時，函數(shù)取得最小值，所以②②-①得，因為，當，時，取得最小值為0【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的求法、三角函數(shù)的化簡以及正弦型函數(shù)圖像的性質，考查較全面，屬于難題.20、（1）（2）(i)（）；(ii)【解題分析】

(1)設日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數(shù)公式估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)；（2）(i)分類討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【題目詳解】解：（1）設日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)，．（2）（i）當時，；當時，．故（）（ii）由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計概率的思想，估計當天利潤不小于元的概率為．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算和分段函數(shù)解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（1）取中點，連接，通過證明，證得平面，由此證得.（2）（I）通過證明，證得平面，由此證得,利用“直斜邊的中線等于斜邊的一