河南省2023年高三理數(shù)二模試卷附參考答案

高三理數(shù)二模試卷

一、單選題

((Iy]

1.己知集合「?1<-<2,8一：r2<v<l；,則((；4)?-()

I12/J

A.[-1.0]B.(-2.-I)

C.(F,-I)D(MD.(-2.-l)U(0,l]

2.已知復(fù)數(shù)i，貝U'的實(shí)部為()

j-?2二

A.—B.--C.-D.

101055

3.從3,5,7,11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為ah,共可得到依，僅人的不同值的

個(gè)數(shù)是()

A.6B.8C.12D.16

4.在正項(xiàng)等比數(shù)列|凡；中，“-2.%+4是“,.。的等差中項(xiàng)，則a,()

A.16B.27C.32D.54

5.已知點(diǎn)是雙曲線/；7的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且?一與x軸垂直,

點(diǎn)0是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()

A.B.V3--C.h久"D.53

22

6.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為()

B.8D.10

3

7.已知點(diǎn)C(2,0),直線kx—y+k=O(k#0)與圓(tif+(i2交于A,B兩點(diǎn)，則“△ABC為

等邊三角形”是“k=l”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

e*+.r.x<0

8.已知函數(shù)/(')=有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)”)的范圍為()

1.OSxSx

A.

(44J

9.在“8C中，點(diǎn)￡為4c的中點(diǎn)，7F=2FB，8E與CF交于點(diǎn)產(chǎn),且滿足而=入屏，則入的值為()

II?3

A.-B.-C.-D.-

3234

10.已知函數(shù)，(i)=s〃LJ滿足：/('),/：|.若函數(shù)/日在區(qū)間［拓，X［上單調(diào)，且

/(x,)+/(%,)=0,則當(dāng)卜1+..|取得最小值時(shí)，cos(M+x?)=()

A.」B.-C.-3D.g

)2),

H.在正項(xiàng)數(shù)列m.；中,'圮'(a,+l)(a.i+Wq+q.J整數(shù)，"滿足

伙(1(1+11”伙怦尸T)，則數(shù)列間的前加項(xiàng)和為()

A55「9II

A.DB.—C.—Dn.

11122224

12.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(2x+l)為偶函數(shù)，f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,3)成中心對(duì)

稱，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()

①〃幻的一個(gè)周期為2②/(22)=3

③￡八。=5：,7④直線、=4是/口)圖象的一條對(duì)稱軸

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

13.曲線,1-(ar+2d在點(diǎn)(。，2)處的切線的斜率為-2，則。.

14.(1+Vxf(lV'A)'的展開式中x的系數(shù)為.

15.過原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線分別交拋物線/一2］,于A,B兩點(diǎn)(A,B均不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合)，則

拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的最大距離為.

16.在三棱柱,4AC-44a中，平面ABCJ_平面448產(chǎn)，平面機(jī)，平面44。產(chǎn)，側(cè)棱C0與底面所

成的角為60。，.484.II,2,D為/8的中點(diǎn)，二面角《IC8的正切值為2、C，則四棱錐

C的外接球的表面積為.

三、解答題

-.1-

17.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,旦mH?行.

C

(1)求角C；

(2)若c=4,AABC的面積為4j3，求a,b.

18.相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%,城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國(guó)民體質(zhì)測(cè)定標(biāo)

準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對(duì)其會(huì)員進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作成如下兩個(gè)統(tǒng)

圖2為會(huì)員一個(gè)月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖.

若將會(huì)員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類,

將一個(gè)月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會(huì)員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會(huì)員稱為“健身愛好者”,

且已知在“健身達(dá)人”中有’是“年輕人”.

（1）現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下方2X2

列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)?

年輕人非年輕人合計(jì)

健身達(dá)人

健身愛好者

合計(jì)

附:

尸（尸川0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K:

（2）將（1）中相應(yīng)的頻率作為概率，該健身連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取3名會(huì)員進(jìn)行回訪，設(shè)3名會(huì)員中既

是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，平面PADJ_平面ABCD,ZBAD=60°,PA=PD二出，

AB=2,M為PC上一點(diǎn)，且西3VC.

p

(1)求異面直線AP與DM所成角的余弦值.

(2)在棱PB上是否存在點(diǎn)N,使得/V’平面BDM?若存在，求；;的值；若不存在，說(shuō)明理由.

20.已知橢圓G'一+：=1(U>6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,F,6為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(不在x軸上)在

C上運(yùn)動(dòng)，且<小/￡尸八的最小值為:.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過E的直線1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,記的內(nèi)切圓的半徑為r,求r的取值范圍.

21.已知函數(shù)f(x}=xc'-e(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(v)的最小值;

(2)若函數(shù)g|t)/(v)AInv有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

|X■I+y/SlttsO

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線”的參數(shù)方程為為參數(shù)，Ow[O.2n),直線4的

|V=I+\fSsinQ

參數(shù)方程為二…('為參數(shù),『吟),直線人4垂足為。?以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)分別寫出曲線”與直線/的極坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)直線(、/.分別與曲線”交于工C與小。，順次連接力、8、C、。四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成四邊形和

求W-8(：+(/)：+/〃.

23.已知二次函數(shù)-小；?尿，,,

(1)已知A.<是正實(shí)數(shù)，且，求證：、u卜、h卜vIvA;

(2)若對(duì)任意xR,不等式/(K)22m+8恒成立，求/,，的最大值.

a

1.D

2.A

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.B

9.B

10.A

11.B

12.B

13.-4

14.-3

15.''

2

64it

16.?

17.⑴解:依題意由“人M"一得+?力-U

c

根據(jù)正弦定理得、；〃（「八.I.1\JH.4smti-0，

貝ijsmCcoxA?y/SsinCsinA-$inA-sin（J?（|=0,

則\m（\mJ14-xinA-sinAcosC^coiAsinC=0，

所以、-\in,l"〃』（〃、（0，

由于0《/，所以、所以、Q〃心?l-mrC=0，

所以2（s/〃C、?”，、（,；）=I,則C-：）=l,

由于0<C4n,則。:.

（2）解：由題意：Si4ar=—absinC=-^-ab-4^3，所以ab=16.

又由余弦定理（?二〃-+Z?2ahc（nC以及c=4,

得〃.八afr?l6，所以".八32，所以（。-〃>-322,160,

所以a=b=4.

18.(1)解：根據(jù)年輕人標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合圖1可得年輕人占比為80%,則年輕人人數(shù)為100x80%=80,

則非年輕人為20人，

根據(jù)圖2表格得健身達(dá)人所占比60隊(duì)所以其人數(shù)為100x60妒60,根據(jù)其中年輕人占比‘，

6

所以健身達(dá)人中年輕人人數(shù)為60?'50,則非年輕人為10人；

6

健身愛好者人數(shù)為100-60=40,再通過總共年輕人合計(jì)為80人，則健身愛好者中年輕人人數(shù)為80-50=30,

根據(jù)非年輕人總共為20人，則健身愛好者中非年輕人人數(shù)為20-10=10,

所以列聯(lián)表為

年輕人非年輕人合計(jì)

健身達(dá)人501060

健身愛好者301040

合計(jì)8020100

,lOOx50x10-30x10)*

-------i----------------------1.042<3.841，

80x20x60x40

所以沒有95%的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān).

(2)解：由(1)知，既是年輕人又是健身達(dá)人的概率為:，

則隨機(jī)變量X滿足二項(xiàng)分布'B工：，'=0,1.23，

故X的分布列：

X0123

33\_

P

8

則工的數(shù)學(xué)期望為I*'+2x1+3」-；.

XSQ

19.(1)解：設(shè)。是X。的中點(diǎn)，連接OP.

由于尸.4=&)=石，所以“一.40，

由于平面PAD_L平面ABCD且交線為4OP平面/M。,

所以。P,平面,48(7),

由于08、平面4伙刀，所以0P.08,

在菱形.4伙7)中，/B.4D&T,所以三角形是等邊三角形，所以(M.仞，

故。I.OR-0P兩兩相互垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

OP=>/n=20-0.2)./(LOQ),8(O.7IO).C(-2.734)),D(-IXM)),

"=(-1.0,2),DM?DPPM?DPPC

4

=(1.0,2)+j(-2.Vi-2)=?

所以直線AP與DM所成角為U,

(2)解:兩■孚麗,

設(shè)平面的法向量為，j=1I，丫，二)，

H-DM=-?+v+-z?0

則42,

小DB=x+>/3y=0

故可設(shè)萬(wàn)16,2vl15).

N*平面8?！?，設(shè)翳=入，則方=Ji而，

而=9+兩M押+入屋

>(-14.2)*k(aV3.-2)?(-I.V31.2-2X)

若.IV,7平面80”,貝I」而?斤=6+&-15(2-2入)=?24+36).=0,

解得人

所以在棱PB上是存在點(diǎn)N,使得.八’平面BDM且

PB3

20.（1）解：由題意得q=2，

設(shè)仍用，儼/胃的長(zhǎng)分別為m,n,/?r+/?-2d4?

則在中，由余弦定理可得

當(dāng)且僅當(dāng)加〃時(shí)取等號(hào)，從而］=

，/

得‘13

d4

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

43

（2）解：設(shè)”（V）.v|,.V（v.rj,

由題意，根據(jù)橢圓的定義可得內(nèi)；1八的周長(zhǎng)為4uS,

=所以“亂…，

設(shè)1的方程為、=八+1,聯(lián)立橢圓方程汽：,4『一12,

整理可得（4?獷）/Hvi-90,易知A>0

6,9

且M+工-一,,,'L力=".,2，

4+3r4+3/

s.y+%”=；1耳段也1+；怩用?聞=；1￡用也一乂1

二；忻用（（乂+必'）-4yM

所以r=

4+311

令護(hù)，I-k?則AT，

M3

3A413A+'，

k

令函數(shù)/(、)3A-LicIl.Kz),則，'(V=3-J,

x*X

當(dāng)?工)時(shí)，/'⑴3-1?()恒成立，所以/(r)=八」在x匚/+上)上單調(diào)遞增,

33

則3A?24,所以°,；71G,

即0<「4',

4

故r的取值范圍為0<r?’.

4

21.(1)解：函數(shù)/”)=(l+x)b,

令/卜)=0，解得I-I.

當(dāng)re(-x,I)時(shí)，/")<0,f(r)單調(diào)遞減；

當(dāng)X€(I.^-x)時(shí)，/1(.V)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(')有最小值心(\卜，(-1)二Je

(2)解：g(.r)=.re,-ilni-e(x>0)>g(l)=O.

當(dāng)A-0時(shí)，函數(shù)g(i|是增函數(shù)，K(v)有唯一的零點(diǎn)，與已知矛盾.

當(dāng)4>0時(shí)，K,(.r)=1lIA)C,L甲+x)」”,

XX

令加“一1(1一”"，貝Ul(i)=(l+3x+i)/>0,所以是增函數(shù).

又〃(0)=k<0,=+-k>kk0,

故存在J^€(0.+x),使%(4)=%(1+/)戶-4=0,即i=x0(l+x0)e''.

當(dāng)xt(0,v?)時(shí)，力(x)<0,即8,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)X&(1?,-/)時(shí)，//(.<)-0,即g'(i)-0,g(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)&(、)有最小值，且8(%).二*。1*InV<i9'i,lI??.)eln1

1(。)=i--(1+%卜"Inr“-e=-(l+3>+YHlnq,

當(dāng)x0e(O.I|時(shí)，內(nèi).%)>0,單調(diào)遞增；

當(dāng)A,6(I.+'T|時(shí)，*'((卜。，V,I單調(diào)遞減，

所以-KO0-

當(dāng)A-(0.11時(shí)，存在*w(0,。)使g|1)1),再浦1)一()，故露"有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn);

當(dāng)!?時(shí)，此時(shí)k2c,K(n有唯一的零點(diǎn)品；

當(dāng)。匚(I.+■工)時(shí)，存在v.e(.v,.>x)使對(duì)與)=0,再g(l)=0,故g(.v)有且僅有兩個(gè)不同的零

點(diǎn).

綜上所述，人(0Z)u(2*r).

3=m?0

22.(1)解：由，”的參數(shù)方程，可得'[,則(\?(I=5,即/?/2x2y=3，

匕L=S訪e

p"2po2P.”w03.

由題設(shè)知：乙為故(的極坐標(biāo)方程為0-a,又/?一(，

二/、為'+。且“€(0/).

22

(2)解：由題設(shè)知：pBf+lBCf+L+pd=為研+四|1+|OCf

若"OR\.p=OD,p.\0A\.p4\OC,

l>=--*-a