2024屆北京市海淀首經(jīng)貿(mào)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2024屆北京市海淀首經(jīng)貿(mào)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．?dāng)?shù)列中，，且，則數(shù)列前2019項(xiàng)和為（）A． B． C． D．2．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于A． B．C． D．3．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．，2 B．，1 C．，2 D．，14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．645．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．某工廠甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件。為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車(chē)間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=（）A．9 B．10 C．12 D．137．為了從甲、乙兩組中選一組參加“喜迎國(guó)慶共建小康”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).班主任老師將兩組最近的次測(cè)試的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的莖葉圖.若甲、乙兩組的平均成績(jī)分別是.則下列說(shuō)法正確的是（）A．，乙組比甲組成績(jī)穩(wěn)定,應(yīng)選乙組參加比賽B．，甲組比乙組成績(jī)穩(wěn)定.應(yīng)選甲組參加比賽C．，甲組比乙組成績(jī)穩(wěn)定.應(yīng)選甲組參加比賽D．，乙組比甲組成績(jī)穩(wěn)定,應(yīng)選乙組參加比賽8．在中秋的促銷(xiāo)活動(dòng)中，某商場(chǎng)對(duì)9月14日9時(shí)到14時(shí)的銷(xiāo)售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時(shí)到14時(shí)的銷(xiāo)售額為萬(wàn)元，則10時(shí)到11時(shí)的銷(xiāo)售額為（）A．萬(wàn)元 B．萬(wàn)元 C．萬(wàn)元 D．萬(wàn)元9．兩直角邊分別為1,的直角三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的表面積是()A． B．3π C． D．10．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足，則_____.12．已知空間中的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則BC邊上的中線的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．13．設(shè)，，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____14．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，給出下列結(jié)論：①；②直線平面；③平面平面；④異面直線與所成角為；⑤直線與平面所成角的余弦值為.其中正確的有_______（把所有正確的序號(hào)都填上）15．一水平位置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底平行于軸，底角為，兩腰和上底長(zhǎng)均為１的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是．16．在中，已知，則____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求證:平面BDE;(2)若點(diǎn)F在線段PA上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期，并求其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且為鈍角，，求面積的最大值.19．高考改革是教育體制改革中的重點(diǎn)領(lǐng)域和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，全社會(huì)極其關(guān)注.近年來(lái)，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，“”指考生根據(jù)本人興趣特長(zhǎng)和擬報(bào)考學(xué)校及專業(yè)的要求，從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理六科中選擇門(mén)作為選考科目，其中語(yǔ)、數(shù)、外三門(mén)課各占分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來(lái)劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.假定省規(guī)定：選考科目按考生成績(jī)從高到低排列，按照占總體的，以此賦分分、分、分、分.為了讓學(xué)生們體驗(yàn)“賦分制”計(jì)算成績(jī)的方法，省某高中高一（）班（共人）舉行了以此摸底考試（選考科目全考，單科全班排名，每名學(xué)生選三科計(jì)算成績(jī)），已知這次摸底考試中的物理成績(jī)（滿分分）頻率分布直方圖，化學(xué)成績(jī)（滿分分）莖葉圖如下圖所示，小明同學(xué)在這次考試中物理分，化學(xué)多分.（1）求小明物理成績(jī)的最后得分；（2）若小明的化學(xué)成績(jī)最后得分為分，求小明的原始成績(jī)的可能值；（3）若小明必選物理，其他兩科在剩下的五科中任選，求小明此次考試選考科目包括化學(xué)的概率.20．如圖,在四棱錐中,丄平面,，，，，.(1)證明丄;(2)求二面角的正弦值;(3)設(shè)為棱上的點(diǎn),滿足異面直線與所成的角為,求的長(zhǎng).21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項(xiàng)求和法即可得解．【題目詳解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．則數(shù)列前2019項(xiàng)和為：．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項(xiàng)求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2、C【解題分析】

利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過(guò)相除的方法完成本題的解答．【題目詳解】解：由幾何概型的計(jì)算方法，可以得出所求事件的概率為P=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型的辨別，考查學(xué)生通過(guò)比例的方法計(jì)算概率的問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生幾何圖形面積的計(jì)算方法，屬于基本題型．3、B【解題分析】

將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，由此求得圓心和半徑.【題目詳解】由，得，所以圓心為，半徑為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓心和半徑的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.5、C【解題分析】

根據(jù)二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)平移變換原則可得；當(dāng)時(shí)，；利用正弦函數(shù)的圖象可知若的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)可得，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：由圖象平移可知：當(dāng)時(shí)，，，，，又的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解角的范圍的問(wèn)題，涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)、三角函數(shù)圖象平移變換原則的應(yīng)用等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠利用正弦函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定角所處的范圍.6、D【解題分析】試題分析：：∵甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是120，80，60，∴甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的比依次為6：4：3，丙車(chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品所占的比例，因?yàn)闃颖局斜?chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品有3件，占總產(chǎn)品的，所以樣本容量n=3÷=1．考點(diǎn)：分層抽樣方法7、D【解題分析】

由莖葉圖數(shù)據(jù)分別計(jì)算兩組的平均數(shù)；根據(jù)數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)可知乙組成績(jī)更穩(wěn)定；由平均數(shù)和穩(wěn)定性可知應(yīng)選乙組參賽.【題目詳解】；乙組的數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)附近乙組成績(jī)更穩(wěn)定應(yīng)選乙組參加比賽本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖的相關(guān)知識(shí)，涉及到平均數(shù)的計(jì)算、數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的估計(jì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】分析：先根據(jù)12時(shí)到14時(shí)的銷(xiāo)售額為萬(wàn)元求出總的銷(xiāo)售額，再求10時(shí)到11時(shí)的銷(xiāo)售額.詳解：設(shè)總的銷(xiāo)售額為x,則.10時(shí)到11時(shí)的銷(xiāo)售額的頻率為1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10時(shí)到11時(shí)的銷(xiāo)售額為.故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖求概率、頻數(shù)和總數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.(2)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1，頻率=.9、A【解題分析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式可得．【題目詳解】由題得直角三角形的斜邊為2，則斜邊上的高為.由題知該幾何體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，其中，故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)體的定義，圓錐的表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

兩邊取倒數(shù)，可得新的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.【題目詳解】由，所以則，又，所以所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公比的等差數(shù)列所以，則所以故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由遞推公式得到等差數(shù)列，難點(diǎn)在于取倒數(shù)，學(xué)會(huì)觀察，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由遞推公式逐步求出.【題目詳解】.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

先求出BC的中點(diǎn)，由此能求出BC邊上的中線的長(zhǎng)度.【題目詳解】解：因?yàn)榭臻g中的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以BC的中點(diǎn)為，所以BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形中中線長(zhǎng)的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

根據(jù)題意，可以求出，根據(jù)可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出的值.【題目詳解】故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.14、①③④⑤【解題分析】

設(shè)出幾何體的邊長(zhǎng)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，異面直線所成角，線面角有關(guān)知識(shí)，對(duì)五個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的序號(hào).【題目詳解】設(shè)正六邊形長(zhǎng)為，則.根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)可知，由平面得，所以平面，所以，故①正確.由于，而，所以直線平面不正確，故②錯(cuò)誤.易證得,所以平面，所以平面平面，故③正確.由于,所以是異面直線與所成角，在中，，故，也即異面直線與所成角為，故④正確.連接，則，由①證明過(guò)程可知平面，所以平面，所以是所求線面角，在三角形中，，由余弦定理得，故⑤正確.綜上所述，正確的序號(hào)為①③④⑤.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線面垂直的判定，面面垂直的判定，考查線線角、線面角的求法，屬于中檔題.15、【解題分析】如圖過(guò)點(diǎn)作，，則四邊形是一個(gè)內(nèi)角為45°的平行四邊形且，中，，則對(duì)應(yīng)可得四邊形是矩形且，是直角三角形，．所以16、84【解題分析】

根據(jù)余弦定理以及同角公式求得，再根據(jù)面積公式可得答案.【題目詳解】由余弦定理可得，又，所以，所以.故答案為：84【題目點(diǎn)撥】本題考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M，則FM⊥平面ABCD，進(jìn)一步利用求得最后利用平行線分線段成比例求出λ的值試題解析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依據(jù)題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點(diǎn)O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M，則FM⊥平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，則△PBC為直角三角形，所以，則直角三角形△ABD的面積為，由FM∥PO得：考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積18、（1）最小正周期；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】

（1）利用二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)函數(shù)為；利用可求得最小正周期；令解出的范圍即可得到單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由可得，根據(jù)的范圍可求出的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出的最大值，代入三角形面積公式求得結(jié)果.【題目詳解】（1）最小正周期：令得：的單調(diào)遞減區(qū)間為：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間.（2）由得：，解得：由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即面積的最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)最小正周期和單調(diào)區(qū)間的求解、解三角形中三角形面積最值的求解問(wèn)題；涉及到二倍角公式和輔助角公式的應(yīng)用、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用等知識(shí)；求解正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用解法為整體代入的方式，通過(guò)與正弦函數(shù)圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解.19、(1)70分(2)(3)【解題分析】

（1）先求出此次考試物理成績(jī)落在內(nèi)的頻率，再由小明的物理成績(jī)即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)選考科目按考生成績(jī)從高到低排列，按照占總體的，以此賦分分、60分、50分、40分，結(jié)合莖葉圖中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果；（3）先記物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治依次為，用列舉法列舉出小明的所有可能選法，再列舉出小明此次考試選考科目包括化學(xué)的選法，基本事件的個(gè)數(shù)之比就是所求概率.【題目詳解】解：（1），此次考試物理成績(jī)落在內(nèi)的頻率依次為，概率之和為小明的物理成績(jī)?yōu)榉郑笥诜?小明物理成績(jī)的最后得分為分.（2）因?yàn)?0名學(xué)生中，賦分分的有人，這六人成績(jī)分別為89,91,92,93,93,96；賦分分的有人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分?jǐn)?shù)分別為；因?yàn)樾∶鞯幕瘜W(xué)成績(jī)最后得分為分，且小明化學(xué)多分，所以小明的原始成績(jī)的可能值為；（3）記物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治依次為，小明的所有可能選法有：共種，其中包括化學(xué)的有共種，若小明必選物理，其他兩科在剩下的五科中任選，所選科目包括化學(xué)的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布直方圖與莖葉圖，以及古典概型，熟記古典概型的概率計(jì)算公式即可求解，屬于?？碱}型.20、(1)見(jiàn)證明；(2)；(3)【解題分析】

（1）要證異面直線垂直，即證線面垂直，本題需證