2024屆北京理工大附中數(shù)學高一下期末聯(lián)考試題含解析

2024屆北京理工大附中數(shù)學高一下期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．10 B．20 C．30 D．602．()A． B． C． D．3．已知向量，且為正實數(shù)，若滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．4．如圖，在圓內(nèi)隨機撒一把豆子，統(tǒng)計落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目，若豆子總數(shù)為n，落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)為m，則圓周率π的估算值是（）A．nmB．2nmC．3n5．某興趣小組合作制作了一個手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側視圖中的圓的半徑為3，則制作該手工制品表面積為（）A． B． C． D．6．如圖，向量，，的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，若，則（）A． B．3 C．1 D．7．在中，，，為的外接圓的圓心，則（）A． B．C． D．8．設在中,角所對的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定9．已知點在第四象限，則角在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知向量，且，則的值為()A．6 B．－6 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓錐的表面積等于，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為__________.12．已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，.則下列命題中正確的有_____．(填序號)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成的角為45°.13．設,則的值是____.14．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則____________.15．已知，，，若，則__________．16．把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象正好關于原點對稱，則的最小值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知平面向量（1）若，求；（2）若，求與夾角的余弦值.18．化簡.19．已知數(shù)列滿足，，.（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和，求證：20．(1)已知，且為第三象限角，求的值(2)已知，計算的值.21．已知向量，，其中為坐標原點.（1）若，求向量與的夾角；（2）若對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由三視圖可知幾何體為四棱錐，利用四棱錐體積公式可求得結果.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體為底面為長為，寬為的長方形，高為的四棱錐四棱錐體積本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)三視圖求解幾何體體積的問題，關鍵是能夠通過三視圖將幾何體還原為四棱錐，從而利用棱錐體積公式來進行求解.2、A【解題分析】

將根據(jù)誘導公式化為后，利用兩角和的正弦公式可得.【題目詳解】.故選：A【題目點撥】本題考查了誘導公式，考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎題.3、A【解題分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積結合基本不等式即可．【題目詳解】由題意得，因為，為正實數(shù)，則當且僅當時取等．所以選擇A【題目點撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積以及基本不等式，在用基本不等式時要滿足一正二定三相等．屬于中等題4、B【解題分析】試題分析：設正方形的邊長為2.則圓的半徑為2，根據(jù)幾何概型的概率公式可以得到mn=4考點：幾何概型.【方法點睛】本題題主要考查“體積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與體積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題題的總體積（總空間)以及事件的體積(事件空間)；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.5、D【解題分析】

由三視圖可知，得到該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，根據(jù)幾何體的表面積公式，即可求解.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，所以幾何體的表面為.選D.【題目點撥】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應公式求解.6、A【解題分析】

根據(jù)圖像，將表示成的線性和形式，由此求得的值，進而求得的值.【題目詳解】根據(jù)圖像可知，所以，故選A.【題目點撥】本小題主要考查平面向量的線性運算，考查平面向量基本定理，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.7、A【解題分析】

利用正弦定理可求出的外接圓半徑.【題目詳解】由正弦定理可得，因此，，故選A.【題目點撥】本題考查利用正弦定理求三角形外接圓的半徑，考查計算能力，屬于基礎題.8、B【解題分析】

利用正弦定理可得，結合三角形內(nèi)角和定理與誘導公式可得，從而可得結果.【題目詳解】因為，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【題目點撥】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9、B【解題分析】

根據(jù)第四象限內(nèi)點的坐標特征，再根據(jù)正弦值、正切值的正負性直接求解即可.【題目詳解】因為點在第四象限，所以有：是第二象限內(nèi)的角.故選：B【題目點撥】本題考查了正弦值、正切值的正負性的判斷，屬于基礎題.10、A【解題分析】

兩向量平行，內(nèi)積等于外積?！绢}目詳解】，所以選A.【題目點撥】本題考查兩向量平行的坐標運算，屬于基礎題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設出底面圓的半徑，用半徑表示出圓錐的母線，再利用表面積，解出半徑?！绢}目詳解】設圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則底面圓面積為，周長為，則解得故填2【題目點撥】本題考查根據(jù)圓錐的表面積求底面圓半徑，屬于基礎題。12、②④【解題分析】

利用題中條件，逐一分析答案，通過排除和篩選，得到正確答案．【題目詳解】∵AD與PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六邊形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，平面PAD平面PAE=PA，∴直線BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．故答案為②④．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，解題時要注意直線與平面成的角、直線與平面垂直的性質的合理運用，屬于中檔題．13、【解題分析】

根據(jù)二倍角公式得出，再根據(jù)誘導公式即可得解．【題目詳解】解：由題意知：故，即．故答案為.【題目點撥】本題考查了二倍角公式和誘導公式的應用，屬于基礎題．14、【解題分析】

根據(jù)求平均數(shù)的公式，得到關于的方程，求得.【題目詳解】由題意得：，解得：，故填：.【題目點撥】本題考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查基本數(shù)據(jù)處理能力.15、-3【解題分析】由可知，解得，16、【解題分析】

根據(jù)條件先求出平移后的函數(shù)表達式為，令即可得解.【題目詳解】由題意可得平移后的函數(shù)表達式為，圖象正好關于原點對稱，即，又，的最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的平移以及三角函數(shù)的圖像與性質，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由題可得，解出，，進而得出答案．（2）由題可得，，再由計算得出答案，【題目詳解】因為，所以，即解得所以（2）若，則所以，，，所以【題目點撥】本題主要考查的向量的模以及數(shù)量積，屬于簡單題．18、【解題分析】

利用誘導公式進行化簡，即可得到答案.【題目詳解】原式.【題目點撥】本題考查誘導公式的應用，考查運算求解能力，求解時注意奇變偶不變，符號看象限這一口訣的應用.19、（1）證明見解析，；（2）見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)遞推關系式可整理出，從而可證得結論；利用等比數(shù)列通項公式首先求解出，再整理出；（2）根據(jù)可求得，從而得到的通項公式，利用裂項相消法求得，從而使問題得證.【題目詳解】（1）由得：即，且數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列數(shù)列的通項公式為：（2）由（1）得：又即：【題目點撥】本題考查利用遞推關系式證明等比數(shù)列、求解等比數(shù)列通項公式、裂項相消法求解數(shù)列前項和的問題，屬于常規(guī)題型.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由，結合為第三象限角，即可得解；（2）由，代入求解即可.【題目詳解】（1）,∴,又∵是第三象限.∴（2）.【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)