位移、速度、加速度

第二節(jié)位移速度加速度第二節(jié)位移、速度、加速度為了與引起物體運動的原因聯(lián)系起來，物理學家引入了位移、速度和加速度等概念來描述運動性質，從而為研究物體的運動規(guī)律奠定基礎。一、位移和路程１、位移

Displacement

設在時刻t質點在A處，它的位矢為r(t)，經過△t時間該質點在B處，此時位矢為r(t+△t)，則質點在△t時間內位置矢量的變化量△r

稱為質點的位移矢量、簡稱位移。

r=r(t+

t)－r(t)

在直角坐標系中:

r=

xi+

yj+

zk２、路程

Distance

圖中所示曲線AB的長度稱為質點經過的路程

s，它是標量。在SI中位移和路程的單位都為米(m)。

r(t)xzyr(t+△t)AB△so△r

二、速度和速率１、平均速度

Average

velocity平均速度v=

r/

t=[r(t+

t)－r(t)]/

t=

x/

ti+

y/

tj+

z/

tk

=vx

i+

vy

j+

vz

k

因為

t是標量，故平均速度v

的方向與

r的方向相同。平均速度的大?。簗v|=(vx2+vy2+vz2)1/2

２、速度

Velocity

瞬時速度、簡稱速度：

v=lim

t→0

r/

t=dr/dt

速度方向為所在點軌跡的切線方向，并指向質點前進的一方在直角坐標系中

v=dx/dti+dy/dt

j+

dz/dt

k

速度分量

vx=dx/dt,vy

=dy/dt,vz

=dz/dt

速度的大?。簗v|=(vx2+vy2+vz2)1/2

３、速率Speed

平均速率：v=

s/

t

速率：v=lim

t→0

s/

t=ds/dt

平均速率和速率是標量，而平均速度和速度是矢量，它們是兩個不同的概念。但在

t趨于0極限情況下，因路程

s和位移大小|r|相等，所以速度的大小和速率相等，即

v=lim

t→0

s

/

t=lim

t→0|

r|/

t=|v|一般說來：v不等于dr/dt，v

也不等于|v

|在SI中，速度和速率的單位均為米/秒(m/s).

例1-2質點沿半徑為R的圓周作勻速率運動，每t秒轉一圈，求在2t時間間隔中，其平均速度的大小與平均速率。解：因質點在

t=2t間隔中轉了二圈，路程

s=4πR，

位移

r=0，所以

|v|=|

r/

t|=0

v=

s/

t=4πR/2t

=2πR/t

三、加速度Acceleration1.平均加速度:a=

v/

t=[(v(t+

t)-v(t)]/

t

它是平行于

v的矢量。2.加速度:a=lim

t→0

v/

t=dv/dt=d2r/dt2

加速度與速度的瞬時變化的方向相同。由于速度是順軌跡曲線彎曲的方向而改變的，故加速度永遠指向曲線凹的方向.在直角坐標中:a=dvx/dti+dvy/dt

j+dvz/dt

k=ax

i+ay

j+az

k

加速度的大?。篴=|a|=(ax2+ay2+az2)1/2

在SI中加速度的單位為米/秒2(m/s2)

例1-2有一質點沿x軸作直線運動為

x(t)=4.5t2-2t3(SI)，試求:(1)第2秒內的平均速度v，(2)第2秒末的速度v，(3)第2秒內經過的路程

s及平均速率v，(4)第2秒末的加速度a。解:(1)vx

=

x/

t=[x(2)-x(1)]/(2-1)=(4.5×22－2×23)－(4.5－2)=-0.5m/s

v=-0.5im/s

(2)vx

=dx/dt

=d(4.5t2-2t3)/dt

=9t－6t2｜t=2

=9×2－6×22

=-6m/s

v=-6im/s

(3)當質點作直線運動發(fā)生來回運動時，必須先求出質點反向運動的時間，即vx

=0時刻，這樣分段考慮才能正確求得一段時間內質點經過的路程。根據(jù)vx

=9t－6t2=0，可求出

t1=0

或t2=1.5s由此可求得質點在第2秒內經過的路程為：

s=|x(1.5)－x(1)|+|x(2.0)－x(1.5)|=2.25(m)

平均速率為:v=

s/

t=2.25/1=2.25(m/s)

vx

=9t-6t2

(4)加速度

ax=dvx/dt

=9-12t|t=2=9-12×2

=-15

(m/s2)

因為加速度與速度方向相同，所以質點在２秒末作加速運動。

３、切向加速度和法向加速度有時我們根據(jù)需要把加速度分解二個分量：(1)切向加速度

Tangentialacceleration

平行于質點運動軌跡的加速度切線分量at(2)法向加速度

Normalacceleration

平行于質點運動軌跡的加速度法線分量an

這樣建立的坐標系稱為

自然坐標系Pv(t)Ono下面我們作詳細分析。

質點作曲線運動時，其速度方向與曲線的切線方向相同。

PQ曲線為一質點的路程，若此質點在P點的速度為v(t)，經過dt時間后質點移到Q點，其速度變?yōu)関(t+dt)。

質點的速度增量dv

可被分解成一沿切線的分量和一沿法線的分量。QPv(t)v(t+dt)Oρdθno

dv

沿切線分量為dt時間內質點的速率改變量dv；若d

為速度在dt時間內轉過的角度，dv

沿法線的分量為

vd

。

設曲線在P點的切向單位矢量為to

，法向的單位矢量為no，則dv可寫成:

dv=dv

to

+vd

nov(t)dvv(t+dt)dvvdθQPv(t)v(t+dt)Oρdθno

因為P點與Q點無限接近，故PQ弧可視為一圓弧的一段，此圓的半徑稱為曲線在P點的曲率半徑。圖中P點與Q點的法線相交于O點，這一交點即為PQ弧的曲率中心。OP或OQ的長度ρ即為曲率半徑。因質點由P點移到Q點費時dt，故PQ弧的長度為vdt，而弧長為ρd，v(t)dvv(t+dt)dvvdθQPv(t)v(t+dt)Oρdθno

dv=dv

to

+vd

no所以vdt=ρd

故d

/dt=v/ρ將上式兩邊除以dt可得質點在P點的加速度

a=dv/dt

=dv/dtto

+vd

/dt

no

=dv/dt

to+

v2/ρno

dv/dt為沿切向分量，故稱為質點的切向加速度at，其值等于速率