七章簡單線性

高考理數

(課標Ⅲ專用)§7.2簡單的線性規(guī)劃五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標卷題組考點簡單的線性規(guī)劃1.(2017課標全國Ⅱ,5,5分)設x,y滿足約束條件

則z=2x+y的最小值是

()A.-15

B.-9

C.1

D.9答案

A本題考查簡單的線性規(guī)劃問題.根據線性約束條件畫出可行域,如圖.作出直線l0:y=-2x.平移直線l0,當經過點A時,目標函數取得最小值.由

得點A的坐標為(-6,-3).∴zmin=2×(-6)+(-3)=-15.故選A.2.(2018課標全國Ⅰ,13,5分)若x,y滿足約束條件

則z=3x+2y的最大值為

.答案6解析本題主要考查簡單的線性規(guī)劃.由x,y所滿足的約束條件畫出對應的可行域(如圖中陰影部分所示).

作出基本直線l0:3x+2y=0,平移直線l0,當經過點A(2,0)時,z取最大值,即zmax=3×2=6.方法總結線性目標函數最值問題的常見類型及解題策略:(1)求線性目標函數的最值.線性目標函數的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,所以

對于一般的線性規(guī)劃問題,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標代入目標函數求出相

應的數值,從而確定目標函數的最值.(2)已知目標函數的最值求參數.求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法有兩種:一是把參數當成

常數用,根據線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解,代入目標函數確定最值,通過構造方程求解

參數的值;二是先分離含有參數的式子,通過觀察確定含參的式子所滿足的條件,確定最優(yōu)解的

位置,從而求出參數.3.(2018課標全國Ⅱ,14,5分)若x,y滿足約束條件

則z=x+y的最大值為

.答案9解析本題考查簡單的線性規(guī)劃.由線性約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示).當直線x+y-z=0經過點A(5,4)時,z=x+y取得最大值,最大值為9.4.(2017課標全國Ⅰ,14,5分)設x,y滿足約束條件

則z=3x-2y的最小值為

.答案-5解析本題考查利用線性規(guī)劃求解最值.由約束條件作出可行域,如圖陰影部分所示.平移直線3x-2y=0可知,目標函數z=3x-2y在A點處取最小值,又由

解得

即A(-1,1),所以zmin=3×(-1)-2×1=-5.5.(2017課標全國Ⅲ,13,5分)若x,y滿足約束條件

則z=3x-4y的最小值為

.答案-1解析本題考查簡單的線性規(guī)劃.畫出約束條件所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示(包括邊界).

可得目標函數z=3x-4y在點A(1,1)處取得最小值,zmin=3×1-4×1=-1.6.(2016課標全國Ⅲ,13,5分)若x,y滿足約束條件

則z=x+y的最大值為

.答案

解析由題意畫出可行域(如圖所示),其中A(-2,-1),B

,C(0,1),由z=x+y知y=-x+z,當直線y=-x+z過點B

時,z取最大值

.

解后反思

解決與線性規(guī)劃有關的最值問題時,一定要注意目標函數的幾何意義:①形如z=

的目標函數的最值問題,可轉化為求可行域內的點(x,y)與點(a,b)連線的斜率的最值問題;②形如z=(x-a)2+(y-b)2的目標函數的最值問題,可轉化為求可行域內的點(x,y)與點(a,b)間距離

的平方的最值問題.評析本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,常用數形結合法求解,理解目標函數z的幾何意義是解

題關鍵.7.(2015課標Ⅰ,15,5分)若x,y滿足約束條件

則

的最大值為

.答案3解析由約束條件畫出可行域,如圖.

的幾何意義是可行域內的點(x,y)與原點O連線的斜率,所以

的最大值即為直線OA的斜率,又由

得點A的坐標為(1,3),則

=kOA=3.8.(2016課標全國Ⅰ,16,5分)某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產

一件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時;生產一件產品B需要甲材料0.5kg,乙材料

0.3kg,用3個工時.生產一件產品A的利潤為2100元,生產一件產品B的利潤為900元.該企業(yè)現

有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產產品A、產品B的利潤之和

的最大值為

元.答案216000解析設生產產品Ax件,產品By件,依題意,得

設生產產品A,產品B的利潤之和為E元,則E=2100x+900y.畫出可行域(圖略),易知最優(yōu)解為

此時Emax=216000.B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點簡單的線性規(guī)劃1.(2019天津,2,5分)設變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=-4x+y的最大值為

(

)A.2

B.3

C.5

D.6答案

C本題主要考查簡單的線性規(guī)劃.通過求線性目標函數的最大值考查學生的運算求

解能力,體現了數形結合的素養(yǎng)要素.作出可行域(如圖中陰影部分),平移直線-4x+y=0可知,目標函數z=-4x+y在點P處取最大值.由

得P(-1,1).∴zmax=-4×(-1)+1=5.故選C.解題反思對于目標函數z=Ax+By,若B>0,則目標直線向上平移時z變大;若B<0,則目標直線向

下平移時z變大.2.(2019北京,5,5分)若x,y滿足|x|≤1-y,且y≥-1,則3x+y的最大值為

()A.-7

B.1

C.5

D.7答案

C本題考查線性規(guī)劃與絕對值不等式;考查學生的運算能力、數形結合思想的應用;

考查的核心素養(yǎng)為直觀想象與數學運算.|x|≤1-y,且y≥-1等價于

表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.令3x+y=z,則y=-3x+z,當z=0時,方程y=-3x+z表示直線l,當直線l向右上方平移時,z逐漸增大,當直

線過點A(2,-1)時,z=3x+y取最大值,為3×2-1=5,故選C.疑難突破解決本題的關鍵是利用絕對值的性質,將|x|≤1-y等價轉化為

3.(2019浙江,3,4分)若實數x,y滿足約束條件

則z=3x+2y的最大值是

()A.-1

B.1

C.10

D.12答案

C本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查學生的運算求解的能力;體現了數學運算的核

心素養(yǎng).根據題意畫出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示),畫出直線l0:3x+2y=0,平移l0可

知,當l0經過點C(2,2)時,z取最大值,即zmax=3×2+2×2=10,故選C.

一題多解根據線性約束條件得出平面區(qū)域為△ABC及其內部(如上圖所示),其中A(-1,1),B(1,

-1),C(2,2),經檢驗,知目標直線經過點C(2,2)時,z取最大值10.故選C.4.(2018天津,2,5分)設變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=3x+5y的最大值為

()A.6

B.19

C.21

D.45答案

C本題主要考查線性目標函數最值的求解.由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示).

作出基本直線l0:3x+5y=0,平移直線l0,當直線經過點A(2,3)時,z取最大值,即zmax=3×2+5×3=21,故

選C.5.(2017北京,4,5分)若x,y滿足

則x+2y的最大值為

()A.1

B.3

C.5

D.9答案

D本題考查簡單的線性規(guī)劃.作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分.令z=x+2y,當z=x+2y過A點時,z取最大值.由

得A(3,3),∴z的最大值為3+2×3=9.故選D.6.(2017天津,2,5分)設變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=x+y的最大值為

()A.

B.1

C.

D.3答案

D本題主要考查簡單的線性規(guī)劃.由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域,如圖陰影部分所示.由z=x+y得y=z-x,當直線y=z-x經過點

(0,3)時,z取最大值3,故選D.

7.(2017浙江,4,4分)若x,y滿足約束條件

則z=x+2y的取值范圍是

()A.[0,6]

B.[0,4]

C.[6,+∞)

D.[4,+∞)答案

D本題考查線性規(guī)劃中可行域的判斷,最優(yōu)解的求法.不等式組形成的可行域如圖所示.平移直線y=-

x,當直線過點A(2,1)時,z有最小值4.顯然z沒有最大值.故選D.

易錯警示1.易把可行域看成是圖中的三角形OAB區(qū)域,而錯選A;同時,又錯認為過點A時,取

到最大值,而錯選B.2.可行域判斷對了,但錯認為過點B時,z有最小值,從而錯選C.8.(2016浙江,3,5分)在平面上,過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影.由區(qū)

域

中的點在直線x+y-2=0上的投影構成的線段記為AB,則|AB|=()A.2

B.4

C.3

D.6答案

C由不等式組畫出可行域,如圖中的陰影部分所示.因為直線x+y-2=0與直線x+y=0平

行,所以可行域內的點在直線x+y-2=0上的投影構成的線段的長|AB|即為|CD|.易得C(2,-2),D(-1,

1),所以|AB|=|CD|=

=3

.故選C.

9.(2016天津,2,5分)設變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=2x+5y的最小值為

(

)A.-4

B.6

C.10

D.17答案

B由線性約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分).

當直線2x+5y-z=0過點A(3,0)時,zmin=2×3+5×0=6,故選B.評析本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,正確畫出可行域是求解的關鍵.10.(2016山東,4,5分)若變量x,y滿足

則x2+y2的最大值是

()A.4

B.9

C.10

D.12答案

C作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分)所示,

x2+y2表示平面區(qū)域內的點到原點的距離的平方,由圖易知平面區(qū)域內的點A(3,-1)到原點的距

離最大,所以x2+y2的最大值是10,故選C.評析本題考查了數形結合的思想方法.利用x2+y2的幾何意義是求解的關鍵.11.(2018浙江,12,6分)若x,y滿足約束條件

則z=x+3y的最小值是

,最大值是

.答案-2;8解析本題考查簡單的線性規(guī)劃.由約束條件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界),如圖.當直線y=-

x+

過點C(4,-2)時,z=x+3y取得最小值-2,過點B(2,2)時,z=x+3y取得最大值8.思路分析(1)作出可行域,并求出頂點坐標;(2)平移直線y=-

x,當在y軸上的截距最小時,z=x+3y取得最小值,當在y軸上的截距最大時,z=x+3y取得最大值.12.(2018北京,12,5分)若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y-x的最小值是

.答案3解析本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題.由x+1≤y≤2x作出可行域,如圖中陰影部分所示.設z=2y-x,則y=

x+

z,當直線y=

x+

z過A(1,2)時,z取得最小值3.

方法總結解決簡單的線性規(guī)劃問題的方法先利用線性約束條件作出可行域,然后利用變形后的目標函數所對應的直線找到最優(yōu)解,從而

求得最值.C組

教師專用題組考點簡單的線性規(guī)劃1.(2017山東,4,5分)已知x,y滿足約束條件

則z=x+2y的最大值是

()A.0

B.2

C.5

D.6答案

C本題考查簡單的線性規(guī)劃.由約束條件畫出可行域,如圖.由z=x+2y得y=-

+

,當直線y=-

+

經過點A時,z取得最大值,由

得A點的坐標為(-3,4).故zmax=-3+2×4=5.故選C.2.(2014課標全國Ⅱ,9,5分)設x,y滿足約束條件

則z=2x-y的最大值為

()A.10

B.8

C.3

D.2答案

B由約束條件得可行域如圖中陰影部分所示.由

得A(5,2).當直線2x-y=z過點A時,z=2x-y取得最大值.其最大值為2×5-2=8.故選B.

方法總結解決線性規(guī)劃問題的一般步驟:①畫出可行域;②根據目標函數的幾何意義確定其

取得最優(yōu)解的點,并求出該點坐標;③求出目標函數的最大值或最小值.3.(2014廣東,3,5分)若變量x,y滿足約束條件

,且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則m-n=

()A.5

B.6

C.7

D.8答案

B畫出可行域如圖所示,

由z=2x+y得y=-2x+z.當直線y=-2x+z經過點A(-1,-1)時,z取得最小值n=-3;當直線y=-2x+z經過點C(2,-1)時,z取得最大值m=3.∴m-n=6,故選B.4.(2014山東,9,5分)已知x,y滿足約束條件

當目標函數z=ax+by(a>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2

時,a2+b2的最小值為

()A.5

B.4

C.

D.2答案

B作出不等式組

表示的平面區(qū)域(如圖中的陰影部分).

由于a>0,b>0,所以目標函數z=ax+by在點A(2,1)處取得最小值,即2a+b=2

.解法一:a2+b2=a2+(2

-2a)2=5a2-8

a+20=(

a-4)2+4≥4,即a2+b2的最小值為4.解法二:

表示坐標原點與直線2a+b=2

上的點之間的距離,故

的最小值為

=2,即a2+b2的最小值為4.5.(2016江蘇,12,5分)已知實數x,y滿足

則x2+y2的取值范圍是

.答案

解析畫出不等式組

表示的可行域如圖:

由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域內的點(x,y)與點(0,0)的距離的平方可得(x2+

y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2=

=

,其中d表示點(0,0)到直線2x+y-2=0的距離,所以x2+y2的取值范圍為

.6.(2015浙江,14,4分)若實數x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是

.答案3解析∵x2+y2≤1,∴6-x-3y>0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,當2x+y-2≥0時,t=x-2y+4.點(x,y)可取區(qū)域Ⅰ

內的點(含邊界).

通過作圖可知,當直線t=x-2y+4過點A

時,t取最小值,∴tmin=

-

+4=3.當2x+y-2<0時,t=8-3x-4y,點(x,y)可取區(qū)域Ⅱ內的點(不含線段AB).通過作圖可知,此時t>8-3×

-4×

=3.綜上,tmin=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.7.(2014湖南,14,5分)若變量x,y滿足約束條件

且z=2x+y的最小值為-6,則k=

.答案-2解析要使不等式組構成一可行域,則k<2,此時,可行域為以A(k,k),B(2,2),C(4-k,k)為頂點的三

角形區(qū)域(包括邊界).從而在點A(k,k)處,z有最小值3k,則3k=-6,得k=-2.三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎題組考點簡單的線性規(guī)劃1.(2019貴州黔東南州聯(lián)考,7)若x,y滿足約束條件

則z=x+3y的最大值為

()A.2

B.8

C.16

D.20答案

D作出x,y滿足約束條件

時所對應的可行域(如圖中陰影),變形目標函數可得y=-

x+

z,平移直線y=-

x可知,當直線經過點A(2,6)時,直線在y軸的截距最大,此時目標函數取最大值,zmax=2+3×6=20,故選D.評析本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,準確作圖是解決問題的關鍵.畫出可行域,利用目標函數

的幾何意義求解最大值即可.2.(2019廣西桂林、梧州、貴港、玉林、崇左、北海聯(lián)考,9)若變量x,y滿足約束條件

則z=12x+3y的最大值為

()A.15

B.30

C.

D.34答案

C畫出不等式組

表示的可行域(圖略),又x∈Z,則當直線z=12x+3y經過點

時,z取得最大值

.故選C.3.(2018貴州遵義第四中學3月月考,9)已知點P的坐標(x,y)滿足不等式組

則z=x2+y2-2x的最小值是

()A.

B.

C.-

D.

-1答案

C畫出可行域如圖所示,z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1,z表示可行域內的點P(x,y)與點Q(1,0)的

距離的平方減1,由圖知,zmin=

-1=

-1=-

.

4.(2017廣西梧州、柳州高三摸底調研)若x,y滿足

則z=2x-y的最小值為

()A.8

B.4

C.-10

D.-12答案

D畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC,如圖,A(4,0),B(-4,4),C

,當x=-4,y=4時,z取得最小值,zmin=-12.

5.(2018云南昆明第一中學一模)若實數x,y滿足不等式組

則x+y的最大值為

.答案9解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖,易知x+y在點A(4,5)處取得最大值9.

6.(2019四川南充第二次適應性考試,13)若x,y滿足約束條件

則z=x+y+5的最大值為

.答案8解析作出可行域如圖,易知,當直線z=x+y+5過點A(1,2)時,目標函數有最大值8.

7.(2019廣西南寧二中、柳州高中第二次聯(lián)考,15)設不等式組

所表示的平面區(qū)域是Ω1,平面區(qū)域Ω2與Ω1關于直線5x-4y-9=0對稱.對于Ω1中的任意點A與Ω2中的任意點B,|AB|的最

小值等于

.答案

解析根據約束條件,畫出滿足約束條件的可行域Ω1(圖略),則當可行域Ω1內點A的坐標為(3,3)

時,點A到對稱軸5x-4y-9=0的距離最近,為

,當A、B關于直線5x-4y-9=0對稱時,|AB|有最小值,為

.8.(2019四川蓉城名校聯(lián)盟第二次聯(lián)考,15)已知x,y滿足不等式組

則z=

-

的取值范圍是

.答案

解析不等式組表示的可行域如圖中△ABC,可求得A(1,2),B(3,1).令t=

,則z=2t-

,而t=

表示可行域中的點與原點連線的斜率,∴

≤t≤2.∵z'=2+

≥0,∴z=2t-

在

上單調遞增,∴

-

≤z≤4-

,即-

≤z≤

.

B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:30分鐘分值:40分一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2017貴州貴陽第一中學適應性考試)已知實數x,y滿足

直線(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0(λ∈R)過定點A(x0,y0),則z=

的取值范圍為

()A.

B.[2,+∞)C.

D.

∪[2,+∞)答案

D由直線(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0可得2x-y+8+λ(x+y+1)=0,由

解得

即直線過定點A(-3,2),所以z=

,可行域如圖,目標函數可視為點A與可行域中的點連線的斜率,∴z∈

∪[2,+∞),故選D.

2.(2019廣西南寧第二次適應性考試,8)已知x,y滿足條件

若z=x+2y的最小值為0,則m=

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

B畫出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略),設可行域的三個頂點分別為A,B,C,則A

,B(m,1-m),C(m,2m),當z=x+2y取得最小值時,直線y=-

x+

經過點B(m,1-m),則m+2(1-m)=0,解得m=2.3.(2018廣西來賓4月月考,8)記不等式組

表示的區(qū)域為Ω,點P的坐標為(x,y).有下面四個命題:p1:?P∈Ω,y≤0;p2:?P∈Ω,

x-y≥2;p3:?P∈Ω,-6≤y≤

;p4:?P∈Ω,

x-y=

.其中的真命題是

()A.p1,p2

B.p1,p3

C.p2,p4

D.p3,p4

答案

A作出區(qū)域Ω,A(4,0).由圖可知,y∈(-∞,0],當z=

x-y經過點A時,z取得最小值2,則

x-y≥2,從而p1,p2是真命題.4.(2019第一次全國大聯(lián)考(課標Ⅲ卷),13)已知不等式組

所表示的平面區(qū)域為Ω,則區(qū)域Ω的外接圓的面積為

.二、填空題(每小題5分,共25分)答案

解析由題意作出區(qū)域Ω,如圖中陰影部分所示.設區(qū)域Ω的三個頂點分別為O,M,N,則M(2,4),N(2,1).易知tan∠MON=

=

,故sin∠MON=

,又MN=3,設△OMN的外接圓的半徑為R,則由正弦定理得

=2R,即R=

,故所求外接圓的面積為π×

=

π.5.(2019貴州凱里中學4月月考,14)當實數x,y滿足

時,1≤ax+y≤4恒成立,則實數a的取值范圍是

.答