湖北省武漢市江岸區(qū)2024屆高三上學期1月調考數(shù)學試題（原卷版）含答案

湖北省武漢市江岸區(qū)2023-2024學年高三上學期元月調考數(shù)學試題2023~2024學年度高三元月調考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知是關于的方程（p，）的一個根，則（）A.0 B. C.2 D.13.已知向量，，，則（）A. B. C. D.4.函數(shù)在區(qū)間上遞增，則取值范圍是（）A B. C. D.5.若數(shù)列前項和為，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.成語“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，意思是在小小的軍帳之內作出正確的部署，決定了千里之外戰(zhàn)場上的勝利，說的是運籌的重要性.“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“幄帳”，如圖是一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面.若各斜坡面與底面所成二面角的正切值均為，底面矩形的長與寬之比為，則正脊與斜脊長度的比值為（）A. B. C. D.7.已知A，B為雙曲線上不同兩點，下列點中可為線段的中點的是（）A. B. C. D.8.已知在中，，，則（）A B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（）A.正方體的內切球的半徑為B.兩條異面直線和所成的角為C.直線BC與平面所成的角等于D.點D到面的距離為10.已知圓和圓，則（）A.兩圓可能無公共點B.若兩圓相切，則C.直線可能為兩圓的公切線D.當時，若為兩圓的公切線，則或11.設A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（）A.A，B相互獨立 B. C. D.12.已知函數(shù)，，，則（）A.當時，函數(shù)有兩個零點B.存在某個，使得函數(shù)與零點個數(shù)不相同C.存在，使得與有相同的零點D.若函數(shù)有兩個零點，有兩個零點，，一定有三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知如下的兩組數(shù)據(jù)：第一組：10、11、12、15、14、13第二組：12、14、13、15、a、16若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實數(shù)的值為_________.14.若函數(shù)，在上恰有兩個最大值點和四個零點，則實數(shù)ω的取值范圍是______________．15.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構成，如圖所示，則該“十字貫穿體”的體積為_______．16.如圖，橢圓：和：有相同焦點，，離心率分別為，，為橢圓的上頂點，，，，三點共線且垂足在橢圓上，則的最大值是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求；（2）為邊上一點，，且，求．18.如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點，，.將沿折起，使點到達點的位置，使平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20.若數(shù)列滿足：存在等比數(shù)列，使得集合元素個數(shù)不大于，則稱數(shù)列具有性質.如數(shù)列，存在等比數(shù)列，使得集合，則數(shù)列具有性質.若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為.證明：（1）數(shù)列為等比數(shù)列；（2）數(shù)列具有性質.21.已知一個盒子中裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外全部相同.每次從盒子中隨機取出1個球，并換入1個黑球，記以上取球換球活動為1次操作.設次操作后盒子中所剩黑球的個數(shù)為.（1）當時，求的分布列；（2）當時，求的分布列和數(shù)學期望.22.已知拋物線的焦點為F，M為拋物線上一點，且在第一象限內.過作拋物線的兩條切線，，A，B是切點；射線交拋物線于.（1）求直線的方程（用M點橫坐標表示）；（2）求四邊形面積的最小值.2023~2024學年度高三元月調考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)分式不等式求出集合，再根據(jù)集合的交集運算即可求解．【詳解】由，即，解得，所以，又，所以．故選：B．2.已知是關于的方程（p，）的一個根，則（）A.0 B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】把根代入方程，利用復數(shù)的相等求出即可【詳解】是關于的方程的一個根，把代入方程，有，則有，所以.故選：C3.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示及夾角公式求解即可.【詳解】因為，，，所以，，則，，故．故選：A．4.函數(shù)在區(qū)間上遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為：，因為函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以有，故選：A5.若數(shù)列的前項和為，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】必要性顯然成立；由，，得①，同理可得②，綜合①，②，得，充分性得證，即可得到本題答案.【詳解】必要性顯然成立；下面來證明充分性，若，所以當時，，所以，化簡得①，所以當時，②，①②得，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，充分性得證，所以“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷與證明的問題，考查推理能力，屬于中等題.6.成語“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，意思是在小小的軍帳之內作出正確的部署，決定了千里之外戰(zhàn)場上的勝利，說的是運籌的重要性.“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“幄帳”，如圖是一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面.若各斜坡面與底面所成二面角的正切值均為，底面矩形的長與寬之比為，則正脊與斜脊長度的比值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合圖形，多面體中，取的中點，做交于，做底面于點，坡面與底面所成二面角的為、，，設，得斜脊，因為矩形寬，長為8，得，可得答案.【詳解】如圖，多面體中，取的中點，做交于，做底面于點，則點在上，且點到的距離相等，即，做于點，連接，，則平面，所以，所以坡面與底面所成二面角為，又，則平面，所以，坡面與底面所成二面角為，所以正切值，不妨設，，可得斜脊，因為矩形寬，所以長為8，這樣正脊，所以正脊與斜脊長度的比值為即.故選：B.7.已知A，B為雙曲線上不同兩點，下列點中可為線段的中點的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用點差法結合選項得出方程，再與雙曲線方程聯(lián)立一一驗證是否有兩個不同交點即可.【詳解】設的中點，所以，易知，由點差法可得，若，此時，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線只有一個交點，故A錯誤；若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有兩個交點，故B正確；若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有一個交點，故C錯誤；若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，顯然無解，即與雙曲線沒有交點，故D錯誤；故選：B8.已知在中，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先分析題意，利用正弦定理求，然后結合三角形中內角的誘導公式結合同角的三角函數(shù)的基本關系式可求三角函數(shù)式的值.【詳解】因為，故且，故，且，故，故，而，故，故，故故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（）A.正方體的內切球的半徑為B.兩條異面直線和所成的角為C.直線BC與平面所成的角等于D.點D到面的距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正方體和內切球的幾何結構特征，可判定A錯誤；連接，把異面直線和所成的角的大小即為直線和所成的角，為正三角形，可判定B正確；證得平面，進而求得直線與平面所成的角，可判定C正確；結合等體積法，得到，進而可判定D錯誤.公眾號：高中試卷君【詳解】對于A中，正方體的內切球的半徑即為正方體的棱長的一半，所以內切球的半徑，所以A錯誤.對于B中，如圖所示，連接，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線和所成的角的大小即為直線和所成的角的大小，又因為，則為正三角形，即，所以B正確；對于C中，如圖所示，連接，在正方形中，.因為平面，平面，所以.又因為，平面，平面，所以平面，所以直線與平面所成的角為，所以C正確；對于D中，如圖所示，設點D到面的距離為，因為為正三角形，所以,又因為，根據(jù)等體積轉換可知：，即，即，解得，所以D錯誤.故選：BC.10.已知圓和圓，則（）A.兩圓可能無公共點B.若兩圓相切，則C.直線可能為兩圓的公切線D.當時，若為兩圓的公切線，則或【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)題意求出圓和圓的圓心距為，當即可判斷A；分兩圓外切和內切兩種情況即可判斷B；當時即可判斷C；結合選項B可得，當時，兩圓外切，再根據(jù)圓和圓的圓心到直線的距離分別為和即可判斷D．【詳解】由圓的圓心為，圓的圓心為，則圓和圓的圓心距為，對于A，當，即時，兩圓可能相離，即無公共點，故A正確；對于B，當兩圓外切時，，得；當兩圓內切時，，得，故B錯誤；對于C，當時，直線可能為兩圓的公切線，故C正確；對于D，結合選項B可得，當時，兩圓外切，則有，解得或，故D正確．故選：ACD．11.設A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（）A.A，B相互獨立 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用獨立事件、對立事件、互斥事件的定義與概率公式可判定A、B，利用條件概率的定義與公式可判定C、D.【詳解】由題意可知，事件互斥，且，所以，即，故A正確；則，故B正確；由條件概率公式可知：，故C錯誤；，即，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，，，則（）A.當時，函數(shù)有兩個零點B.存在某個，使得函數(shù)與零點個數(shù)不相同C.存在，使得與有相同的零點D.若函數(shù)有兩個零點，有兩個零點，，一定有【答案】ACD【解析】【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，結合零點存在性定理及同構式一一判定選項即可.【詳解】由，令，令，即在上單調遞減，在上單調遞增，即，對于A項，當時，則，又易知，且時，，根據(jù)零點存在性定理可知函數(shù)在和內各有一個零點，故A正確；對于B項，當時，此時，則有一個零點，當時，，則此時無零點，又易得，則，函數(shù)的零點個數(shù)與的零點個數(shù)相同，故B錯誤；對于C項，由A、B項結論可知：當時，有兩個零點，同時有兩個零點，，則根據(jù)單調遞增可知，存在唯一滿足成立，有，若C正確，則只能有，即，由題意易知：，令，則時，，時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，且時，，時，，所以，滿足，即存在，使得與有相同的零點，故C正確；對于D項，由C項結論可知，此時，則由，故D正確.綜上：ACD正確.故選：ACD【點睛】難點點睛：可以先利用導數(shù)含參討論函數(shù)的單調性與最值，結合零點存在性定理判定零點個數(shù)，對于第二項，注意觀察兩個函數(shù)的解析式，利用同構式判定可零點之間的聯(lián)系；第三項，構造函數(shù)利用其單調性可判定同構式是否有解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知如下的兩組數(shù)據(jù)：第一組：10、11、12、15、14、13第二組：12、14、13、15、a、16若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實數(shù)的值為_________.【答案】11或17【解析】【分析】根據(jù)方差公式及其變形即可得到方程，解出即可.【詳解】第一組的平均數(shù)，第二組的平均數(shù)，則第一組的方差為，則第二組的方差為，解得或17.故答案為：11或17.14.若函數(shù)，在上恰有兩個最大值點和四個零點，則實數(shù)ω的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】先化簡函數(shù)式得，再結合三角函數(shù)的圖象與性質，利用整體代換計算即可.【詳解】由三角恒等變換可得，時，有，若要滿足題意則需：.故答案為：15.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構成，如圖所示，則該“十字貫穿體”的體積為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)總體積減去重疊部分的體積求解即可；【詳解】如圖，兩個正四棱柱的重疊部分為多面體，取的中點，則多面體可以分成8個全等三棱錐，則則該“十字貫穿體”的體積為:故答案為：.16.如圖，橢圓：和：有相同的焦點，，離心率分別為，，為橢圓的上頂點，，，，三點共線且垂足在橢圓上，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】將表示為三角函數(shù)的形式，然后根據(jù)三角恒等變換以及三角函數(shù)最值的知識求得的最大值.【詳解】由圖知，則，設，則，則，由于，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：求解橢圓的離心率，方法有很多，如根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的離心率；如根據(jù)已知條件求得的齊次式，從而求得橢圓的離心率；如根據(jù)已知條件求得的齊次式，先求得，然后利用求得橢圓的離心率.公眾號：高中試卷君四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求；（2）為邊上一點，，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知等式去分母，正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡，可得角；（2）由且，利用向量法求得，再結合余弦定理求和.【小問1詳解】已知，由，有，所以，兩邊同乘以abc得：．由正弦定理得：．由，，所以，．【小問2詳解】取、為平面向量的基底．因為D在BC邊上，且，所以．因為，所以，則即，得，所以，．不妨設，．在中，由余弦定理：，所以．由余弦定理：．18.如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點，，.將沿折起，使點到達點的位置，使平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結合長度關系可整的，即，應用平面垂直于平面的性質定理即可證明；（2）作，過作，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，即可應用向量法求解.【小問1詳解】因為四邊形為平行四邊形，由為的中點，，，則為等邊三角形，所以.則，所以等腰三角形，可得，，即，因為平面平面，平面平面，平面，則平面，且平面，所以.【小問2詳解】作，過作，由面面得面則兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系.，，，，設平面的一個法向量為由知可取，同理得平面的一個法向量.設平面與平面的夾角為.則.面與面夾角余弦值為.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析.（2）【解析】【分析】（1）求導以后對導數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，根據(jù)不同的分類判斷函數(shù)的單調性；（2）根據(jù)第1問的結論，將恒成立問題轉化為函數(shù)的最大（小）值問題，構造新函數(shù)，求出的范圍.【小問1詳解】函數(shù)，，則，當，即時，恒成立，即在上單調遞增；當，即時，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當是，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】等價于，令，當時，，所以不恒成立，不合題意.當時，等價于，由（1）可知，所以，對有解，所以對有解，因此原命題轉化為存在，使得.令，，則，，令，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，，，故在上單調遞減，當時，，，故在上單調遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：第二問，問題化為存在，使得，利用導數(shù)研究右側最小值，即可得范圍.20.若數(shù)列滿足：存在等比數(shù)列，使得集合元素個數(shù)不大于，則稱數(shù)列具有性質.如數(shù)列，存在等比數(shù)列，使得集合，則數(shù)列具有性質.若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為.證明：（1）數(shù)列為等比數(shù)列；（2）數(shù)列具有性質.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設，求出和，求出和的關系即可證明；（2）由（1）求出，求出，設數(shù)列即可證明.【小問1詳解】設，則，.因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，且；【小問2詳解】由（1），，所以，取數(shù)列，則是等比數(shù)列，并且，因此集合，所以數(shù)列具有性質.公眾號：高中試卷君21.已知一個盒子中裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外全部相同.每次從盒子中隨機取出1個球，并換入1個黑球，記以上取球換球活動為1次操作.設次操作后盒子中所剩黑球的個數(shù)為.（1）當時，求的分布列；（2）當時，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）分