貴州省各地區(qū)2022年中考數(shù)學(xué)真題按題型難易度分層分類匯編-07解答題（提升題）

貴州省各地區(qū)2022年中考數(shù)學(xué)真題按題型難易度分層分類匯編

-07解答題（提升題）

一.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共1小題）

1.（2022?六盤水）如圖，正比例函數(shù)），=x與反比例函數(shù)尸烏的圖象交于4,B兩點.

x

（1）求A,2兩點的坐標(biāo)；

（2）將直線），=x向下平移。個單位長度，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點C,

與x軸交于點￡）,與y軸交于點E,若型=_1,求a的值.

DE3

二.二次函數(shù)綜合題（共6小題）

2.（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為和諧

點.例如：點a,1）,（X.1）,（-&,-&）,……都是和諧點.

22

（1）判斷函數(shù)y=2x+l的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標(biāo)；

（2）若二次函數(shù)），=0^+6了+。（a/0）的圖象上有且只有一個和諧點（$,—

22

①求4,C的值；

②若IWxWm時，函數(shù)y=G?+6x+c+』（。六0）的最小值為-1,最大值為3,求實數(shù)相

4

的取值范圍.

3.（2022?貴陽）已知二次函數(shù)

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)（用含。，力的代數(shù)式表示）；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,8兩點，A5=6,且圖象

過（1,c）,（3,d）,（-1,e）,（-3,/）四點，判斷的d,e,，的大小，并說明理由；

（3）點M（小，〃）是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)-2＜加〈1時，〃的取值范圍是-

求二次函數(shù)的表達(dá)式.

y/i

6-

5-

4一

3

2

?iiiii?

-6-5-4-3-2-10123456T

-1

-5

-6

4.（2022?遵義）新定義：我們把拋物線），=/+歷;+c（其中曲/0）與拋物線），=b/+ax+c

稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”.例如：拋物線y=2f+3x+l的''關(guān)聯(lián)拋物線”為：y=3/+2x+l.已

知拋物線Ci：y=4o?+ax+4a-3（a#0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2.

（1）寫出C2的解析式（用含。的式子表示）及頂點坐標(biāo)；

（2）若a>0,過x軸上一點P,作x軸的垂線分別交拋物線Ci,C2于點M,N.

①當(dāng)MN=6a時，求點P的坐標(biāo)；

②當(dāng)a-40Wa-2時，C2的最大值與最小值的差為2a,求〃的值.

5.（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+fev+c與x軸交于A,B兩

點，與y軸交于點C,頂點為。（2,1）,拋物線的對稱軸交直線8c于點E.

（1）求拋物線y=-x^+bx+c的表達(dá)式；

（2）把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為/?（人>0）,在平移過程中，該

拋物線與直線BC始終有交點，求力的最大值；

（3）M是（1）中拋物線上一點，N是直線BC上一點.是否存在以點。，E,M,N為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.(2022?黔東南州)如圖，拋物線y=o?+2x+c的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點A,B

(3,0),與y軸交于點C,連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點。作。軸，垂足為點M,

OM交直線BC于點N,是否存在這樣的點N,使得以A,C,N為頂點的三角形是等腰

三角形.若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由：

(3)已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點F,使以點8、C、E、

尸為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.(2022?黔西南州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點A(4,0)的直線AB與y軸交于

點8(0,4).經(jīng)過原點。的拋物線.v=-f+fer+c交直線于點A,C,拋物線的頂點

為D.

(1)求拋物線y--^+bx+c的表達(dá)式；

(2)M是線段A8上一點，N是拋物線上一點，當(dāng)軸且MN=2時，求點M的坐

標(biāo)；

（3）P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點.是否存在以點A,C,P,Q為

頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

三.四邊形綜合題（共4小題）

8.（2022?黔西南州）如圖，在正方形ABCQ中，E,F分別是BC,邊上的點（點E不

與點5,C重合），且NEAF=45°.

（1）當(dāng)時，求證：AE^AF；

（2）猜想BE,EF,。尸三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）連接AC,G是CB延長線上一點,GH±AE,垂足為K,交AC于點H且GH=AE.若

DF=a,CH=b,請用含a,b的代數(shù)式表示EF的長.

圖1圖2圖3

9.（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個兒何問

題：

如圖1,△ABC和△BOE都是等邊三角形，點4在OE上.

求證：以AE、A。、AC為邊的三角形是鈍角三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC,根據(jù)已知條件，可以證明。C=AE,Z

AZ）C=120°,從而得出△AOC為鈍角三角形，故以AE、AD,AC為邊的三角形是鈍角

三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】（2）如圖2,四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點4在EG上.

①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若AE2+AG2=10,試求出正方形A8CD的面積.

10.（2022?安順）如圖1,在矩形ABCD中，AB=\0,AO=8,E是邊上的一點，連接

CE,將矩形ABCD沿CE折疊，頂點D恰好落在AB邊上的點尸處，延長CE交BA的延

長線于點G.

（1）求線段4E的長；

（2）求證四邊形。GFC為菱形；

（3）如圖2,M,N分別是線段CG,OG上的動點（與端點不重合），且NDMN=/DCM,

設(shè)EW=x,是否存在這樣的點N,使△OMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若

不存在，請說明理由.

11.（2022?銅仁市）如圖，在四邊形A8CZ）中，對角線AC與8。相交于點O,記△COO的

面積為Si,△AOB的面積為S2.

（1）問題解決：如圖①，若AB〃CQ,求證：_±=匹幽

S20A-0B

（2）探索推廣：如圖②，若AB與C。不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證

明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在0A上取一點E,使OE=OC,過點E作EF〃C￡＞交0。于

點凡點”為AB的中點，0H交EF于點G,且0G=2GH,若強=回，求且值.

0A6S2

四.圓的綜合題（共1小題）

12.（2022?遵義）綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂

點共圓.該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問題:

如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點8,D,連接AO,AB,BC,CD,如果那么A,

B,C,。四點在同一個圓上.

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點A,C,。的在劣弧4c上取一點E（不與A,C重合），連接AE,

CE,則NAEC+NQ=180°（依據(jù)1）

,：4B=4D

：.N4EC+/8=180°

...點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

...點8,。在點A,C,E所確定的。。上（依據(jù)2）

...點A,B,C,。四點在同一個圓上

反思?xì)w納：

（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形A8CQ中，Z1=Z2,N3=45°,則/4的度數(shù)為.

拓展探究：

（3）如圖4,已知△A8C是等腰三角形，AB=AC,點。在BC上（不與BC的中點重合）,

連接AD作點C關(guān)于的對稱點E,連接EB并延長交A。的延長線于尸，連接4E,

DE.

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2?AD-AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明

理由.

A

五.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

13.（2022?安順）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動通信技術(shù)日趨完善，某市政府為

了實現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021?2025年擬建設(shè)5G基站3000個，如圖，在斜坡CB上有

一建成的5G基站塔AB,小明在坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°,然后他沿坡面C2

行走了50米到達(dá)。處,O處離地平面的距離為30米且在D處測得塔頂A的仰角53°.（點

A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°弋至cos53°弋3,

55

tan53°

3

（1）求坡面CB的坡度；

（2）求基站塔A3的高.

六.可能性的大?。ü?小題）

14.（2022?六盤水）為倡導(dǎo)“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系統(tǒng)特舉辦教職

工氣排球比賽.比賽采取小組循環(huán)，每場比賽實行三局兩勝制，取實力最強的兩支隊伍

參加決賽，從C組的比分勝負(fù)表中知道二中勝4場負(fù)1場.

教職工氣排球比賽比分勝負(fù)表

C組一中二中三中四中五中六中

一中\(zhòng)21：1621：1921：922：2415：21

14：2124：2221：235：2118：21

12：1515：9

二中16：21\21：1321：1314：2122：20

21：1421：1721：1119：2119：21

15：1216：14

三中19：2113：21\21：1621：18B'

22：2417：2121：186：21

12：15

四中9：2113：2116：21\21：11

23：2111：2118：219：21

9：158：15

(2)若A處的比分是21：10和21：8,并且參加決賽的隊伍是二中和五中，則B'處的

比分可以是和(兩局結(jié)束比賽，根據(jù)自己的理解填寫比分)；

(3)若A'處的比分是10：21和8：21,B處的比分是21：18,15：21,15：12,那么

實力最強的是哪兩支隊伍，請說明理由.

貴州省各地區(qū)2022年中考數(shù)學(xué)真題按題型難易度分層分類匯編

<7解答題（提升題）

參考答案與試題解析

一.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共1小題）

1.（2022?六盤水）如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點.

x

（1）求4,B兩點的坐標(biāo)；

（2）將直線y=x向下平移a個單位長度，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點C,

與x軸交于點。，與y軸交于點E,若空=_1,求a的值.

DE3

【解答】解：（1）???正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=匹的圖象交于A、B兩點,

X

?Y=4

X

解得x=±2（負(fù)值舍去），

（2,2）,8（-2,-2）；

（2）,??直線y=x向下平移a個單位長度，

，直線CD解析式為：y=x-a,

當(dāng)y=0時，x=a,

?,?點。的坐標(biāo)為（m0）,

如圖，過點。作CfJLx軸于點R

：.CF//OE,

?FD-CD-1

DODE3

：.FD=^a,

3

：.OF=OD+FD=^a,

3

??,點C在直線CD上,

.\y=-±a-a=-=-a,

33

；.CF=L,

3

.?.點C的坐標(biāo)是（&,工）.

33

?.?點C在反比例函數(shù)y=9的圖象上,

X

；.Lx曳（=4,

33

解得4=±3（負(fù)值舍去），

二.二次函數(shù)綜合題（共6小題）

2.（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為和諧

點.例如：點（1,1）,（X.1）,（-近,-&）,……都是和諧點.

22

（1）判斷函數(shù)y=2x+l的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標(biāo)；

（2）若二次函數(shù)y=a?+6x+c（aWO）的圖象上有且只有一個和諧點（立，5）.

22

①求m。的值；

②若IWxW加時，函數(shù)y=or2+6x+c+」（〃W0）的最小值為-1,最大值為3,求實數(shù)相

的取值范圍.

【解答】解：（1）存在和諧點，理由如下,

設(shè)函數(shù)）=2什1的和諧點為（x,x）,

2x+1=龍,

解得x=-1,

???和諧點為(-1,-1);

(2)①，.,點吟，卷)是二次函數(shù),=渥+6_￥+。(啟0)的和諧點，

.?.互=^?+]5+c,

24

?.?「C—_—25—〃cl一-■25■>

42

?.,二次函數(shù)y=or2+6x+c(aWO)的圖象上有且只有一個和諧點，

/.at2+6x+c=jc有且只有一個根，

△=25-4ac=0,

.".a--1,c--

4

②由①可知y=-f+6x-6=-(x-3)2+3,

拋物線的對稱軸為直線x=3,

當(dāng)x=l時，y=-1，

當(dāng)x=3時，y=3,

當(dāng)x=5時，y=-1,

?.?函數(shù)的最大值為3,最小值為-1；

當(dāng)3WmW5時，函數(shù)的最大值為3,最小值為-1.

3.(2022?貴陽)已知二次函數(shù)y=a?+4ax+R

(1)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)(用含m匕的代數(shù)式表示)；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于4,B兩點，AB=6,且圖象

過(1,c),(3,J),(-1,e),(-3,/)四點，判斷c,d,e,/的大小，并說明理由；

(3)點〃)是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)-2WmWl時，〃的取值范圍是-

求二次函數(shù)的表達(dá)式.

6

5

4

3

2

-6-5-4-3-2-103456

-1

-2

-3

一4

-5

-6

【解答】解：(1)***y=ax2+4or4-Z>=a(x+2)2-4rz+/?,

???二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為(-2,-4〃+6).

(2)由(1)得拋物線對稱軸為直線x=-2,

當(dāng)。>0時，拋物線開口向上，

V3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3),

*.d>c>e=f.

當(dāng)〃V0時，拋物線開口向下，

V3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3),

：.d<c<e=f.

(3)當(dāng)。>0時，拋物線開口向上，元>-2時，y隨無增大而增大，

.?./%=-2時，n--1,m=1時，n=1,

.f-l=4a_8a+b

1l=a+4a+b

a4

解得《

當(dāng)“<0時，拋物線開口向下，x>-2時，），隨x增大而減小,

???加=-2時，幾=1,機(jī)=1時，n=-1,

(b-4a=l

Ia+4a+b=-1

解得《

y=

綜上所述，-2或y--23-B+工.

'999-999

4.（2022?遵義）新定義：我們把拋物線y=a/+/>x+c（其中HW0）與拋物線y=b/+ox+c

稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”.例如：拋物線y=2』+3x+l的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y=3，+2x+l.已

知拋物線C1：），=4以2+以+4。-3（“#0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2.

（1）寫出C2的解析式（用含a的式子表示）及頂點坐標(biāo);

（2）若a>0,過x軸上一點P,作x軸的垂線分別交拋物線Ci,C2于點M,N.

①當(dāng)MN=6a時，求點P的坐標(biāo)；

②當(dāng)時，C2的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

【解答】解：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C2的解析式為：y=a?+4以+4a-3,

y=a）?+Aax+Aa-3=a（x+2）2-3,

；.C2的頂點坐標(biāo)為（-2,-3）；

（2）①設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，〃，

?.,過點尸作x軸的垂線分別交拋物線Ci,C2于點M,N,

:?M（m,4〃加一+。m+4。-3）,N（m,am^+4am+4a-3）,

MN=^an^+am+^a-3-^at?T+4am+4a-3）\=\3am2-3am\,

?：MN=6a,

，|3。加2-3Ml=6〃，

解得m--1或〃?=2,

：.P(-1,0)或(2,0).

②的解析式為:y=a(x+2)2-3,

???當(dāng)x=-2時,y=-3,

當(dāng)工=。-4時，y=a(a-4+2)2-3=a(a-2)2-3,

當(dāng)x=a-2時，y=a(a-2+2)2-3=/-3,

根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論,

I、當(dāng)a-4W-2Wa-2時，0<aW2,

且當(dāng)0<aWl時，函數(shù)的最大值為a(a-2)2-3；函數(shù)的最小值為-3,

：.a(a-2)2-3-(-3)=2a,解得a=2-&或a=2+&(舍)；

當(dāng)時，函數(shù)的最大值為“3-3：函數(shù)的最小值為-3,

?*.a3-3-(-3)=2a,解得“=弧或a=-&(舍)；

H、當(dāng)-2Wa-4Wa-2時，a22,

函數(shù)的最大值為1-3,函數(shù)的最小值為a(a-2)2-3；

.?./-2-[a(a-2)2-3]=2a,

解得(舍)；

2

IIL當(dāng)a-4Wa-2W-2時，aWO,不符合題意，舍去；

綜上，a的值為2-&或&.

5.(2022?畢節(jié)市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=-/+bx+c與x軸交于A,B兩

點，與y軸交于點C,頂點為。(2,1),拋物線的對稱軸交直線BC于點￡.

(1)求拋物線y=-/+fcv+c的表達(dá)式；

(2)把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為〃(〃>()),在平移過程中，該

拋物線與直線BC始終有交點，求/?的最大值；

(3)M是(1)中拋物線上一點，N是直線BC上一點.是否存在以點￡>,E,M,N為

備用圖

【解答】解：(1)?.,拋物線y=-7+fev+c的頂點為O(2,1),

:.拋物線的表達(dá)式為：y=-(x-2)2+1=-f+?-3.

(2)由(1)知，拋物線的表達(dá)式為：y=-7+4x-3,

令x=0,則y=-3,

：.C(0,-3)；

令y=0,貝ljx=l或x=3,

?"(1,0),B(3,0).

???直線3c的解析式為：y=x-3.

設(shè)平移后的拋物線的解析式為：y=-(x-2)2+1-/1,

令-(%-2)2+1-h=x-3,整理得/-3x+/z=0,

??,該拋物線與直線8c始終有交點，

???A=9-4心0,

:.hW生.

4

：.h的最大值為9.

4

(3)存在，理由如下：

由題意可知，拋物線的對稱軸為：直線x=2,

：.E(2,-1),

：.DE=2,

設(shè)點M(m,-蘇+4"?-3),

若以點D,E,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，則分以下兩種情況：

①當(dāng)OE為邊時，DE//MN,

貝！JN(機(jī)，〃2-3),

2

:.MN=\--3-(z?7-3)|=|-m+3m\1

二?|-川+3/川=2,解得加=1或加=2(舍)或m=3"八7或加=二1+\’L'.

___2_2

：.N(1,-2)或(3W17,-3~717)或,-3W17).

2222

②當(dāng)OE為對角線時，

設(shè)點N的坐標(biāo)為t,

則N(f,f-3),

.<m+t=2+2

-m^+4m-3+t-3=1+(-1)

解得m[m=l或[m=2(舍)，

It=3It=2

：.N(3,0).

綜上，點N的坐標(biāo)為N(1,-2)或(生叵，土叵)或(空叵，衛(wèi)叵)

2222

或(3,0).

6.(2022?黔東南州)如圖，拋物線y=o?+2x+c的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點4,B

(3,0),與y軸交于點C,連接4c.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點。作。軸，垂足為點M,

DM交直線BC于點N,是否存在這樣的點N,使得以A,C,N為頂點的三角形是等腰

三角形.若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點尸，使以點B、C、E、

尸為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)拋物線y=o?+2x+c的對稱軸是直線x=l,與無軸交于點A,B(3,0),

(-1,0),

.*-2+c=0,解得卜=-1,

\9a+6+c=0Ic=3

，拋物線的解析式y(tǒng)=-/+2x+3；

(2)-7+2x+3,

：.C(0,3),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,

將點B(3,0)代入得：0=3k+3,

解得：k=-\,

直線BC的解析式為尸=-x+3；

設(shè)點。坐標(biāo)為(f,-P+2r+3),則點N(r,-r+3),

VA(-1,0),C(0,3),

."?AC2=l2+32=10,

AN2—(r+1)2+(-r+3)2=2p-4f+10,

C?=?+(3+r-3)2=2?,

①當(dāng)AC=4N時，AC2=AM,

/.10=2/2-4/+10,

解得fi=2,Z2=0(不合題意，舍去)，

.,.點N的坐標(biāo)為(2,1)；

②當(dāng)AC=CN時，AC2=CN2,

.?.10=2?,

解得”=遙，12=-V5(不合題意，舍去)，

...點N的坐標(biāo)為(遙，3-75):

③當(dāng)AN=CN時，AN2-=CN2,

.*.2?-4/+10=2?,

解得尸巨

2

.?.點N的坐標(biāo)為(§,1)；

22

綜上，存在，點N的坐標(biāo)為(2,1)或(疾,3-遙)或(2，1)；

22

(3)設(shè)E(1,a),F(tn,n),

:B(3,0),C(0,3),

:.BC=3近,

①以5c為對角線時，BC2=C￡2+B￡2,

22

：.E(1,生或(1,衛(wèi)/IL),

22

；B(3,0),C(0,3),

"+1=0+3,n+3+717=0+3或n+3^/17=0+3>

_22

.'.m=2,“=3^^■或n=,

22_

點尸的坐標(biāo)為(2,生叵)或(2,生叵)；

22

②以BC為邊時，BE1=CE1+BC2或CR=BE+BC2,

解得：〃=4或a=-2,

：.E(1,4)或(1,-2),

?:B(3,0),C(0,3),

.*.777+0=1+3,〃+3=0+4或加+3=1+0,〃+0=3-2,

???m=4,〃=1或相=-2,〃=1,

???點E的坐標(biāo)為（4,1）或（-2,1）,

綜上所述：存在，點F的坐標(biāo)為(2,土叵)或(2,如叵)或(4,1)或(-2,

22

1).

7.(2022?黔西南州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點A(4,0)的直線A8與y軸交于

點8(0,4).經(jīng)過原點O的拋物線丫=-』+fev+c交直線AB于點A,C,拋物線的頂點

為D

(1)求拋物線y=-x2+to+c的表達(dá)式；

(2)M是線段A8上一點，N是拋物線上一點，當(dāng)MN〃y軸且MN=2時，求點M的坐

標(biāo)；

(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點.是否存在以點A,C,P,Q為

頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1):拋物線丫=-x2+〃x+c,過點A(4,0)和。(0,0),

.J-16+4b+c=0

[c=0

解得:b=4

c=0

拋物線的解析式為：y=-7+4x；

(2)?.?直線A8經(jīng)過點A(4,0)和B(0,4),

二直線AB的解析式為：.=-x+4,

軸，

設(shè)-r+4),N(f,-P+4f),其中0WfW4,

當(dāng)M在N點的上方時，

MN=-t+4-（-P+4r）=t2-5M4=2,

解得：t\—-———-,/2—■—-———■—（舍），

_22

...MW1L）,

22

當(dāng)M在N點下方時，

MN=-P+41-（-什4）=-P+5L4=2,

解得：力=2,也=3,

：.M1（2,2）,M3（3,1）,

綜上，滿足條件的點M的坐標(biāo)有三個（至二叵，鄴叵）或（2,2）或（3,1）；

22

（3）存在,

①如圖2,若AC是矩形的邊，

P2

設(shè)拋物線的對稱軸與直線AB交于點心且R(2,2),

過點C,A分別作直線AB的垂線交拋物線于點Pi,P2,

VC(1,3),D(2,4),

?**CD=(2-1)2+(4-3)2=V2，

同理得：CR=&,RD=2,

CD2+CR2^DR2,

：.ZRCD=90Q,

...點Pl與點。重合,

當(dāng)CP〃AQi,CPi=AQi時，四邊形ACP1Q1是矩形，

VC(1,3)向右平移1個單位，向上平移1個單位得到P(2,4),

AA(4,0)向右平移1個單位，向上平移1個單位得到。(5,1),

此時直線P1C的解析式為：y=x+2,

???直線尸2A與PlC平行且過點A(4,0),

直線尸M的解析式為：y=x-4,

;點P2是直線y=x-4與拋物線y=-X2+4X的交點，

-X2+4X—X-4,

解得：XI=-1,X2=4(舍)，

：.P2(-1,-5),

當(dāng)AC〃P20時，四邊形AC0P2是矩形，

VA(4,0)向左平移3個單位，向上平移3個單位得到C(1,3),

：.P2(-1,-5)向左平移3個單位，向上平移3個單位得到0(-4,-2)；

②如圖3,若AC是矩形的對角線,

當(dāng)NAP3c=90°時，過點P3作P3“J_x軸于H,過點C作CKLP3H于K,

AZP3KC=ZAHP3=90a,NP3CK=NAP3H,

:.XPKKsAAPbH,

?P3QAH

"~CK~P^H"

2

-

???"■m+4nr3_---4---m---,

m-1-m2+4m

?.?點p不與點A,C重合，

1或機(jī)W4,

.*?-zn2-3/w+l=0,

?,“=3±?

??III-----------,

2__

...如圖4,滿足條件的點p有兩個，即P3（亞叵，昱近?），P4（3-遮,5-y）,

2222

當(dāng)P3C〃AQ3,P3C=AQ3時，四邊形AP3CQ3是矩形，

???P3（旦返，昱匹）向左平移上正個單位，向下平移土區(qū)個單位得到C（1,

2222

3）,

...A（4,0）向左平移上走個單位，向下平移土度個單位得到Q3（上醫(yī)，上匹?）,

2222

當(dāng)凡C〃AQ4,P4c=404時，四邊形AP4C04是矩形，

VP4（生返，5-娓）向右平移土:叵個單位，向上平移2巫個單位得到c（L

2222

3）,

.??A（4,0）向右平移土叵個單位，向上平移上正個單位得到04（=+疸上返）;

2222

綜上，點Q的坐標(biāo)為（5,1）或（-4,-2）或（上返，上運）或（正區(qū)，上

2222

三.四邊形綜合題（共4小題）

8.（2022?黔西南州）如圖，在正方形ABC。中，E,F分別是BC,CO邊上的點（點E不

與點8,C重合），且/E4尸=45°.

（1）當(dāng)BE=D尸時，求證：AE=AF；

（2）猜想BE,EF,力尸三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（3）連接AC,G是CB延長線上一點，GHVAE,垂足為K,交AC于點H且GH=AE.若

DF=a,CH=b,請用含a,6的代數(shù)式表示E尸的長.

圖1圖2圖3

【解答】（1）證明：???四邊形A8C。是正方形,

：.AB=AD,NB=ND=90°,

在△ABE和△ADF中，

'AB=AD

<ZB=ZD>

,BE=DF

A^ABE^/XADF(SAS),

：.AE=AF；

(2)解：如圖1,

BE+DF=EF,理由如下:

在CD的延長線上截取DG=BE,

同理(1)可得：△A8E空ZiAOG(SAS),

/R4E=NZMG,AG=AE,

?.?四邊形ABC。是正方形，

；.NBAD=90°,

\'ZEAF=45°,

NBAE+NDAF=ABAD-/EAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45a,

即：NGA尸=45°,

J.ZGAF^ZEAF,

在△GAP和△E4F中，

"AG=AE

-NGAF=NEAF，

AF=AF

:.△GAF0XEAF(SAS),

；.FG=EF,

：.DG+DF=EF,

：.BE+DF=EF；

(3)如圖2,

作HRLBC于R,

：.Z/7/?G=90°,

；四邊形ABC。是正方形，

:.NABE=90°,ZACB=ZACD=45°,

:.NABE=NHRG,ZBAE+ZAEB=90°,

?/GH±AE,

；.NEKG=90°,

.".ZG+ZAEB=90°,

.?.NG=/R4E,

在AABE和△GR4中，

，ZABE=ZHRG

-ZBAE=ZG，

AE=GH

:.△ABEqAGRH（A45）,

：.BE=HR,

在RtZXCK，中，NAC8=45°,CH=b,

."R-45°=返，

_2

2_

EF=B￡+DF=2^_b+a.

9.（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問

題：

如圖1,△4BC和△BOE都是等邊三角形，點A在QE上.

求證：以4E、AD.AC為邊的三角形是鈍角三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接。C,根據(jù)已知條件，可以證明。C=AE,Z

A￡>C=120°,從而得出△AOC為鈍角三角形，故以AE、AD,AC為邊的三角形是鈍角

三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】（2）如圖2,四邊形A8CD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上.

①試猜想：以AE、4G、4c為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若AE2+AG2=10,試求出正方形ABC。的面積.

；/\ABC和ABOE都是等邊三角形，

：.AB=BC,BE=BD,NABC=NDBE=NE=NBDE=6Q",

ZABC-ZABD=ADBE-ZABD,

即

：./\CBD^/\ABE(SAS),

:.CD=AE,ZBDC=Z￡=60°,

AZADC=ZBDE+ZBDC=120°,

：./\ADC為鈍角三角形，

...以AE、AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.

(2)解：①以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形，理由如下：

如圖2,連接CG,

四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，

：.AB=CB,BE=BG,NABC=NBCD=NEBG=NBGF=9Q°，/EGB=NGEB=45°,

NABC-ZABG=NEBG-ZABG,

即NCBG=/ABE,

：.^CBG^/\ABE(SAS),

：.CG=AE,ZCGB=ZAEB=45°,

；.NAGC=NEGB+NCGB=450+45°=90°,

.?.△ACG是直角三角形，

即以4E、AG,4c為邊的三角形是直角三角形;

②由①可知，CG=AE,NAGC=90°,

：.CG2+AG2^AC2,

:.AE2+AG2^AC2,

VAE2+AG2=10,

.".AC2=IO,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,NABC=90°,

：.AB2+BC2=AC2=\0,

：.AB2^5,

S正方形ABCO=AB2=5?

圖1

10.（2022?安順）如圖1,在矩形ABC。中，AB=10,AD=8,￡是A。邊上的一點，連接

CE,將矩形ABCD沿CE折疊，頂點。恰好落在AB邊上的點F處，延長CE交54的延

長線于點G.

(1)求線段AE的長；

(2)求證四邊形。GFC為菱形；

(3)如圖2,M,N分別是線段CG,0G上的動點(與端點不重合)，且NDMN=NDCM,

設(shè)。N=x,是否存在這樣的點N,使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若

不存在，請說明理由.

【解答】(1)解：?.?四邊形ABC。是矩形，

AZDAB=ZB=ZADC=90°,CD=BD=\0,BC=4O=8,

在Rt^BCF中，CF=CD=IO,8c=8,

：.BF=(y,

：.AF=^AB-BF=4,

設(shè)AE=x,貝ljEF=OE=8-x,

在RtZXAEF中，由勾股定理得，

EF2-A￡2=4產(chǎn)，

(8-x)2-X2=42,

，x=3,

：.AE=3；

(2)證明：?.?四邊形A8CD是矩形,

J.AB//CD,

：.XNGEsXDCE,

?AGAE

-，CD"DE'

由(1)得：AE=3,

：.DE=8-3=5,

???AG~3>

105

?"G=6,

：.FG=AF+AG=4+6=10,

:.FG=CD,

/.四邊形DGFC是平行四邊形，

,:CD=CF,

:DGFC是菱形;

(3)解：...四邊形FGOC是菱形，

乙DGC=NDCG=NFGC=￡/DFG，DG=CD=10,

在RtZXBCG中，BC=8,8G=8F+FG=6+10=16,

tanNFGC=CG=7BC2+BG2=Vs2+162=8^5>

BG2

sin/尸CG=^=幺=恒,

CG8V55

如圖1,

G

當(dāng)NMDN=90°時，

在Rt^GOM中，

￡>M=￡)G”an/OGM=10?tan/FGC=10xJL=5,

2

在Rt/\DMN中，

DN=DM?tanNDMN,

VZDMN=ZDCM,ZDCM=ZFGC,

：.DN=tan/FGC=5X工=5,

22

如圖2,

J

G圖2

當(dāng)NMND=90°時，NDMN+NGDM=90°,

丁NDMN=ZDCM=/DGM,

：.ZDGM+ZGDM=90°,

AZDMG=90°,

DM=OG?sinNDGM=10X恒=2&,

5

在Rt/\DMN中，

DN=DM?sinZDMN=DM?sinZFGC=2代X恒=2,

5

綜上所述：ON=^＞或2.

2

11.(2022?銅仁市)如圖，在四邊形ABCO中，對角線AC與8。相交于點。，記△C。。的

面積為Si,ZVIOB的面積為52.

s

(1)問題解決：如圖①，若A8〃8,求證：—L旦佻

s2OA-OB

(2)探索推廣：如圖②，若A8與CQ不平行，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請證

明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在04上取一點E,使OE=OC,過點E作E尸〃CO交0。于

點尸，點”為AB的中點，0H交EF于點G,且0G=2GH,若毀=9，求包值.

0A6S2

【解答】（1）證明：過點。作AELAC于E,過點B作B