材料成型原理課件成形理論基礎(chǔ)

材料成形理論基礎(chǔ)金屬塑性成形力學(xué)基礎(chǔ)華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室聯(lián)系方式鄭瑩辦公地點(diǎn)：材料成形重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室A412室電話：87558193（O）手機(jī)：Email：教材吳樹森，柳玉起.材料成形原理.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008主要參考書陳平昌，朱六妹，李贊.材料成形原理.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2001徐洲，姚壽山.材料加工原理.北京：科學(xué)出版社，2003劉全坤.材料成形基本原理.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005汪大年.金屬塑性成形原理，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1986課程內(nèi)容緒論應(yīng)力分析應(yīng)變分析屈服準(zhǔn)則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）金屬塑性成形問題求解方法緒論金屬塑性成形的優(yōu)點(diǎn)材料結(jié)構(gòu)致密，組織改善，性能提高材料利用率高，流線分布合理，制件強(qiáng)度提高尺寸精度高，可以實(shí)現(xiàn)少、無(wú)切削生產(chǎn)生產(chǎn)效率高，適用于大批量生產(chǎn)緒論塑性成形工藝的分類體積成形鍛造、軋制、擠壓、拉拔……板料（沖壓）成形沖裁、彎曲、拉深……

通常，軋制、拉拔、擠壓是生產(chǎn)型材、板材、管材和線材等金屬材料的加工方法，屬于冶金工業(yè)領(lǐng)域，而鍛造、沖壓則是利用金屬軋材來制造機(jī)器零件的加工方法，屬于機(jī)械制造工業(yè)領(lǐng)域。

體積成形

①鍛造通過金屬體積的轉(zhuǎn)移和分配來進(jìn)行塑性成形

自由鍛：鍛件精度低，生產(chǎn)率不高，適于單件、小批量生產(chǎn)或大型鍛件生產(chǎn)緒論模鍛（開式模鍛、閉式模鍛)：鍛件外形和尺寸精度高，生產(chǎn)率高，適于大批量生產(chǎn)緒論開式模鍛閉式模鍛體積成形

②軋制：使金屬錠料或坯料通過兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軋輥間的直線或異型的特定空間來獲得一定截面形狀的材料，使大截面材料變成了小截面材料，可生產(chǎn)型材、板材等。緒論體積成形

③拉拔：將中等截面坯料拉過有一定形狀的?？讈慝@得小截面材料，可生產(chǎn)棒材、管材和線材。緒論體積成形

④擠壓：將在筒體中的大截面坯料或錠料一端加壓，使金屬?gòu)哪？字袛D出，從而獲得符合?？捉孛嫘螤畹男〗孛娌牧?。在擠壓成形過程中，材料受到較大的三向壓應(yīng)力作用，適于生產(chǎn)低塑性材料的型材和管材。緒論板料成形分離工序(落料、沖孔）成形工序（彎曲、拉深）緒論沖裁拉深金屬塑性成形理論——塑性力學(xué)的發(fā)展

1864，Tresca屈服準(zhǔn)則(最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則)：

當(dāng)材料中一點(diǎn)處的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)就發(fā)生屈服。

1913，VonMises屈服準(zhǔn)則(能量準(zhǔn)則）：

當(dāng)單位體積的彈性形變能達(dá)到某一常數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)就發(fā)生屈服。

1948，Hill各向異性屈服準(zhǔn)則緒論金屬塑性成形問題的求解方法

主應(yīng)力法滑移線法上限法有限元法緒論緒論金屬塑性成形問題的求解方法

主應(yīng)力法（初等解析法）從塑性變形體的應(yīng)力邊界條件出發(fā)，建立簡(jiǎn)化的平衡方程和屈服條件，并聯(lián)立求解，得出邊界上的正應(yīng)力和變形的力能參數(shù)，不考慮變形體內(nèi)的應(yīng)變狀態(tài)。緒論金屬塑性成形問題的求解方法

滑移線法假設(shè)材料為剛塑性體，在平面變形狀態(tài)下，塑性變形區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)存在兩族正交的滑移線族，結(jié)合邊界條件可解出滑移線場(chǎng)和速度場(chǎng)，從而求出塑性變形區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)和瞬時(shí)流動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算出力能參數(shù)。緒論金屬塑性成形問題的求解方法

上限法

從變形體的速度邊界條件出發(fā)，對(duì)塑性變形區(qū)取較大的單元，根據(jù)極值原理，求出塑性變形能為極小值時(shí)滿足變形連續(xù)條件和體積不變條件時(shí)的動(dòng)可容速度場(chǎng)，計(jì)算出力能參數(shù)，不考慮塑性變形區(qū)的應(yīng)力狀態(tài)是否滿足平衡方程。緒論金屬塑性成形問題的求解方法

有限元法將連續(xù)體離散為有限個(gè)單元的組合體，單元之間用節(jié)點(diǎn)連接，在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)即插值函數(shù)來分片表示系統(tǒng)的求解場(chǎng)函數(shù)，插值函數(shù)由節(jié)點(diǎn)值確定，單元之間的作用由節(jié)點(diǎn)傳遞，建立物理方程，對(duì)全部單元的組合體進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可求出變形體內(nèi)的應(yīng)變、應(yīng)力等場(chǎng)變量以及力能參數(shù)。發(fā)展前景

超大、超小、高精尖、高度集成緒論金屬壓力加工金屬壓力加工金屬壓力加工金屬壓力加工金屬壓力加工金屬壓力加工汽車制造汽車制造波音777組裝材料成形問題的復(fù)雜性非線性□幾何非線性□物理非線性□狀態(tài)非線性多物理場(chǎng)耦合□變形□熱傳導(dǎo)模具和工藝的復(fù)雜性□復(fù)雜幾何形狀□多工序材料組織性能變化□相變、再結(jié)晶□織構(gòu)□損傷主要分類板料成形模擬體積成形模擬主要方法彈塑性有限元法剛塑性有限元法無(wú)網(wǎng)格法材料成形計(jì)算機(jī)模擬汽車覆蓋件沖壓成形過程模擬板料液壓成形過程模擬彎管成形過程模擬五金級(jí)進(jìn)模零件成形過程模擬金屬鍛造成形過程模擬金屬拉拔成形過程模擬……..材料成形計(jì)算機(jī)模擬應(yīng)用材料成形計(jì)算機(jī)模擬應(yīng)用材料成形計(jì)算機(jī)模擬應(yīng)用金屬塑性成形基本假設(shè)各向同性的均勻連續(xù)體體積力為零變形體在表面力作用下處于平衡狀態(tài)初始應(yīng)力為零體積不變

由于金屬塑性成形非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)與力學(xué)的處理非常困難，因此需要做一些假設(shè)和近似處理：各向同性的均勻連續(xù)體假設(shè)材料是連續(xù)的，即在材料內(nèi)不存在任何缺陷；假設(shè)材料各質(zhì)點(diǎn)的組織、化學(xué)成分相同；假設(shè)材料在各方向上的物理性能和力學(xué)性能相同；金屬塑性成形基本假設(shè)體積力為零成形過程中的外力可分為兩類：表面力和體積力；表面力：集中力、分布載荷；體積力是作用在物體質(zhì)點(diǎn)上的力，與物體的質(zhì)量成正比，例如重力、磁力和慣性力等等；對(duì)于塑性成形來說，除了高速錘鍛造、爆炸成形等少數(shù)情況，體積力相對(duì)于表面力很小，可以忽略不計(jì)；金屬塑性成形基本假設(shè)變形體在表面力作用下處于平衡狀態(tài)材料成形時(shí)模具和零件處于平衡狀態(tài)；如果零件劃分為有限個(gè)單元體，每個(gè)單元體仍處于平衡狀態(tài)；作用于整體和每個(gè)單元體上的外力系的矢量和為零，外力系對(duì)任一點(diǎn)的總力矩也為零；金屬塑性成形基本假設(shè)初始應(yīng)力為零內(nèi)力是由于材料受外力作用而產(chǎn)生的，內(nèi)力的變化達(dá)到一定程度就會(huì)使材料產(chǎn)生塑性變形；課程內(nèi)容主要考慮金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形；金屬塑性成形基本假設(shè)體積不變彈性變形時(shí)，體積變化必須考慮；塑性變形時(shí)，體積雖有微小變化，但與塑性變形量相比很小，可以忽略不計(jì)，因此，一般假設(shè)金屬在塑性變形前后的體積保持不變；金屬塑性成形基本假設(shè)應(yīng)力的概念內(nèi)力：因外力作用而在物體內(nèi)部產(chǎn)生的力內(nèi)力的特點(diǎn)：

1.隨外力的變化而變化，是“附加內(nèi)力”

2.內(nèi)力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示應(yīng)力：?jiǎn)挝幻娣e上的內(nèi)力應(yīng)力表示內(nèi)力的強(qiáng)度，作用于物體質(zhì)點(diǎn)之間應(yīng)力概念應(yīng)力狀態(tài)：物體內(nèi)一點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力狀況研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，就是建立該點(diǎn)不同方向的截面上的不同應(yīng)力的表達(dá)方式和相互間的聯(lián)系；目的：對(duì)于確定物體處于彈性或塑性階段的強(qiáng)度問題或屈服條件問題都很重要，是建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度準(zhǔn)則和屈服條件所必須的基礎(chǔ)知識(shí)

應(yīng)力概念假設(shè)

A為任意微元截面，

P為截面上的作用力，則

A截面的應(yīng)力向量p應(yīng)力定義p

M

FA

A

P在空間直角坐標(biāo)系中，將全應(yīng)力p向三個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行投影，也可得到三個(gè)應(yīng)力分量，即一個(gè)正應(yīng)力和二個(gè)剪應(yīng)力p也稱為全應(yīng)力向量，可分解為垂直于截面的正應(yīng)力和平行于截面的剪應(yīng)力，從而有

應(yīng)力狀態(tài)表示應(yīng)力狀態(tài)一般用單元體表示單元體：材料內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)，是包圍質(zhì)點(diǎn)的無(wú)限小的幾何體，常用的是正六面體sxyzs

xsz

ytxytyx單元體的性質(zhì)任一面上，應(yīng)力均布平行面上，應(yīng)力相等應(yīng)力定義在直角坐標(biāo)系中，假設(shè)有一承受任意力系的變形體，過變形體內(nèi)任意一點(diǎn)切取一個(gè)其棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸的微小六面體作為單元體。在單元體的互相垂直的微分面上的全應(yīng)力都可以按坐標(biāo)軸方向分解成一個(gè)正應(yīng)力和二個(gè)剪應(yīng)力分量，這樣，在三個(gè)互相垂直的微分面上就有三個(gè)正應(yīng)力分量和六個(gè)剪應(yīng)力分量，這九個(gè)應(yīng)力分量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力定義應(yīng)力分量xyz

x

xy

yx

z

y

xz

zx

zy

yz

yz

y

yx

x

y

z

xy

yx

yz

zy

zx

xz三個(gè)正應(yīng)力分量六個(gè)剪應(yīng)力分量應(yīng)力定義應(yīng)力分量符號(hào)規(guī)定：兩個(gè)下角標(biāo)相同的是正應(yīng)力分量，如

xx表示x面上平行于x軸的正應(yīng)力分量，可簡(jiǎn)寫為

x；兩個(gè)下角標(biāo)不同的是剪應(yīng)力分量，如

xy表示x面上平行于y軸的剪應(yīng)力分量。將九個(gè)應(yīng)力分量寫成矩陣的形式為應(yīng)力定義作用在x面上作用在y面上作用在z面上作用方向?yàn)閦

作用方向?yàn)閥作用方向?yàn)閤應(yīng)力分量有正、負(fù)號(hào)，確定方法為：?jiǎn)卧w的外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面。在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，指向相反方向的取負(fù)號(hào)。負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，正應(yīng)力分量以拉為正，以壓為負(fù)。

應(yīng)力定義剪應(yīng)力互等定理假設(shè)單元體處于平衡狀態(tài)，則繞單元體各軸的合力矩一定為零，則過一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對(duì)或相離xyz

xy

yx

x

z

y

xz

zx

zy

yz應(yīng)力定義由剪應(yīng)力互等定理可知，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)中的9個(gè)應(yīng)力分量只有6個(gè)是互相獨(dú)立的，即

應(yīng)力定義直角坐標(biāo)系中斜截面上的應(yīng)力xyz

x

xy

yx

z

y

xz

zx

zy

yzOABCABCxyzO斜面上的應(yīng)力

y

yx

yz

z

zy

zx

xy

xz

xpxpypzNpxABCyzO

y

yx

yz

z

zy

zx

xy

xz

xpxpypzNp斜面上的應(yīng)力l=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)斜截面外法線單位向量N=(l

m

n)S

ABC=SS

OBC=lSS

OAC=mSS

OAB=nS斜截面四面體的表面積分別為四面體處于平衡狀態(tài)，則斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力ABCxyzO

y

yx

yz

z

zy

zx

xy

xz

xpxpypzNp斜面上的應(yīng)力全應(yīng)力斜面上的正應(yīng)力

為全應(yīng)力p在法線N方向的投影，它等于在N方向上的投影之和，即斜面上的剪應(yīng)力為

由上述可知，已知過一點(diǎn)的三個(gè)正交微分面上9個(gè)應(yīng)力分量，可以求出過該點(diǎn)任意方向微分面上的應(yīng)力，也就是說，這9個(gè)應(yīng)力分量可以全面表示該點(diǎn)應(yīng)力狀況，亦即可以確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。斜面上的應(yīng)力如果質(zhì)點(diǎn)處于受力物體的邊界上，則斜面ABC即為變形體的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐標(biāo)軸的分量為Tx、Ty、Tz，則有應(yīng)力邊界條件

斜面上的應(yīng)力主平面當(dāng)外法向單位矢量v在某方向時(shí)，全應(yīng)力矢量垂直于ABC平面，且在該面上的剪應(yīng)力為零。主平面的法向稱為應(yīng)力主方向或應(yīng)力主軸。ABCxyzOpxpypzvp=v主應(yīng)力作用在主平面上的法向應(yīng)力，即主平面上的正應(yīng)力。斜面上的應(yīng)力在主平面上，主應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為如果

v為主應(yīng)力，單位向量v=(l

m

n)，則x、y、z坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量分別為px、py、pz斜面上的應(yīng)力由于，因此l、m、n不同時(shí)為零則三元齊次方程組的系數(shù)行列式一定等于零展開行列式，整理后得斜面上的應(yīng)力令上式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程，它有三個(gè)實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力，用

1、

2、

3表示。斜面上的應(yīng)力則有對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，主應(yīng)力只有一組值，即主應(yīng)力具有單值性。因此，I1、I2、I3應(yīng)是單值的，不隨坐標(biāo)系而變。I1、I2、I3稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。斜面上的應(yīng)力取三個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，用1、2、3代替x、y、z，則應(yīng)力矩陣可寫為斜面上的應(yīng)力在主軸坐標(biāo)系中，斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為應(yīng)力張量的三個(gè)不變量為應(yīng)力橢球面在主軸坐標(biāo)系，設(shè)任意斜切面上全應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的三個(gè)分量為p1、p2、p3，則有斜面上的應(yīng)力考慮到可得應(yīng)力橢球面表示的是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在任意斜切面上的全應(yīng)力矢量p端點(diǎn)的軌跡，其主半軸的長(zhǎng)度分別等于

1、

2、

3?？梢钥吹?，三個(gè)主應(yīng)力中的最大者和最小者就是一點(diǎn)所有方向的應(yīng)力中的最大者和最小者。斜面上的應(yīng)力123

1

2

3p2p1p3p斜面上的應(yīng)力根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的特點(diǎn)可區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)：

●單向應(yīng)力狀態(tài)：在三個(gè)主應(yīng)力中，有兩個(gè)為零，如單向拉伸；

●兩向應(yīng)力狀態(tài)：在三個(gè)主應(yīng)力中，有一個(gè)為零，如彎曲、扭轉(zhuǎn)，板料成形等；

●三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零，如鍛造、軋鋼等；●球應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都相等，應(yīng)力橢球面變成了球面，所有方向都沒有剪應(yīng)力，都是主方向，所有方向的應(yīng)力都相等?！駡A柱形應(yīng)力狀態(tài)：在三個(gè)主應(yīng)力中，有兩個(gè)相等，單向應(yīng)力也屬于這種狀態(tài)，如設(shè)，則與

1軸垂直的所有方向都是主方向，這些方向上的主應(yīng)力都相等；斜面上的應(yīng)力例題設(shè)某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試求其主應(yīng)力及主方向（應(yīng)力單位：10N/mm2)某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)xyzo126135234斜面上的應(yīng)力圖中所示的應(yīng)力張量為將各分量代入應(yīng)力張量不變量的表達(dá)式可得斜面上的應(yīng)力將I1、I2、I3代入應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，得分解因式解得斜面上的應(yīng)力為求主方向，可組建方程組將解得的三個(gè)主應(yīng)力值逐次代入上式，并聯(lián)解方程組，得到三個(gè)主方向的方向余弦為斜面上的應(yīng)力求得的主應(yīng)力及主方向示意圖主應(yīng)力和主方向xyzo294.7331.271斜面上的應(yīng)力主剪應(yīng)力實(shí)際上，主方向就是正應(yīng)力有極值的方向，主應(yīng)力就是極值。剪應(yīng)力同樣隨斜面的方位而改變，一般把剪應(yīng)力有極值的平面稱為主剪應(yīng)力平面，面上作用的剪應(yīng)力稱為主剪應(yīng)力。在主軸空間中，垂直一個(gè)主平面而與另兩個(gè)主平面交角為45°的平面就是主剪應(yīng)力平面。該面上的主剪應(yīng)力為

主剪應(yīng)力平面圖

斜面上的應(yīng)力a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

主剪應(yīng)力角標(biāo)表示與主剪應(yīng)力平面呈45°相交的兩主平面的編號(hào)。三個(gè)主剪應(yīng)力平面也是互相正交。主剪應(yīng)力中絕對(duì)值最大的一個(gè)，即一點(diǎn)所有方向切面上剪應(yīng)力的最大者，稱為最大剪應(yīng)力，用表示。設(shè)三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系為，則

斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力1245°

應(yīng)注意到，每對(duì)主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力都是相等的。應(yīng)力張量及分解應(yīng)力張量張量：與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)的集合。當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，集合的形式不改變應(yīng)力張量表示為

xy＝

yx

yz＝

zy

zx＝

xz在塑性成形理論中，應(yīng)力、應(yīng)變、力、速度等物理量都是張量i

＝

1，3；

j

＝

1，3平均應(yīng)力

m

m叫平均應(yīng)力，是不變量，與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)。應(yīng)力張量及分解設(shè)

m為三個(gè)正應(yīng)力的平均值，即應(yīng)力張量及分解上式中的后一項(xiàng)表示球應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力球張量。在球應(yīng)力狀態(tài)下，任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，所以

m可看成是一種靜水應(yīng)力。由于球應(yīng)力狀態(tài)在任何切面上都沒有剪應(yīng)力，所以不能引起物體形狀改變，只是引起體積改變。應(yīng)力偏張量

稱為應(yīng)力偏張量，它是一個(gè)對(duì)稱張量應(yīng)力張量及分解應(yīng)力偏張量與材料形狀變化有關(guān)，即與塑性變形有關(guān)應(yīng)力偏張量有三個(gè)不變量，即應(yīng)力張量及分解應(yīng)力張量及分解對(duì)于主軸坐標(biāo)系，有八面體應(yīng)力在物體內(nèi)任意一點(diǎn)建立應(yīng)力主軸系，圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)作等傾斜面，面的法線與三根坐標(biāo)軸的夾角都相等，則坐標(biāo)空間八個(gè)象限的等傾斜面形成一個(gè)正八面體，這樣的斜面叫八面體平面，其上的應(yīng)力叫八面體應(yīng)力。八面體平面的方向余弦為八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力αβγ

Q

123

123

八面體和八面體平面八面體應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力在任意坐標(biāo)系中為

在任意坐標(biāo)系中，等效應(yīng)力定義為

八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力等效應(yīng)力在力學(xué)分析中，材料的各種極限值通常是在單向拉伸、壓縮試驗(yàn)中測(cè)出的。為了使塑性變形中的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)能與這些極限值相比較，人們引人“等效應(yīng)力”的概念，把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值。在主軸坐標(biāo)系中，等效應(yīng)力定義為

等效應(yīng)力是一個(gè)不變量，稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度，它不能在特定微分平面上表示出來，但可以在一定意義上“代表”整個(gè)應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量部分，因而與材料的塑性變形密切有關(guān)。八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)則有應(yīng)力平衡微分方程正交直角坐標(biāo)系一般認(rèn)為，應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即應(yīng)力分量

x、

y、

z、

xy、

yx、

yz、

zy、

zx、

xz為點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z）的連續(xù)函數(shù)體力分量為：fx

、fy

、fz單元體處于平衡狀態(tài)應(yīng)力平衡微分方程設(shè)受力物體中有一點(diǎn)Q，坐標(biāo)為x、

y、

z，在Q點(diǎn)的無(wú)限鄰近處有一點(diǎn)Q’，坐標(biāo)為x+dx、y+dy、z+dz，在Q和Q’點(diǎn)間形成一個(gè)邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的平行六面體。由于坐標(biāo)的微量變化，Q’點(diǎn)的應(yīng)力要比Q點(diǎn)的應(yīng)力增加一個(gè)微量。設(shè)Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為應(yīng)力平衡微分方程在Q’點(diǎn)的x面上，由于坐標(biāo)的變化，其正應(yīng)力分量將為

應(yīng)力平衡微分方程Q’點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以寫為xyzsx

xz

xysy

yx

yzsz

zx

zydxdydz應(yīng)力平衡微分方程Q

Q’

單元體六個(gè)面上的應(yīng)力分量圖

由于單元體處于平衡狀態(tài)應(yīng)力平衡微分方程單元體的應(yīng)力平衡微分方程忽略體力fx

、fy

、fz應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力平衡微分方程平面應(yīng)力狀態(tài)的基本特征

1）物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在與某一方向垂直的平面上都沒有應(yīng)力，如取該方向?yàn)樽鴺?biāo)的z軸，則有

z＝

zx＝

zy＝0。z向必為主方向，所有質(zhì)點(diǎn)都是兩向應(yīng)力狀態(tài)；

2)各應(yīng)力分量都與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，整個(gè)物體的應(yīng)力分布可以在xy坐標(biāo)平面上表示出來。平面應(yīng)力狀態(tài)

梁的彎曲，薄壁管扭轉(zhuǎn)，薄壁容器承受內(nèi)壓或板料拉延成形（壁厚或板厚方向的應(yīng)力相對(duì)較小，可忽略）

應(yīng)力平衡微分方程“純剪”應(yīng)力狀態(tài)

兩向應(yīng)力狀態(tài)，在主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力為零。例如：棒料或管料的小變形扭轉(zhuǎn)。

12τ

τ

平面應(yīng)力問題的平衡微分方程xysx

xysy

yxfxfy應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力平衡微分方程軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)在塑性成形中經(jīng)常遇到旋轉(zhuǎn)體。當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力為對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸的分布力而且沒有周向力時(shí)，則物體內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)就處于軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)。此時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的每個(gè)子午面都始終保持平面，而且各子午面之間的夾角始終不變。用圓柱坐標(biāo)表示單元體應(yīng)力狀態(tài)，其一般的應(yīng)力張量為：圓柱坐標(biāo)系下的單元體及應(yīng)力狀態(tài)rdqdrdzsrtrqtrztqrtqzsqxyzorqdrdzdq應(yīng)力平衡微分方程軸對(duì)稱問題用圓柱坐標(biāo)表示的平衡微分方程的一般形式為應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力平衡微分方程軸對(duì)稱狀態(tài)時(shí)的平衡微分方程由于子午面在變形過程中始終不會(huì)扭曲，軸對(duì)稱狀態(tài)具有以下特點(diǎn)：

1）在θ面上沒有剪應(yīng)力，即

rθ＝

θ

z

＝0，

θ是一個(gè)主應(yīng)力；

2）各應(yīng)力分量與θ坐標(biāo)無(wú)關(guān)，對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)都為零。因此有應(yīng)力平衡微分方程軸對(duì)稱問題用球坐標(biāo)表示單元體應(yīng)力狀態(tài)，其一般的應(yīng)力張量為：應(yīng)力平衡微分方程球坐標(biāo)系下的單元體及應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力平衡微分方程軸對(duì)稱問題用球坐標(biāo)表示的平衡微分方程的一般形式為應(yīng)力平衡微分方程軸對(duì)稱狀態(tài)時(shí)，

θ

r＝

θ

φ

＝0，各應(yīng)力分量對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)都為零，其平衡微分方程為位移變形體內(nèi)一質(zhì)點(diǎn)在變形前后的位置移動(dòng)了一定距離，即產(chǎn)生了位移。位移是矢量，在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)M（x,y,z）的位移矢量可用其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影即位移分量ux、uy

、uz來表示。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有一階偏導(dǎo)數(shù)，即應(yīng)變定義應(yīng)變定義變形

物體中各點(diǎn)位移不同而致使各點(diǎn)相對(duì)位置發(fā)生變化的表現(xiàn)。

變形單元體

當(dāng)單元體切取得極小時(shí)，可以認(rèn)為它的變形是均勻變形，物體內(nèi)原來的直線和平面在變形后仍然是直線和平面，原來相互平行的直線和平面仍將保持平行。應(yīng)變定義小變形物體在外力作用下產(chǎn)生變形，與本身幾何尺寸相比是非常小的量（一般不超過10-2數(shù)量級(jí)），這種變形稱做小變形。在小變形分析中，變形量的二次微量可以忽略，分析起來比較簡(jiǎn)單直觀，是大變形分析的基礎(chǔ)，因此本章只討論小變形分析。MM'NN'rr+δr應(yīng)變定義線應(yīng)變（正應(yīng)變）線應(yīng)變分量應(yīng)變定義角應(yīng)變（剪應(yīng)變）MNLxy角應(yīng)變分量M'N'L'

yx

xy角應(yīng)變的意義：γxy表示x方向的線元向y方向偏轉(zhuǎn)的角度應(yīng)變應(yīng)變定義線應(yīng)變（正應(yīng)變）表示線長(zhǎng)度的相對(duì)伸長(zhǎng)或縮短量。伸長(zhǎng)為正值，縮短為負(fù)值角應(yīng)變（剪應(yīng)變）表示角度變化的量。角度減小為正值，角度增加為負(fù)值應(yīng)變下標(biāo)的意義第一個(gè)下標(biāo)表示線元的方向，第二個(gè)下標(biāo)表示線元變形的方向?？疾熘苯亲鴺?biāo)系中一邊長(zhǎng)分別為rx、ry和rz、表面和坐標(biāo)面平行的微元六面體PABC—DEFG，小變形后成為一斜平行六面體P1A1B1C1—D1E1F1G1

。

應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量單元體同時(shí)發(fā)生了線變形、剪變形、剛性平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)單元體先平移至變形后的位置，然后再發(fā)生變形，其變形可以分解為應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量在x、y、z方向上，線元的長(zhǎng)度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為

應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量在x面、y面和z面內(nèi)，單元體發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，其剪應(yīng)變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)的三個(gè)互相垂直方向上的9個(gè)應(yīng)變分量確定了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。已知這9個(gè)應(yīng)變分量，可以求出給定任意方向上的應(yīng)變，這表明對(duì)應(yīng)不同坐標(biāo)系的應(yīng)變分量之間有確定的變換關(guān)系。這9個(gè)應(yīng)變分量組成一個(gè)應(yīng)變張量，由于γij=γji

，故應(yīng)變張量是二階對(duì)稱張量，可用εij表示為

應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量或應(yīng)變張量的性質(zhì)

應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量存在三個(gè)互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無(wú)剪應(yīng)變。用ε1、ε2

、ε3表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量應(yīng)變狀態(tài)特征方程

存在三個(gè)應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3

應(yīng)指出，塑性變形時(shí)體積不變，故I1＝0應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量在與主應(yīng)變方向成45°方向上存在主剪應(yīng)變，其大小為若，則最大剪應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量應(yīng)變張量的分解設(shè)三個(gè)正應(yīng)變分量的平均值為εm，即則

式中，第一項(xiàng)為應(yīng)變偏張量，表示單元體的形狀變化；第二項(xiàng)為應(yīng)變球張量，表示單元體的體積變化。塑性變形時(shí)體積不變，εm

＝0，應(yīng)變偏張量就是應(yīng)變張量。應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變●以應(yīng)變主軸為坐標(biāo)軸，可作出八面體，八面體平面法線方向的線元的應(yīng)變叫做八面體應(yīng)變應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量●將八面體剪應(yīng)變?chǔ)?

乘以系數(shù)，可得等效應(yīng)變（廣義應(yīng)變、應(yīng)變強(qiáng)度）

等效應(yīng)變是一個(gè)不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到。應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量

單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，主應(yīng)變?yōu)棣?、ε2=ε3

。考慮塑性變形，有

因而

所以●單向應(yīng)力狀態(tài)的等效應(yīng)變物體變形后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了位移，并因此而產(chǎn)生應(yīng)變。位移場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)都是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，因而可以用位移表示應(yīng)變。

應(yīng)變幾何方程應(yīng)變幾何方程設(shè)單元體棱邊長(zhǎng)度分別為dx、dy、dz，它在xOy平面上的投影為abdc，變形后的投影移至a1b1d1c1，a點(diǎn)變形后移到a1點(diǎn)后，所產(chǎn)生的位移分量為u、v，則b點(diǎn)和c點(diǎn)的位移增量為

應(yīng)變幾何方程根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，可以求出棱邊ac(dx)在x方向的線應(yīng)變?chǔ)舩為

應(yīng)變幾何方程棱邊ab(dy)在y方向的線應(yīng)變?chǔ)舮為

由圖中的幾何關(guān)系可得

應(yīng)變幾何方程因?yàn)閼?yīng)變幾何方程其值遠(yuǎn)小于1，所以有

同理，有則有應(yīng)變幾何方程剪應(yīng)變?yōu)榘凑胀瑯拥姆椒ǎ蓡卧w在yOz和zOx坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系，得其余應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，綜合在一起為

應(yīng)變幾何方程上述六個(gè)方程表示小變形時(shí)位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，是由變形幾何關(guān)系得到的，稱為小應(yīng)變幾何方程，也叫柯西幾何方程。如果物體中的位移場(chǎng)已知，則可由上述小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場(chǎng)。應(yīng)變幾何方程應(yīng)變連續(xù)方程要保證變形體的連續(xù)性，六個(gè)應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足一定的關(guān)系，即應(yīng)變連續(xù)方程（應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、幾何相容條件）。在x－y坐標(biāo)平面內(nèi)，將幾何方程式中的εx、εy分別對(duì)y、x求兩次偏導(dǎo)數(shù)，可得

應(yīng)變連續(xù)方程兩式相加，可得

同理可得另外兩式，連同上式，有應(yīng)變連續(xù)方程上式表示了在每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量之間的關(guān)系。將應(yīng)變幾何方程中的三個(gè)剪應(yīng)變等式分別對(duì)

x、y、z求偏導(dǎo)，得應(yīng)變連續(xù)方程將前兩式相加后減去第三式，得再將上式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得

應(yīng)變連續(xù)方程同理可得另外兩式，連同上式，有上式表示了不同平面中應(yīng)變分量之間的關(guān)系。應(yīng)變連續(xù)方程

上述兩個(gè)方程統(tǒng)稱為變形連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，它的物理意義為：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的。否則，變形后會(huì)出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，變形體的連續(xù)性遭到破壞。

還應(yīng)指出，如果已知一點(diǎn)的位移分量ui(i=1,2,3)，則由幾何方程求得的應(yīng)變分量εij

(i=1,2,3;j=1,2,3)

自然滿足連續(xù)方程。但如果先用其他方法求得應(yīng)變分量，則只有滿足上述應(yīng)變連續(xù)方程，才能由幾何方程求得正確的位移分量。

應(yīng)變連續(xù)方程塑性變形體積不變條件小變形時(shí)，可以認(rèn)為只有正應(yīng)變引起邊長(zhǎng)和體積的變化，而剪應(yīng)變所引起的邊長(zhǎng)和體積的變化是高階微量，可以忽略不計(jì)。設(shè)單元體的初始邊長(zhǎng)為dx、dy、dz，則變形前的體積為

塑性變形體積不變條件單元體體積的變化（單位體積變化率）為

變形后的體積為

塑性變形體積不變條件實(shí)驗(yàn)指出，金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形時(shí)，其所產(chǎn)生的體積變形是彈性的，當(dāng)外力去除之后，體積變形恢復(fù)，沒有殘余的體積變形，并且這種彈性的體積改變是很小的，例如彈簧鋼在一萬(wàn)個(gè)大氣壓下體積縮小2.2%。因此，對(duì)于一般應(yīng)力狀態(tài)下的變形體，在塑性變形前后的體積變化是可以忽略的。即

上式稱為體積不變條件。塑性變形體積不變條件同理，用應(yīng)變?cè)隽勘硎镜捏w積不變條件為用應(yīng)變速率表示的體積不變條件為

體積不變條件表明，塑性變形時(shí)三個(gè)正應(yīng)變之和等于零，說明三個(gè)正應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)。

全量應(yīng)變?nèi)繎?yīng)變?nèi)繎?yīng)變的大小與變形途徑有關(guān)，只有知道了變形途徑，才能確定全量應(yīng)變的大小。如果質(zhì)點(diǎn)曾有過幾次變形，全量應(yīng)變是歷次變形疊加的結(jié)果。塑性變形是不可恢復(fù)的，單元體每經(jīng)過一次加載產(chǎn)生的塑性變形在卸載之后仍然保留下來，并作為下一次加載時(shí)的初始狀態(tài)，因此，變形結(jié)束時(shí)的全量應(yīng)變不一定取決于當(dāng)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。反映單元體在某一變形過程或變形過程的某個(gè)階段終了時(shí)的變形大小的應(yīng)變量。在塑性變形過程中，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以一定的速度運(yùn)動(dòng)，形成一個(gè)速度場(chǎng)。將質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的位移叫做位移速度，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量叫做位移速度分量，簡(jiǎn)稱速度分量，即

速度分量和速度場(chǎng)速度分量和速度場(chǎng)位移速度可簡(jiǎn)記為位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，因此，有上式表示變形體內(nèi)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度場(chǎng)。若已知變形體內(nèi)各點(diǎn)的速度分量，則物體中的速度場(chǎng)可以確定。位移增量

物體在變形過程中，在某一極短的瞬時(shí)dt，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移改變量稱為位移增量。

位移增量和應(yīng)變?cè)隽吭O(shè)質(zhì)點(diǎn)P在dt內(nèi)沿路徑PP’P1從P’移動(dòng)無(wú)限小距離到達(dá)P”，位移矢量PP”與PP’之間的差即為位移增量，記為dui。這里d為增量符號(hào)，而不是微分符號(hào)。位移增量和應(yīng)變?cè)隽课灰圃隽康乃俣确至繛榧次灰圃隽糠至靠蓪憺閼?yīng)變?cè)隽孔冃误w在產(chǎn)生位移增量以后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就有了相應(yīng)的無(wú)限小應(yīng)變?cè)隽浚胐εij表示。瞬時(shí)產(chǎn)生的變形可視為小變形，可以仿照小變形幾何方程寫出應(yīng)變?cè)隽康膸缀畏匠?，只需用dui代替ui、

dεij代替εij即可，即位移增量和應(yīng)變?cè)隽课灰圃隽亢蛻?yīng)變?cè)隽考匆稽c(diǎn)的應(yīng)變?cè)隽恳彩嵌A對(duì)稱張量，稱為應(yīng)變?cè)隽繌埩浚洖閼?yīng)變?cè)隽?/p>

位移增量和應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽渴且宰冃嗡矔r(shí)的形狀尺寸為起始點(diǎn)計(jì)算的，與以變形的起始點(diǎn)計(jì)算的全量應(yīng)變相比，應(yīng)變?cè)隽扛軠?zhǔn)確地反映物體的變形情況。物體在變形過程中某一瞬時(shí)產(chǎn)生的無(wú)限小應(yīng)變。塑性變形是一個(gè)大變形過程，在變形的整個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)在某一瞬時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)一般對(duì)應(yīng)于該瞬時(shí)的應(yīng)變?cè)隽??？梢圆捎脽o(wú)限小的應(yīng)變?cè)隽縼砻枋瞿骋凰矔r(shí)的變形情況，而把整個(gè)變形過程看作是一系列瞬時(shí)應(yīng)變?cè)隽康姆e累。

單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)變稱為應(yīng)變速率，又稱變形速度，用表示，單位為s-1。設(shè)在時(shí)間時(shí)隔dt內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變?cè)隽繛閐εij，則應(yīng)變速率為

應(yīng)變速率張量當(dāng)物體的變形速度很大或變形的溫度較高時(shí)（如再結(jié)晶溫度范圍內(nèi)），必須考慮變形速度對(duì)材料力學(xué)性能的影響。應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率與應(yīng)變?cè)隽肯嗨?，都是描述某瞬時(shí)的變形狀態(tài)。與應(yīng)變?cè)隽康膸缀畏匠填愃?，有?yīng)變速率的幾何方程即應(yīng)變速率張量一點(diǎn)的應(yīng)變速率也是二階對(duì)稱張量，稱為應(yīng)變速率張量注意：應(yīng)變速率是應(yīng)變?cè)隽縟εij對(duì)時(shí)間的微商，通常并不是全量應(yīng)變的微分。工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變工程應(yīng)變變形前后尺寸變化量與變形前尺寸之比，通常用百分?jǐn)?shù)表示假設(shè)l0為物體中兩質(zhì)點(diǎn)變形前的尺寸，ln為變形后尺寸，則工程應(yīng)變表示為工程應(yīng)變一般適用于變形程度較小的情況，當(dāng)變形程度較大時(shí)，工程應(yīng)變不足以反映物體的實(shí)際變形過程，這時(shí)要采用對(duì)數(shù)應(yīng)變。工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變對(duì)數(shù)應(yīng)變?cè)趯?shí)際變形過程中，假設(shè)物體中兩質(zhì)點(diǎn)的距離由變形前的l0經(jīng)過n個(gè)變形過程后變?yōu)閘n

，則總應(yīng)變量可近似為n個(gè)無(wú)限小的相對(duì)應(yīng)變之和，即當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，則總的應(yīng)變量為稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變，它反映了物體變形的實(shí)際情況對(duì)數(shù)應(yīng)變

設(shè)在單向拉伸時(shí)某試樣的瞬時(shí)長(zhǎng)度為l，在下一個(gè)瞬時(shí)，試樣長(zhǎng)度又伸長(zhǎng)了dl，則其應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變?cè)嚇訌某跏奸L(zhǎng)度l0到終了長(zhǎng)度l1，如果變形過程中主軸不變，可沿拉伸方向?qū)M(jìn)行積分，求出總應(yīng)變?yōu)楣こ虘?yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變

反映了物體變形的實(shí)際情況，稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變或真實(shí)應(yīng)變，它能真實(shí)地反映變形的累積過程，表示在應(yīng)變主軸方向不變的情況下應(yīng)變?cè)隽康目偤?。在大塑性變形中，主要用?duì)數(shù)應(yīng)變來反映物體的變形程度。工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變的特性比較工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變①對(duì)數(shù)應(yīng)變能夠反映物體變形的實(shí)際情況，工程應(yīng)變只是在變形程度很小時(shí)近似反映物體的變形情況。從上式可以看出對(duì)數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變的關(guān)系，即只有當(dāng)變形程度很小時(shí)，工程應(yīng)變才近似等于對(duì)數(shù)應(yīng)變，變形程度越大，二者相差愈大。一般認(rèn)為，當(dāng)變形程度超過10%時(shí)，就要用對(duì)數(shù)應(yīng)變來表達(dá)。工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變②對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可加性，工程應(yīng)變不具有可加性。設(shè)某物體的原長(zhǎng)度為l0，歷經(jīng)變形過程l1、l2到l3，則總的對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)楦鞣至繉?duì)數(shù)應(yīng)變之和，即工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變對(duì)應(yīng)的各階段的相對(duì)應(yīng)變?yōu)轱@然工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變

③對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。假設(shè)將試樣拉長(zhǎng)一倍，再壓縮一半，則物體的變形程度相同。拉長(zhǎng)一倍時(shí)壓縮一半時(shí)因此，對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變。(負(fù)號(hào)表示應(yīng)變方向相反)工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變考慮工程應(yīng)變拉長(zhǎng)一倍時(shí)壓縮一半時(shí)因此，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變

④工程應(yīng)變計(jì)算簡(jiǎn)單。塑性體積不變條件用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示更準(zhǔn)確。設(shè)變形體的原始長(zhǎng)、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件可表示為平面應(yīng)變問題

如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而該平面的法線方向沒有變形，就屬于平面變形或平面應(yīng)變問題。

平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題設(shè)沒有變形的方向?yàn)閦方向，該方向上的位移分量為零，其余兩個(gè)方向的位移分量對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)必為零，所以εz=γxz=γyz=0，則平面應(yīng)變狀態(tài)的三個(gè)應(yīng)變分量為εx

、εy

、γxy，且滿足以下幾何方程根據(jù)體積不變條件有平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題平面變形狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)有如下特點(diǎn)：①?zèng)]有變形的z方向?yàn)橹鞣较颍摲较蛏系募魬?yīng)力為零，z平面為主平面，σz為主應(yīng)力σ3

，在塑性狀態(tài)下，σz等于平均應(yīng)力，即平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題②如果處于變形狀態(tài)，發(fā)生變形的z平面即為塑性流動(dòng)平面，平面塑性應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量可寫成平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題上式表明，平面塑性變形時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)就是純剪應(yīng)力狀態(tài)疊加一個(gè)應(yīng)力球張量。平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題③平面變形時(shí)，由于σz是不變量，而且其他應(yīng)力分量都與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以其平衡微分方程和平面應(yīng)力狀態(tài)是一樣的，即平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題討論軸對(duì)稱狀態(tài)的變形時(shí)需要用圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)，采用圓柱坐標(biāo)時(shí)，一般狀態(tài)的應(yīng)變幾何方程為

式中：r－徑向，θ－周向，z－高度方向平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題zzθruvw

圓柱坐標(biāo)系中的位移分量平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱變形時(shí)，通過軸線的子午面始終保持平面，θ向沒有位移速度，位移分量v=0，各位移分量均與θ坐標(biāo)無(wú)關(guān)，由此，γrθ=γθz=0

，θ向成為應(yīng)變主方向，這時(shí)，幾何方程簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題對(duì)于均勻變形時(shí)的單向拉伸、錐形模擠壓和拉拔，以及圓柱體平砧鐓粗等，其徑向位移分量u與坐標(biāo)r成線性關(guān)系，于是得所以這時(shí)，徑向正應(yīng)力和周向正應(yīng)力分量也必相等，即平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題用球坐標(biāo)時(shí)，一般狀態(tài)的幾何方程為平面應(yīng)變問題和軸對(duì)稱問題對(duì)于軸對(duì)稱狀態(tài)，θ向的位移分量w=0，各位移分量均與θ無(wú)關(guān)，由此，γφθ=γθr=0

，而且εθ式等號(hào)后面的第一項(xiàng)也為零。rθφuvw

球坐標(biāo)系中的位移分量在塑性成形分析中，會(huì)遇到許多物理量，如力、速度、位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。為了對(duì)它們進(jìn)行描述和計(jì)算，必須引進(jìn)坐標(biāo)系。物理量本身是不依賴于坐標(biāo)系而存在的，坐標(biāo)系的選擇帶有一定的任意性，且同一物理量在不同的坐標(biāo)系中會(huì)有不同的數(shù)量表征。為了得到數(shù)量表征和解析結(jié)果在任何坐標(biāo)系下都具有不變的形式，即表征和結(jié)果所反映的物理事實(shí)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，就需要選擇一種數(shù)學(xué)工具，這一數(shù)學(xué)工具就是張量。

張量基礎(chǔ)角標(biāo)符號(hào)引進(jìn)坐標(biāo)系后，所描述的物理量在坐標(biāo)系中的分量，用角標(biāo)表示其與某一坐標(biāo)系的關(guān)系。成組的符號(hào)和數(shù)組用一個(gè)帶下角標(biāo)的符號(hào)表示，這種符號(hào)叫角標(biāo)符號(hào)。用角標(biāo)符號(hào)表示物理量在坐標(biāo)系中的分量，可以使冗長(zhǎng)繁雜的公式在形式上變得簡(jiǎn)潔明了。

張量基礎(chǔ)張量基礎(chǔ)如果一個(gè)張量帶有m個(gè)角標(biāo)，每個(gè)角標(biāo)取n個(gè)值，則該角標(biāo)符號(hào)代表著nm個(gè)元素。例如σij（i,j=x,y,z）就包含有32=9個(gè)元素，即9個(gè)應(yīng)力分量。求和約定

張量基礎(chǔ)在運(yùn)算中，常會(huì)遇到數(shù)組元素乘積求和的形式。例如為了省略求和記號(hào)Σ

，引入如下的求和約定：在算式的某一項(xiàng)中，如果有某個(gè)角標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)，就表示要對(duì)該角標(biāo)自1到n的所有元素求和。根據(jù)這一約定，上式可簡(jiǎn)記為又如應(yīng)變幾何方程可寫為張量基礎(chǔ)重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫啞標(biāo)，不重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫自由標(biāo)，自由標(biāo)不包含求和的意思，表示該等式代表的個(gè)數(shù)。在一個(gè)等式中，要分清啞標(biāo)和自由標(biāo)。例如這里i是啞標(biāo)，j是自由標(biāo)，故此式可表示為張量概念

有些簡(jiǎn)單的物理量，只需要一個(gè)標(biāo)量就可以表示，如距離、時(shí)間、溫度等。有些物理量是空間矢量，如位移、速度和力等，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)分量來表示。更有一些復(fù)雜的物理量，如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量，即9個(gè)分量才能完整地表示，這就需要引入張量的概念。

張量基礎(chǔ)張量基礎(chǔ)張量是矢量的推廣，可定義為由若干個(gè)當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的所有分量的集合。廣義地說，絕對(duì)標(biāo)量就是零階張量，其分量數(shù)目為30=1；矢量就是一階張量，有31=3個(gè)分量；應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)是二階張量，有32=9個(gè)分量。張量基礎(chǔ)設(shè)有一物理量P，它關(guān)于xi（i=1,2,3）的空間坐標(biāo)系存在9個(gè)分量Pij（i,j=1,2,3）。若將xi空間坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則得到新的空間坐標(biāo)系xk(k=1′,2′,3′)。張量基礎(chǔ)新坐標(biāo)系xk的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系xi的方向余弦可記為lki或llj(k,l=1’,2’,3’；i,j=1,2,3)。由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik,llj=ljl。新舊坐標(biāo)系間的方向余弦如表所示。xixkx1x2x3x1’x2’x3’l1’1l1’2l1’3l2’1l2’2l2’3l3’1l3’2l3’3張量基礎(chǔ)物理量P在新坐標(biāo)系xk的9個(gè)分量為Pkl(k,l=1’,2’,3’)

。若這個(gè)物理量P在坐標(biāo)系xi中的9個(gè)分量Pij與坐標(biāo)系xk中的9個(gè)分量Pkl之間存在下列線性變換關(guān)系這個(gè)物理量被定義為張量，可用矩陣表示為Pij所帶的下標(biāo)數(shù)目是2個(gè)，稱為二階張量。張量基礎(chǔ)張量是滿足一定的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量所組成的集合，它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來?yè)Q算。上式為二階張量的判別式。張量基礎(chǔ)張量不變量。張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f(Pij)，這些函數(shù)值與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)，它不隨坐標(biāo)而改變，這樣的函數(shù)，叫做張量不變量。二階張量存在三個(gè)獨(dú)立的不變量。

張量性質(zhì)張量可以疊加和分解。幾個(gè)同階張量各對(duì)應(yīng)的分量之和或差定義為另一個(gè)同階張量。兩個(gè)相同的張量之差定義為零張量。

張量基礎(chǔ)張量可分為對(duì)稱張量、反對(duì)稱張量、非對(duì)稱張量。

若張量具有性質(zhì)Pij=Pji，就叫對(duì)稱張量；

若張量具有性質(zhì)Pij=-Pji，且當(dāng)i=j時(shí)對(duì)應(yīng)的分量為0，則叫反對(duì)稱張量；

若張量具有性質(zhì)，就叫非對(duì)稱張量；

任意非對(duì)稱張量可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量。二階對(duì)稱張量存在三個(gè)主軸和三個(gè)主值。如果以主軸為坐標(biāo)軸，則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個(gè)下角標(biāo)相同的三個(gè)分量，叫做主值。張量基礎(chǔ)張量基礎(chǔ)應(yīng)力張量

受力物體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一旦被確定，如果取不同的坐標(biāo)系，則表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量將有不同的數(shù)值，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)并沒有發(fā)生變化。不同坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間存在一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

張量基礎(chǔ)該受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在坐標(biāo)系xi（i=x,y,z）中的9個(gè)應(yīng)力分量為σij(i,j=x,y,z），當(dāng)坐標(biāo)系xi轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系xk(k=x’,y’,z’)時(shí)，應(yīng)力分量為σkl(k,l=x’,y’,z’)

，則σij與σkl之間存在線性變換關(guān)系式張量基礎(chǔ)因此，表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成二階張量，稱為應(yīng)力張量，用張量符號(hào)表示為

應(yīng)力張量是二階對(duì)稱張量。根據(jù)張量的基本性質(zhì)，應(yīng)力張量可以疊加和分解，并存在三個(gè)主方向（主軸）和三個(gè)主應(yīng)力（主值），以及三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力張量不變量。材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線是建立塑性理論的重要依據(jù)，通常采用單向拉伸或單向壓縮實(shí)驗(yàn)來確定。

拉伸試驗(yàn)曲線拉伸圖和條件應(yīng)力-應(yīng)變曲線

室溫下在萬(wàn)能材料拉伸機(jī)上準(zhǔn)靜態(tài)拉伸標(biāo)準(zhǔn)試樣，記錄下來的拉伸力F與試樣標(biāo)距的絕對(duì)伸長(zhǎng)Δl之間的關(guān)系曲線稱為拉伸圖。拉伸試驗(yàn)曲線設(shè)試樣的初始橫截面面積為A0，標(biāo)距長(zhǎng)為l0，則條件應(yīng)力σ0（名義應(yīng)力）和相對(duì)伸長(zhǎng)ε（條件應(yīng)變）為

用σ0和ε替代F和Δl，則拉伸圖的曲線形狀不發(fā)生變化，只是刻度大小改變，拉伸圖變化為條件應(yīng)力—應(yīng)變曲線。拉伸試驗(yàn)曲線在低碳鋼的拉伸圖中，試樣從加載到斷裂的全過程經(jīng)歷了三個(gè)階段：

(1)彈性變形階段Oe

特點(diǎn)：卸載后試樣變形全部恢復(fù)，其中：

Op—線彈性階段；

pe—非線性彈性階段；

σp—比例極限；

σe—彈性極限。拉伸試驗(yàn)曲線(2)均勻塑性變形階段eb

屈服平臺(tái)：當(dāng)加載達(dá)到s點(diǎn)時(shí)，在載荷不增加，甚至有所下降時(shí)，試樣發(fā)生明顯的變形，圖上出現(xiàn)的一個(gè)齒狀平臺(tái)es；

σs—屈服應(yīng)力（屈服點(diǎn)）；對(duì)于有些金屬在簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)中不出現(xiàn)屈服平臺(tái)的情況（如不銹鋼、經(jīng)調(diào)質(zhì)處理的合金鋼與鋁合金等），用塑性應(yīng)變達(dá)到0.2%時(shí)的應(yīng)力σ0.2來作為屈服強(qiáng)度；拉伸試驗(yàn)曲線(2)均勻塑性變形階段eb

σb—強(qiáng)度極限：在s點(diǎn)以后，載荷F隨試樣變形程度的增加而增加，到達(dá)b點(diǎn)達(dá)到最大值時(shí)的應(yīng)力值；在這一階段卸載時(shí)，塑性應(yīng)變保留，發(fā)生彈性恢復(fù)。如加載到G點(diǎn)，然后卸載，沿著GH線（平行于Op）彈性恢復(fù)一段距離HJ，保留永久變形OH。

拉伸試驗(yàn)曲線(3)局部塑性變形階段bk

頸縮：在b點(diǎn)之后，繼續(xù)變形時(shí)，試樣會(huì)出現(xiàn)局部斷面縮小的現(xiàn)象，稱為頸縮，它是單向拉伸的塑性失穩(wěn)現(xiàn)象。繼續(xù)拉伸時(shí)，變形便集中在頸縮區(qū)，斷面會(huì)逐漸縮小，載荷下降，直至斷裂點(diǎn)k為止。拉伸試驗(yàn)曲線真實(shí)應(yīng)力試樣瞬時(shí)橫截面A上所作用的應(yīng)力Y稱為真實(shí)應(yīng)力，亦稱為流動(dòng)應(yīng)力。試樣瞬時(shí)截面面積與原始截面面積有如下的關(guān)系所以拉伸真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線拉伸試驗(yàn)曲線真實(shí)應(yīng)變?cè)O(shè)初始長(zhǎng)度為l0的試樣在變形過程中某時(shí)刻的長(zhǎng)度為l，定義真實(shí)應(yīng)變?yōu)槔煸囼?yàn)曲線真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線在均勻變形階段，根據(jù)前述的Y、∈表達(dá)式，可將條件應(yīng)力-應(yīng)變曲線直接變換成真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，即Y-∈曲線。在強(qiáng)度極限（b點(diǎn))以后，由于出現(xiàn)縮頸，不再是均勻變形，上述公式不再成立。因此，b點(diǎn)以后的曲線只能近似作出。一般記錄下斷裂點(diǎn)k的試樣橫截面面積Ak，按下式計(jì)算k點(diǎn)的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，從而可作出曲線的b’k’段。拉伸試驗(yàn)曲線a)b)

拉伸實(shí)驗(yàn)曲線a)

條件應(yīng)力-應(yīng)變曲線b)

真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線拉伸試驗(yàn)曲線由于出現(xiàn)縮頸后，試樣的形狀發(fā)生了明顯的變化，縮頸部位應(yīng)力狀態(tài)已變?yōu)槿蚶瓚?yīng)力狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)表明，縮頸斷面上的徑向應(yīng)力和軸向應(yīng)力的分布如圖所示。頸縮邊緣處受單向拉伸應(yīng)力Y作用，中心處軸向拉伸應(yīng)力大于Y，這一由于出現(xiàn)縮頸而產(chǎn)生的應(yīng)力升高現(xiàn)象，稱為“形狀硬化”。因此，必須加以修正。縮頸處斷面上的應(yīng)力分布拉伸試驗(yàn)曲線E.Siebel等人提出用下式對(duì)曲線的b’k’段進(jìn)行修正，即

式中，是去除形狀硬化后的真實(shí)應(yīng)力(Mpa)；d是縮頸處直徑(mm)；ρ是縮頸處試樣外形的曲率半徑(mm)。從拉伸實(shí)驗(yàn)曲線圖可看出，Y-∈曲線在失穩(wěn)點(diǎn)b后仍然是上升的，這說明材料抵抗塑性變形的能力隨應(yīng)變的增加而增加，即不斷地硬化，所以真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線也稱為硬化曲線。拉伸真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的塑性失穩(wěn)點(diǎn)特性

拉伸試驗(yàn)曲線在Y-∈曲線上，由于所以拉伸試驗(yàn)曲線在塑性失穩(wěn)點(diǎn)(如b點(diǎn))，當(dāng)載荷F有極大值，即dF=0，且由于F=YA，則有化簡(jiǎn)得因此在失穩(wěn)點(diǎn)b處拉伸試驗(yàn)曲線Y-∈曲線的失穩(wěn)點(diǎn)特性式的意義如圖所示，表示在曲線Y-∈上，失穩(wěn)點(diǎn)所作的切線的斜率為Yb，該斜線與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到失穩(wěn)點(diǎn)橫坐標(biāo)的距離為∈=1。

由于拉伸實(shí)驗(yàn)確定的Y-∈曲線最大應(yīng)變量受到塑性失穩(wěn)的限制，曲線的精確段∈=0.3內(nèi)，而實(shí)際的塑性成形時(shí)的應(yīng)變往往比1.0大得多，因此拉伸實(shí)驗(yàn)曲線便不夠用，可用壓縮實(shí)驗(yàn)來確定Y-∈曲線，其變形量可達(dá)2以上。由于壓縮實(shí)驗(yàn)工具與試樣之間存在摩擦，改變了試樣單向壓縮狀態(tài)，因而求得的應(yīng)力并非真實(shí)應(yīng)力。因此，消除接觸面間的摩擦是得到壓縮Y-∈曲線的關(guān)鍵。拉伸試驗(yàn)曲線實(shí)驗(yàn)所得的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線一般都不是簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系，在解決實(shí)際塑性成形問題時(shí)，為便于計(jì)算，常采用一些簡(jiǎn)化的材料模型。材料模型（一）指數(shù)硬化型大多數(shù)工程金屬在室溫下都有加工硬化，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線近似于拋物線形狀，可用指數(shù)方程表達(dá)為

式中，B是強(qiáng)度系數(shù)，n是硬化指數(shù)。指數(shù)硬化曲線材料模型B和n的值可用失穩(wěn)點(diǎn)的特性來確定。對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)失穩(wěn)點(diǎn)的特性又有比較上述兩式，可得材料模型硬化指數(shù)n是表明材料加工硬化特性的一個(gè)重要參數(shù)，n值越大，說明材料的應(yīng)變強(qiáng)化能力越強(qiáng)。對(duì)金屬材料，n的范圍是0<n<1。B與n不僅與材料的化學(xué)成分有關(guān)，而且與其熱處理狀態(tài)有關(guān)，常用材料的B和n可查相關(guān)手冊(cè)。材料模型（二）有初始屈服應(yīng)力的剛塑性硬化曲線型當(dāng)有初始屈服應(yīng)力σs時(shí)，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可表達(dá)為

式中，B1、m是與材料性能有關(guān)的參數(shù)。與塑性變形相比，由于彈性變形很小，可忽略。所以，這一形式為剛塑性硬化曲線型。剛塑性硬化曲線材料模型（三）有初始屈服應(yīng)力的剛塑性硬化直線型為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可用直線代替硬化曲線，則為線性硬化形式，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線表達(dá)式為

式中，B2是強(qiáng)度系數(shù)。剛塑性硬化直線材料模型（四）無(wú)加工硬化得的水平直線型對(duì)于幾乎不產(chǎn)生加工硬化的材料，此時(shí)n＝0，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線是一水平直線，表達(dá)式為這是理想剛塑性材料模型。大多數(shù)金屬在高溫低速下的大變形及一些低熔點(diǎn)金屬在室溫下的大變形可采用無(wú)加工硬化模型假設(shè)。理想剛塑性水平直線材料模型如果要考慮彈性變形，則為理想彈塑性材料模型。高溫低速下的小塑性變形，可近似認(rèn)為是這種情況。以上所討論的Y-∈曲線是在室溫準(zhǔn)靜態(tài)下得到的。在不同的變形溫度和變形速度下，Y-∈曲線有很大差別。有關(guān)變形溫度和變形速度對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響可參見有關(guān)著作。屈服準(zhǔn)則的概念

屈服準(zhǔn)則是材料質(zhì)點(diǎn)發(fā)生屈服而進(jìn)入塑性狀態(tài)的判據(jù)，也稱為塑性條件。對(duì)于單向拉伸或壓縮的質(zhì)點(diǎn)，可以直接用屈服應(yīng)力σs來判斷。在多向應(yīng)力作用下，不能用一個(gè)應(yīng)力分量來判斷材料質(zhì)點(diǎn)是否進(jìn)入塑性狀態(tài)，必須同時(shí)考慮所有應(yīng)力分量。各應(yīng)力分量之間符合一定關(guān)系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)才開始屈服。一般可表示為理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則

上式稱為屈服函數(shù)，式中C是與材料性質(zhì)有關(guān)而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)的常數(shù)，可通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則對(duì)于各向同性材料，由于屈服準(zhǔn)則與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)，因此可用主應(yīng)力σ1、σ2、σ3來表示，同時(shí)考慮到應(yīng)力球張量不影響材料質(zhì)點(diǎn)的屈服，所以在屈服準(zhǔn)則中，σ1、σ2、σ3應(yīng)以、、的形式出現(xiàn)。即

對(duì)于各向同性材料，各項(xiàng)之前無(wú)須加權(quán)。Tresca屈服準(zhǔn)則

1864年，法國(guó)工程師H.Tresca根據(jù)庫(kù)侖（C.A.Coulomb）在土力學(xué)中的研究結(jié)果，并從自己所做的金屬擠壓實(shí)驗(yàn)所觀察到的滑移痕跡出發(fā)，提出材料的屈服與最大剪應(yīng)力有關(guān)，即當(dāng)材料質(zhì)點(diǎn)中最大剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)就發(fā)生屈服。或者說，質(zhì)點(diǎn)處于塑性狀態(tài)時(shí)，其最大剪應(yīng)力是不變的定值，該定值取決于材料的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。所以Tresca屈服準(zhǔn)則又稱為最大剪應(yīng)力不變條件。理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則當(dāng)σ1>σ2>σ3時(shí)，則式中常數(shù)C可通過單向拉伸實(shí)驗(yàn)來確定，單向拉伸屈服時(shí)σ1=σs、σ2=σ3=0

，可得C=σs/2

，則上式可寫成理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則若不知主應(yīng)力大小順序，則Tresca屈服準(zhǔn)則寫成從純數(shù)學(xué)角度出發(fā)，上式是滿足式的最簡(jiǎn)單形式，三個(gè)式子只要滿足一個(gè)，該點(diǎn)即發(fā)生屈服。Mises屈服準(zhǔn)則

1913年，德國(guó)力學(xué)家VonMises提出另一個(gè)屈服準(zhǔn)則，即當(dāng)?shù)刃?yīng)力達(dá)到定值時(shí)，材料質(zhì)點(diǎn)發(fā)生屈服?；蛘哒f，材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，其等效應(yīng)力是不變的定值，該定值取決于材料的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。表達(dá)如下

理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則常數(shù)C根據(jù)單向拉伸實(shí)驗(yàn)確定為σs，于是Mises屈服準(zhǔn)則可寫成上式是滿足式的另一種形式，可以寫成，因此只有應(yīng)力偏張量第二不變量影響屈服。理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則將上式兩邊同乘以常數(shù)式中，E為彈性模量，ν為泊松比。上式左端表示變形體在三向應(yīng)力作用下單位體積的彈性形變能。H.Henkey于1924年指出Mises屈服準(zhǔn)則的物理意義是：當(dāng)單位體積的彈性形變能達(dá)到某一常數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)就發(fā)生屈服。故Mises屈服準(zhǔn)則又稱為能量準(zhǔn)則。則主應(yīng)力空間中的屈服表面屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)

以主應(yīng)力為坐標(biāo)軸可以構(gòu)成一個(gè)主應(yīng)力空間。在主應(yīng)力空間中，任一應(yīng)力點(diǎn)P(σ1,

σ2,

σ3)可用矢量OP來表示。過坐標(biāo)原點(diǎn)O引等傾線ON，其方向余弦為，線上任一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)分量均相等，即σ1=σ2=

σ3，表示球應(yīng)力狀態(tài)。由P點(diǎn)引一直線PM⊥ON，則矢量OP可分解為OM和MP，這時(shí)，OM表示應(yīng)力球張量部分，MP表示應(yīng)力偏張量部分。

屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則，當(dāng)時(shí)，材料就屈服，故P點(diǎn)屈服時(shí)有因此，若以M為圓心，為半徑，在垂直于ON的平面上作一圓，則該圓上各點(diǎn)的應(yīng)力偏張量的模都為，所以圓上各點(diǎn)都進(jìn)入塑性狀態(tài)。由于球應(yīng)力OM不影響屈服，所以，以O(shè)N為軸線，以為半徑作一圓柱面，則此圓柱面上的點(diǎn)都滿足Mises屈服準(zhǔn)則。這個(gè)圓柱面就是式在主應(yīng)力空間中的幾何表達(dá)，稱為主應(yīng)力空間中的Mises屈服表面。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)采用同樣的分析方法，Tresca屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式（見下式）在主應(yīng)力空間中的幾何圖形是一個(gè)內(nèi)接于Mises圓柱面的正六棱柱面，稱為主應(yīng)力空間的Tresca屈服表面。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)主應(yīng)力空間中的屈服表面屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)由圖可知，屈服表面的幾何意義是：若主應(yīng)力空間中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)矢量的端點(diǎn)P位于屈服表面，則該端點(diǎn)處于塑性狀態(tài)；若P點(diǎn)在屈服表面內(nèi)部，則P點(diǎn)處于彈性狀態(tài)。對(duì)于理想塑性材料，P點(diǎn)不能在屈服表面之外。平面應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡

屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)將σ3=0代入Mises屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式則有

這是坐標(biāo)平面上的一個(gè)橢圓。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)為了清楚起見，把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)45°，則新老坐標(biāo)的關(guān)系為得屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)將σ1、σ2代入

整理得

上式是坐標(biāo)平面上的橢圓方程，長(zhǎng)半軸為，短半軸為，與原坐標(biāo)軸的截距為。這個(gè)橢圓就是平面應(yīng)力狀態(tài)的Mises屈服軌跡，稱為Mises橢圓。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)同樣，將σ3=0代入Tresca屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式

可得平面應(yīng)力狀態(tài)的Tresca屈服準(zhǔn)則

上式中每一個(gè)式子表示兩條互相平行且對(duì)稱的直線，這些直線在σ1–

σ2平面上構(gòu)成一個(gè)內(nèi)接于Mises橢圓的六邊形，這就是平面應(yīng)力狀態(tài)的Tresca屈服軌跡，稱為Tresca六邊形。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)任一平面應(yīng)力狀態(tài)都可用σ1–

σ2平面上一點(diǎn)P表示，并可用矢量OP來表示。如P點(diǎn)在屈服軌跡的里面，則材料的質(zhì)點(diǎn)處于彈性狀態(tài)，如P點(diǎn)在軌跡上，該質(zhì)點(diǎn)處于塑性狀態(tài)。對(duì)于理想塑性材料，P點(diǎn)不可能在軌跡的外面。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)由圖可知，兩個(gè)屈服軌跡有六個(gè)交點(diǎn)，在六個(gè)交點(diǎn)處兩屈服準(zhǔn)則是一致的。它們都表示兩向主應(yīng)力相等的應(yīng)力狀態(tài)，其中與坐標(biāo)軸相交的四個(gè)點(diǎn)A(σs,

0)、E(0,σs)、G(-σs,0)、K(0,-σs)表示單向應(yīng)力狀態(tài)，另與橢圓長(zhǎng)軸相交的兩個(gè)點(diǎn)是C(σs,σs)、I(-σs,-σs)；屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)兩屈服軌跡不相交的地方，Mises橢圓上的點(diǎn)均在Tresca六邊形之外，表示按Mises屈服需要較大的應(yīng)力，兩準(zhǔn)則差別最大的有六個(gè)點(diǎn)（B、D、F、H、J、L），它們的坐標(biāo)可分別由式對(duì)σ1和σ2求極值得到。其中兩個(gè)點(diǎn)F、L表示純剪應(yīng)力狀態(tài)，另四個(gè)點(diǎn)是B、D、H、J，這六個(gè)點(diǎn)的中間應(yīng)力等于平均應(yīng)力，它們既表示平面應(yīng)力狀態(tài)又表示平面應(yīng)變狀態(tài)，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則相差達(dá)到15.5%。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)π平面上的屈服軌跡

屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)在主應(yīng)力空間中，通過坐標(biāo)原點(diǎn)，并垂直于等傾線ON的平面稱為π平面，其方程為π平面與兩個(gè)屈服表面都垂直，故屈服表面在π平面上的投影是半徑為的圓及其內(nèi)接正六邊形，這就是π平面上的屈服軌跡。屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)π平面上的屈服軌跡屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)在π平面上σm=0

，說明π平面上任一點(diǎn)無(wú)應(yīng)力球張量的影響，任一點(diǎn)的應(yīng)力矢量均表示偏張量。因此，π平面的屈服軌跡更清楚地表示屈服準(zhǔn)則的性質(zhì)。例如，三根主應(yīng)力軸在π平面上的投影互成120°角，如標(biāo)出負(fù)向時(shí)，就把π平面及其面上的屈服軌跡等分成60°角的六個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間內(nèi)的應(yīng)力大小次序互不相同，三根主應(yīng)力軸上的點(diǎn)都表示（減去了球張量）單向應(yīng)力狀態(tài)。與主應(yīng)力軸成30°交角線上的點(diǎn)則表示純剪應(yīng)力狀態(tài)。由于六個(gè)區(qū)間的軌跡是一樣的，所以，實(shí)際上只要用一個(gè)區(qū)間（如圖σ1>

σ2>

σ3中）就可以表示出整個(gè)屈服軌跡的性質(zhì)。兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式如果已知三個(gè)主應(yīng)力的大小順序，設(shè)為σ1>

σ2>

σ3，則Tresca屈服準(zhǔn)則只需用線性式σ1-

σ3=σs就可以判斷屈服，但這一準(zhǔn)則未考慮中間主應(yīng)力σ2的影響。而Mises屈服準(zhǔn)則則考慮了中間主應(yīng)力σ2對(duì)質(zhì)點(diǎn)屈服的影響。兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式為評(píng)價(jià)σ2對(duì)屈服的影響，引入L?de應(yīng)力參數(shù)

兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式

上式中的分子是三向應(yīng)力莫爾圓中σ2到大圓圓心的距離，分母為大圓半徑。當(dāng)σ2在σ1與σ3之間變化時(shí)，μσ則在1～-1之間變化。因此，μσ實(shí)際上表示了σ2在三向莫爾圓中的相對(duì)位置變化。應(yīng)力莫爾圓兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式由上式可以解出σ2

將σ2代入Mises屈服準(zhǔn)則兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式整理后得令β稱為中間主應(yīng)力影響系數(shù)，或稱應(yīng)力修正系數(shù)則兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式

對(duì)比式σ1-

σ3=β

σs和Tresca屈服準(zhǔn)則式σ1-

σ3=σs可知，Mises屈服準(zhǔn)則與Tresca屈服準(zhǔn)則在形式上僅差一個(gè)應(yīng)力修正系數(shù)。兩準(zhǔn)則一致，應(yīng)力狀態(tài)中有兩向主應(yīng)力相等；兩準(zhǔn)則相差最大，為平面變形應(yīng)力狀態(tài)。兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式設(shè)K為屈服時(shí)的最大剪應(yīng)力，則于是，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式為

對(duì)于Tresca屈服準(zhǔn)則，K=0.5σs對(duì)于Mises屈服準(zhǔn)則，K=(0.5～0.577)σs。

兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式

屈服準(zhǔn)則起初都以假設(shè)形式提出的，是否符合實(shí)際，還需要通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。驗(yàn)證方法很多，復(fù)合拉、扭下的薄壁金屬圓管的屈服實(shí)驗(yàn)是一較為簡(jiǎn)單的驗(yàn)證方法。也可用軸向拉力與內(nèi)壓力聯(lián)合作用的屈服實(shí)驗(yàn)。大量實(shí)驗(yàn)表明，Tresca屈服準(zhǔn)則和Mises屈服準(zhǔn)則都與實(shí)驗(yàn)值比較吻合，除了退火低碳鋼外，一般金屬材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)更接近于Mises屈服準(zhǔn)則。以上所討論的屈服準(zhǔn)則只適用于各向同性的理想塑性材料。對(duì)于應(yīng)變硬化材料，可以認(rèn)為初始屈服仍然服從前述的準(zhǔn)則，產(chǎn)生硬化后，屈服準(zhǔn)則將發(fā)生變化，在變形過程的每一瞬時(shí)，都有一后續(xù)的瞬時(shí)屈服表面和屈服軌跡。

應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面后續(xù)屈服表面（加載表面）的詳細(xì)討論涉及到一些相當(dāng)復(fù)雜的問題，目前只能提出一些假設(shè)，其中最常見的是“各向同性硬化”假設(shè)，即“等向強(qiáng)化”模型。其要點(diǎn)為：1)材料應(yīng)變硬化后仍然保持各向同性；

2)應(yīng)變硬化后屈服軌跡的中心位置和形狀保持不變。

應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面因此，對(duì)應(yīng)于Mises屈服準(zhǔn)則和Tresca屈服準(zhǔn)則，等向強(qiáng)化模型的后續(xù)屈服軌跡在π平面上是一系列擴(kuò)大且同心的圓和正六邊形。各向同性應(yīng)變硬化材料的后續(xù)屈服應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面一般金屬材料的拉伸和壓縮試驗(yàn)曲線在小彈塑性變形階段基本重合，但在大塑性變形階段有顯著的差別。一般應(yīng)變量不超過10%時(shí)，可認(rèn)為兩者一致，但精確的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)某些高強(qiáng)度合金鋼的σs和E在拉伸和壓縮的情況下有區(qū)別。因此，對(duì)于一般金屬材料，在變形不大的情況下，用簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)代替簡(jiǎn)單壓縮試驗(yàn)進(jìn)行強(qiáng)度分析是安全的，但對(duì)于拉伸和壓縮曲線有明顯區(qū)別的材料如鑄鐵、混凝土等則需另做專門研究。應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面壓拉σ51015ε/%拉伸和壓縮試驗(yàn)曲線應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面試驗(yàn)研究表明，單向拉伸試驗(yàn)的初始屈服應(yīng)力和單向壓縮試驗(yàn)的初始屈服應(yīng)力絕對(duì)值相等，如在圖中均為σs

。但當(dāng)試樣在一個(gè)方向加載（例如拉伸）超過屈服點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)后，卸載到零（B點(diǎn)），然后再在反方向加載（即壓縮），則發(fā)現(xiàn)反向加載時(shí)的屈服點(diǎn)c的應(yīng)力σs”不但比A點(diǎn)的σs’小，而且小于初始的屈服應(yīng)力σs。這一隨加載路線和方向不同而屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象稱為Bauschinger效應(yīng)?？紤]這一效應(yīng)會(huì)給處理塑性理論帶來很大困難，一般塑性理論中都不加考慮。Bauschinger效應(yīng)會(huì)使材料產(chǎn)生各向異性，在交變加載的過程中應(yīng)注意。應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面Bauschinger效應(yīng)σε＋σs－σsσs”σs’oABC應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面屈服軌跡的形狀由應(yīng)力狀態(tài)函數(shù)f(σij)決定，而軌跡的大小取決于材料的性質(zhì)。因此，應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則可表示為對(duì)于理想塑性材料，流動(dòng)應(yīng)力Y=σs，而對(duì)于硬化材料，Y是變化的。關(guān)于Y的變化有兩種假設(shè)：一種是單一曲線假設(shè)，認(rèn)為Y只是等效應(yīng)變的函數(shù)，而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)?？捎脝蜗蚶斓牧鲃?dòng)應(yīng)力與真實(shí)應(yīng)變的函數(shù)關(guān)系來替代Y與等效應(yīng)變的關(guān)系。另一種是“能量假設(shè)”，認(rèn)為硬化取決于塑性變形功，與應(yīng)力狀態(tài)和加載路線無(wú)關(guān)。前一種假設(shè)，形式簡(jiǎn)單，使用方便，被廣泛應(yīng)用。應(yīng)變硬化材料的屈服與加載表面后續(xù)屈服準(zhǔn)則也叫加載函數(shù)。由于各向同性應(yīng)變硬化材料的硬化曲線是等效應(yīng)力的單調(diào)增加函數(shù)，故對(duì)硬化材料有三種不同情況：

2)

當(dāng)時(shí)，為卸載，表示應(yīng)力狀態(tài)從屈服軌跡向內(nèi)移動(dòng)，發(fā)生了彈性卸載。

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