海南省?？谑泻Ｄ?021-2022學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知非零向量￡,B滿足0-夜可，￡，,一夜可邛，則々與另的夾角為（）

2,>

2.已知橢圓「:「+5=10>%>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,F,,上頂點(diǎn)為點(diǎn)A,延長(zhǎng)AF?交橢圓「于點(diǎn)8,若AABK

ab-

為等腰三角形，則橢圓廠的離心率e=

3.點(diǎn)A是單位圓。上不同的三點(diǎn)，線段。。與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若

OC^mOA+nOB,(m>(),n>0),m+n^2,則NAO5的最小值為()

71712萬

A.?B.C.—D.

72T

4.若2"+3a=3"+2"則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是（）

①b<a<0?a=h③?\<b<a

A.1B.2C.3D.4

（X-^+l）5展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為

5.

X

A.1B.11C.-19D.51

6.執(zhí)行如下的程序框圖,則輸出的S是（)

/程出s/

:_

I結(jié)束I

A.36B.45

C.-36D.-45

7.大衍數(shù)列，米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極

衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,

12,18,24,32,40,50,...?則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為（）

2

-""2-1（〃-1）2nn

2222

8.已知數(shù)列｛q｝中，q=1,々=2,且當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4+2-4=2;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，。皿+1=3（%+1）.則此數(shù)

列的前20項(xiàng)的和為（）

ol1oolIoQ122Q!22

A.^—^+90B.^^+100C.^^+90D.^—^+100

2222

22、,2

9.設(shè)雙曲線，?—r齊=1（?>0,。>0）的一條漸近線與拋物線y=Y+g有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓r三+方=1

的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

27222222

AA.-*-------丫--=_11BR.--廠-----廠-----=11C「?--%------->---=11Dn.--y-------龍---=11

43432332

10.已知命題p:x<2m+l,g:x2—5x+6<0,且P是4的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>1

22

11.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（l,4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

12.若直線產(chǎn)=丘+1與圓好+產(chǎn)=1相交于尸、Q兩點(diǎn),且/00。=12（）。（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則A的值為（

A.6B.72C.#或一GD.6和一◎

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝中，S,,為其前“項(xiàng)和，q=l,=2",則4=,S200=.

14.若隨機(jī)變量J的分布列如表所示，則E（J）=，。（2彳T）=.

-101

Paa2

4

15.已知一個(gè)四面體ABC。的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為9%的球。的表面上，且AB=CD=a,

AC=AD=BC=BD=4^,貝Ija=.

16.二項(xiàng)式（f—_L］的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S,=a,”2-2,〃eN*.

（1）若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的公比4的值；

（2）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為?；，若白=1,且27>項(xiàng)-"1.

①求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式；

②求證：魯爭(zhēng)也一.

18.（12分）如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PAA.AB，H4=6,AB=8,PD=10,

N為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC上的一點(diǎn).

（1）證明：面叩1，面ABCD；

（2）當(dāng)尸為8C中點(diǎn)時(shí)，求二面角4一人五一。余弦值.

19.（12分）已知橢圓C：=1（a>Z>>0）過點(diǎn)（0,夜），且滿足a+A=30.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若斜率為‘的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)4,B,點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,1),設(shè)直線MA與MB的斜率分別為由,

2

ki,試問公+42是否為定值？并說明理由.

20.(12分)已知圓。：f+y2=1和拋物線后：y=f—2,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)已知直線/和圓。相切，與拋物線E交于兩點(diǎn)，且滿足QWLQV,求直線/的方程；

(2)過拋物線E上一點(diǎn)P(x0,%)作兩直線P。,PR和圓。相切，且分別交拋物線E于。,R兩點(diǎn)，若直線QR的斜率

為-百，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.(12分)百年大計(jì)，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前

十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.(其中x表示通過自主招生獲得降分資格

的學(xué)生人數(shù)，)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù))

年份(屆)20142015201620172018

X4149555763

y8296108106123

(1)通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)X與〉之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求)'關(guān)于X的線性回歸方程；(保留兩位有效數(shù)字)

(2)若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測(cè)2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；

(3)若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳，在選取的5個(gè)人中再選取

2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)x的分布列和期望.

^x.y.-nx-y

參考公式：b=^-------------,a^-bx

2-2

i=l

55

參考數(shù)據(jù)：x=53，y=l()3,27797,=14325

/=1/=l

22.(10分)已知離心率為，的橢圓［=19＞。＞0)經(jīng)過點(diǎn)

2a-b2\2；

(1)求橢圓用的方程；

⑵薦橢圓M的右焦點(diǎn)為E,過點(diǎn)尸的直線AC與橢圓"分別交于A8,若直線D4、DC、的斜率成等差數(shù)

列，請(qǐng)問AOCF的面積SAD”是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn)，即可由平面向量數(shù)量積定義求得a與B的夾角.

【詳解】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得伍-42b)a=a-y［2ah=0,

(h-yl2a^-b=b—yf2ab=0,

rr

所以/=片=及￡］，即卜|=砧

由平面向量數(shù)量積定義可得口2=后口,坂卜05(￡,弓，

所以cos(a,B)=而加e［O,乃］,

7T

即a與］的夾角為二.

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

設(shè)|%|=r,Ml^l=2a-G\AB\=a+t,

因?yàn)閨A耳|=a,所以若|A耳|=|8耳1,則a=2aT,所以a=f,

所以|44|+|8耳|=|AB|=2“，不符合題意，所以IB6HABL則勿—，=a+r,

所以a=2f,所以IB用=|AB|=3f,\AFt\=2t,設(shè)/喇=28,貝!)e=sin),

在AABG中，易得cos2e=g,所以l—2sin2e=；,解得Sin6=#(負(fù)值舍去),

所以橢圓廠的離心率e=上.故選B.

3

3.D

【解析】

由題意得l=/??2+〃2+2/mcosNAQ8,再利用基本不等式即可求解.

【詳解】

將0C=mOA+nOB平方得1=/J?+1+2mncosZAOB>

,▲八n1一〃/一〃21—(加+〃)2+2加〃331

cosZAOB=----------=——------乙----------+---------------+1=--

2mn2mn2碗2x(誓了2

(當(dāng)且僅當(dāng)m=n=\時(shí)等號(hào)成立),

,：Q<ZAOB>

XAOB的最小值為?

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.D

【解析】

a,b可看成是y=f與f(x)=2'+3x和g(x)=3、+2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.

【詳解】

令/(%)=2'+3x,g(x)-3V+lx,

作出圖象如圖,

〃o)=g(o)=l,〃l)=g(l)=5,②正確；

xe(-oo,0),/(x)<g(x),有b<a<0,①正確；

xw(O,l),/(x)>g(x),有0<4<%<1,③正確；

XG(l,+oo),/(x)<g(x),有l(wèi)<b<a,④正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

5.B

【解析】

展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的，所以可分成三種情況.

【詳解】

展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，有3種情況：

(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即7=1；

(2)兩個(gè)括號(hào)出x,兩個(gè)括號(hào)出(一工)，一個(gè)括號(hào)出1,即7=或以2.。1(—工)2.1=30；

XX

(3)一個(gè)括號(hào)出“，一個(gè)括號(hào)出(—,)，三個(gè)括號(hào)出1,即T=C；?x-C：?(—‘)」=—20；

XX

所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為7=1+30-20=11,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.

6.A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果S的值.

【詳解】

，=1W8滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=0+(-1)'xl2=-l,i=l+l=2；

i=2W8成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，S=—1+(—1)2x22=3,i=2+l=3；

i=3W8成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，S=3+(—1YX32=-6,i=3+l=4；

i=4W8成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，S=—6+(—1)4x42=10,i=4+l=5；

i=5W8成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，S=10+(-1)5X52=-15,i=5+l=6；

i=6W8成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，S=—15+(—1)6x62=21,i=6+l=7；

i=7W8成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，S=21+(-1)7X72=-28,j=7+l=8；

i=8W8成立,執(zhí)行第八次循環(huán)，S=-28+(-1)乜82=36,[=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問題和計(jì)算能力，屬于中等

題.

7.B

【解析】

直接代入檢驗(yàn)，排除其中三個(gè)即可.

【詳解】

由題意4=0,排除D,a3=4,排除A,C.同時(shí)B也滿足%=12,%=24,tz9=40,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式，解題時(shí)可代入檢驗(yàn)，利用排除法求解.

8.A

【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出前2()項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出前2()項(xiàng)

的偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而可求解.

【詳解】

當(dāng)?為奇數(shù)時(shí)

，an+2-an=2,

則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，%+2+1=3(4+1),

則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加1是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.

所以$20=4++/+…+=%+%+h69+a,++30

10x9

=10xId——--X2+(4+1)+(4+1)-1—(420+1)-10

3(1-310)3"-3

=100+-^----^-10=--+90-

1-32

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=丘，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=(),求出上的值，得到f的值，求出關(guān)系，進(jìn)而判

b

斷出。大小，結(jié)合橢圓二+y2

1的焦距為2,即可求出結(jié)論.

a

【詳解】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx,

代入拋物線方程得f一日+g=0,

42

依題意△=%2--=0,Z：=±-y=,

3v3

:S=2，a=4b>b,

b△乖）

22

橢圓,+卓=1的焦距26一加=2,

—b2-b2=-b2=I,/72=3,Q2=4,

33

22

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕-土=1.

43

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置，屬于中檔題.

10.D

【解析】

求出命題4不等式的解為2<x<3,。是4的必要不充分條件，得4是P的子集，建立不等式求解.

【詳解】

解：\?命題〃：x<2m+l,q:J?-5x+6<0,即：2cx<3,

“是4的必要不充分條件，

（2,3）c（-co,2w+l,）,

2m+l>3,解得m21.實(shí)數(shù)加的取值范圍為

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：

（1）解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式（組）求解.

（2）求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

11.B

【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得出P（x<0）=P（X>2）,進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

?.?X~N（1,4）,所以，P（X<0）=P（X>2）=0.3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+l與圓x2+y2=l相交于P、Q兩點(diǎn)，且NPOQ=120。（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)NQOx的大

小，求得結(jié)果.

【詳解】

如圖，直線過定點(diǎn)（0,1）,

VZPOQ=120o.\ZOPQ=30°,=41=120°,N2=60°,

二由對(duì)稱性可知k=±&.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.83x2*3（寫為*+*一3也得分）

【解析】

由％=1,油=2"得，4=2.當(dāng)"22時(shí)，a,ia“=2'i,所以乎=2,所以｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2

an-\

為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.則％=2x2?=8,

lx(l-2100)12x(l-2100)

loo()1l(x,

1-2-+-1-2=2+2'-3=3x2-3.

11

14.

4T

【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值，最后求得。（J）的值，由方差的性質(zhì)計(jì)算。（2彳-1）的值即可.

【詳解】

由題意可知a+—1+4,=1,解得。=一3]（舍去）或。=1—.

422

則E⑷=_lxg+0x；+lx；=_；,

mL（,1丫11Y1f,1Y111

貝!_]+—x—+0+—x—+1+—x—=——,

'"I4j2<4J4V4；416

由方差的計(jì)算性質(zhì)得。（24-1）=4。信）=2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計(jì)算公式，方差的計(jì)算公式，方差的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算求解能力.

15.2五

【解析】

由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為x，y，z,由題意可得：

x2+y2=a12

，r+22=5,據(jù)此可得：x2+y2+z2=^^-=（2/?）2,

x2+z2=5-

則球的表面積：5=4乃/?2=1。+"*乃=9萬,

2

結(jié)合。＞0解得：a-2-\/2?

點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的

位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的

中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)

等于球的直徑.

16.15

【解析】

，,23r

由題得，7；.+1=C；（-l）'x-,令12-3廠=6,解得廠=2,代入可得展開式中含小項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】

由題得，J=C；（Y）6[—=C；（—令12—3r=6,解得r=2,

所以二項(xiàng)式的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為Cl（―I）?=15.

故答案為：15

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了利用通項(xiàng)公式去求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)問題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)<?=?手；(2)①2=〃；②詳見解析.

【解析】

(1)依題意可表示H，邑，相減得4=4一%，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，解得答案，并由其都是正

項(xiàng)數(shù)列舍根；

(2)①由題意可表示27；,,兩式相減得2hn+i=痣2-￡+1T，由其都是正項(xiàng)并整理可得遞推關(guān)系

幻2-鼠=1,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案；

②由已知s?=%+2-2,〃eN*關(guān)系，表示Sn+l=a?+3-2并相減即可表示遞推關(guān)系an+2=an+??+,,顯然當(dāng)〃=1,2,3

時(shí)，匕<4+：上幺成立,當(dāng)〃/,〃eN*時(shí)，表示

乃=2+冬+4+幺苧1+"且+…+—,由分組求和與正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證?

"2222324252“T2"

【詳解】

解：(1)依題意可得SI=%-2,S2=a4-2,兩式相減，得。2=%-。3，所以“2="242-。24，

因?yàn)閝>0,所以/_q_l=0,且4>0,解得g=L乎.

(2)①因?yàn)?Tn=%_〃_1,所以=比2-〃一2,

兩式相減，得2%=b3-1,即/2=(%+1)上

因?yàn)槲?gt;0，所以2+2=2+1+1,即〃+2一%+|=1?

而當(dāng)〃=1時(shí)，2Tl=b；-2,可得打=2,故4一4=1,

所以2+「勿=1對(duì)任意的正整數(shù)”都成立，

所以數(shù)列也｝是等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為L(zhǎng)

所以數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為bn=n.

②因?yàn)镾.=4-2-2,所以邑+1=4+3-2,兩式相減，得〃"+|=”“+3-4+2，即%+3=""+1+4+2，

所以對(duì)任意的正整數(shù).2,都有限=%+all+l.

令匕=￡牛=幺+$+*+勺+鼻■+…+3+工，

"占242222324252"~]2"

而當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，2<q+"+%顯然成立,

2

所以當(dāng)九.4,〃GN*時(shí)，匕=?+*+黑+誓色+竿幺+…++署m

2222322522

%_|_"I^3,%^3%一3,0a-2_

，尹尹亍■尹…而萬廠

6%434[%4]?

~2級(jí)2^~21~2^~2^

_。1+。2+。3_1_1p*1p/4+。2+。3_(_1p1p_/+。2+。34_3「

■一—+4^2+2^1<——+4P>>+2P"~一一+4P">

所以匕<生墨烏+(匕，即以<%+,+%,

所以f條<色土竽幺，得證.

;=1，，

【點(diǎn)睛】

本題考查由前“項(xiàng)和關(guān)系求等比數(shù)列公比，求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項(xiàng)數(shù)列放縮

證明不等式，屬于難題.

18.(1)證明見解析；(2)-8叵

61

【解析】

(1)要證明面如'_L面ABCD,只需證明PA_L面ABCZ)即可；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4?，AD,"分別為x,>,z軸建系，分別計(jì)算出面AN產(chǎn)法向量。面PBC的法

III

向量％,再利用公式計(jì)算即可.

【詳解】

證明：(1)因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，所以AD=AB=8

又因?yàn)镻A=6,20=10,滿足厚2+4)2=pf)2,

所以Q4LAQ

又P4_LAB,A￡>u面ABC￡>,AB1面ABC。，

ABoAD-A,

所以Q4上面ABCO.

又因?yàn)镻Au面%尸，所以，面

（2）由（1）知AB，AD,AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD,AP分別為x,》，z軸建系如圖所示,

則A（0,0,0）,P（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,￡>（0,8,0）則N（4,4,3）,F（8,4,0）.

所以通=（8,4,0）,A7V=（4,4,3）,比=（0,8,0）,PC=（8,8,-6）,

—.、n,?AF-08x,+4y,=0

設(shè)面ATVF法向量為勺=a，y,zj,則由《一皿八得cC，

、"ncAN=0[4%+4y+3Z1=0

33一，33、

令4=1得y|即〃?=[“—5,1〉

同理，設(shè)面PBC的法向量為%=（工2，'2,22），

石?定=08X+8乂-6Z=0

則由＜得22

n^BC=08%=。

令z2=4得々=3,%=o,即鼠=（3,0,4）,

3

-x3+0+lx4

45國(guó)

所以cos<4,“2>=

22

冰|3361，

++12XA/32+42

42

設(shè)二面角A-冊(cè)―。的大小為6,則

cos6=—cos<I，n；>=—萼

所以二面角A-N尸-。余弦值為-孑叵.

61

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),

是一道中檔題.

19.（1）—+^-=1（2）歸+起為定值0,見解析

82

【解析】

（1）利用已知條件直接求解。力，得到橢圓的方程;

（2）設(shè)直線在）'軸上的截距為“，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)A（AX）,B（x2,y2）,利用韋達(dá)定理

求出勺+/2,然后化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】

（1）由橢圓過點(diǎn)（0,丘）,則。=0,又a+〃=3夜，所以。=2上，

22

故橢圓的方程為二+匕=1;

82

(2)(+/=0,證明如下:

設(shè)直線在）'軸上的截距為加，所以直線的方程為：y=^x+m,

1

y=—x+m

2

由，22得：+2如+2根2-4=0,

——4--:―=1

[82

由△=4m2-8m2+16>0得一2vmv2,

設(shè)則工]+々=-加，xx=2m2-4,

A(x，yJ,B(x2,y2),212

所以k、+砥鋁+汽=3-1)(：-生也-2)

%)-2x2-2(%]-2j(x2-2)

r11

又=-x+m,

y22

所以玉一根一玉

（y-1）（W-2）+（%-1）（2）=%w+（2）（+x2）-4（m-l）

=2m2—4+（m—2）（—2m）—4（m—1）=0,

故人+&=0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想,

考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

20.（1）y=-l;（2）P（_g,_|）或P（百,1）.

【解析】

試題分析：直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且滿足Q0_LQV,

只需數(shù)量積為0,要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步

利用直線。R的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）解：i§：l：y=kx+b,M（玉,yj,N（x,y）,由/和圓。相切，得網(wǎng)=1.

22“I+1

=/+1.

y=kx+b

由{-2。消去y，并整理得/—丘—〃—2=0,

y-x-2

:.xy+x2=k9x}x2=-b-2.

由（W_LON,得OA/.麗=0，即為%2+乂%=0.

:.玉々+（依+/?）（Ax,+/?）=0.

2

（1+左2）毛工2+妨（X]+x2）+Z?=0,

：.（1+k2）（-b-2）+k2b+b2=0,

：.b2{-b-2）+（b2-}）b+b2=0.

2

：.b+h=0.

"=一1或8=0（舍）.

當(dāng)8=—1時(shí)，k=0,故直線/的方程為y=—l.

⑵設(shè)*的%）,R&,%）,則3=正五=.（二二2H七2）=玉十/.

Xj-X2X]—x2

??%+/=-$/3?

設(shè)分?：k治=4（%-占）由直線和圓相切，得\,二1,

西+1

即（X；一1忻_+￥_1=0.

設(shè)/依：y一為=心（》一/），同理可得：后一2%為女2+乂一1=。.

故勺&是方程(片—1伙2-2%%k+y：T=o的兩根，故4+修=等1.

y=Zr,x+yn-k}x(}.

由{.一「2得xfx+一2=。，故與+xf.

__2JCA7

同理玉)+々=k2，則2%)+xl+x2=ki+k2,gp2x0-V3=

/T

22

?.2X0-V3=-^-,解x0=S或6.

5

當(dāng)寸-作n時(shí)'獷-丁當(dāng)V百時(shí)，

故5

21.(1)y=1.79x+8.02；(2)117人；(3)分布列見解析，E&=*

【解析】

(1)首先求得最和y,再代入公式即可列方程，由此求得y關(guān)于X的線性回歸方程;

(2)根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算可得人數(shù);

(3)和被選中的人數(shù)分別為2和3,利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出自的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

Z%y,一〃x.y

7797-5x53x103251

(1)由題§:匕----------a1.79,

14325-5x532140

/=1

(5=103-1.792x53=8.02

所以線性回歸方程為9=1.79^+8.02

(若第一問求出4=103-1.79x53=8.13夕=L79x+8.13.)

(2)當(dāng)x=61時(shí)，y=1.79x61+8.027117

所以預(yù)測(cè)2019年高考該?？既朊５娜藬?shù)約為117人

(3)由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3,進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)占的所有可能取值為0,