5.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第2課時(shí)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第2課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式復(fù)習(xí)引入1.兩角差的余弦公式是如何推導(dǎo)的?根據(jù)三角函數(shù)的定義及圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，借助兩點(diǎn)間距離的坐標(biāo)公式推導(dǎo)出.2.兩角差的余弦公式C

(α-β)是如何表示的？cos(

–

)=cos

cos

+sin

sin

3.兩角差的余弦公式C

(α-β)的結(jié)構(gòu)特征？左邊兩角差的余弦，右邊是同名三角函數(shù)乘積的和，可用口訣“余余正正，符號(hào)相反”記憶公式．4.思考：由公式C(α-β)出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？學(xué)習(xí)新知你能依據(jù)α＋β與α－β之間的聯(lián)系，利用公式C(α－β)，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式cos(α＋β)嗎？探究1注意到α＋β=α－(－β)cos(

–

)=cos

cos

+sin

sin

則由公式C(α－β)，有cos(α＋β)=cos[α－(－β)]=cosαcos(－β)+sinαsin(－β)=cosαcosβ-sinαsinβ于是得到了兩角和的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(α+β)．cos(

+

)=cos

cos

–sin

sin

請(qǐng)同學(xué)們指出該公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn).兩角和與差的余弦公式cos(

–

)=cos

cos

+sin

sin

cos(

+

)=cos

cos

–sin

sin

使用條件：α，β都是任意角.記憶口訣：“余余正正(哭哭喪喪），符號(hào)相反”.理一理也就是說(shuō)，和角余弦等于同名積之差，差角余弦等于同名積之和.你能根C(α+β)，C(α－β)及誘導(dǎo)公式五(或六)，推導(dǎo)出用任意角α

，β的正弦、余弦表示sin(α＋β)，sin(α－β)的公式嗎？探究2前面得到了兩角和與差的余弦公式．如何利用兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式得到兩角和與差的正弦公式？

我們知道，用誘導(dǎo)公式五(或六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對(duì)我們今天的問(wèn)題又有什么幫助？公式

五

公式

六

兩角和的正弦公式于是得到了兩角和的正弦公式，簡(jiǎn)記作Ｓ(α+β)．公式的結(jié)構(gòu)特征左邊兩角和的正弦，右邊是異名三角函數(shù)乘積的和，可用口訣“正余余正，符號(hào)相同”記憶公式．現(xiàn)在我們可以如何得到兩角差的正弦公式？方法1：（同前）方法2：在公式S(α＋β)中用－β代替β，可以得到sin(α－β)＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)

＝sinαcosβ－cosαsinβ.簡(jiǎn)記作Ｓ(α-β)．兩角和與差的正弦公式理一理使用條件：α，β都是任意角.記憶口訣：“正余余正(喪哭哭喪），符號(hào)相同”.也就是說(shuō)，和角正弦等于異名積之和，差角正弦等于異名積之差.利用和（差）公式求75°，15°的正弦、余弦的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°–sin45°sin30°sin15°=?cos15°=?練一練探究3你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從S(α±β)，C(α±β)出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式嗎？(這里有什么要求?)(這里又有什么要求?)分子、分母分別除以cosα·cosβ得到兩角差的正切公式(T(

-

))于是，得到兩角和的正切公式(T(

+

))那兩角差的正切呢?在T(α＋β)中以－β代替β，可得注意：1.必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式．

2.注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)．即：tan

，tan，tan(±

)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來(lái)解。如:已知tan=2,求不能用位．

兩角和與差的正切公式理一理符號(hào)上同，下不同兩角和與差的正切公式說(shuō)明：(C(

-

))(C(

+

))cos(

-

)=cos

cos

+sin

sin

cos(

+

)=cos

cos

-sin

sin

(S(

+

))(S(

-

))sin(+)=sin

cos

+cos

sin

sin(

-

)=sin

cos

-cos

sin

(T(

+

))(T(

-

))兩角和與差的正弦、余弦、正切公式整一整成竹在胸余余正正(哭哭喪喪）符號(hào)相反正余余正(喪哭哭喪）符號(hào)相同符號(hào)上同下不同兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的內(nèi)在聯(lián)系C(

-

)C(

+

)-

代

S(

-

)S(

+

)-

代

-

代

T(

+

)相除T(

-

)相除整一整成竹在胸例1.已知

是第四象限角，求的值.解：由

α是第四象限角，于是有相等例1.已知

是第四象限角，求的值.追問(wèn)1：如果去掉“

是第四象限角”這個(gè)條件，則答案如何？追問(wèn)2：在本題條件下有

那么對(duì)于任意角α，此等式成立嗎？若成立，你會(huì)用幾種方法予以證明？提升練習(xí)練習(xí)(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．三角函數(shù)求值中變角的原則方法歸納例2.利用和(差)角公式計(jì)算下列各式的值:

(3)sin20°cos50°—sin70°cos40°1、1化簡(jiǎn)

2、解：鞏固練習(xí)例3.求下列各式的值：

(1)(2)tan17

+tan28

+tan17

tan28

解:(1)原式=∴tan17

+tan28

=tan(17

+28

)(1

tan17

tan28

)=1

tan17

tan28

∴原式=1

tan17

tan28

+tan17

tan28

=1

兩角和與差的正切公式正切公式變形思考：在△ABC中，證明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.求角的大小，要解決兩點(diǎn)：1.確定所求角的范圍，2.求角的某一三角函數(shù)值，特別是要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值，范圍是單調(diào)區(qū)間為好，歸納提升鞏固練習(xí)這兩節(jié)課的內(nèi)容中出現(xiàn)了很多性質(zhì)和公式，它們之間具有怎樣的推出關(guān)系？你能畫一個(gè)結(jié)構(gòu)圖來(lái)反映這種關(guān)系嗎？你在使用這些公式解決問(wèn)題時(shí)有哪些心得體會(huì)？課堂小結(jié)1.兩角和與差三角公式的變通

(1)若cosα＋co