2024屆黑龍江省東南聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題含解析

2024屆黑龍江省東南聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若函數(shù)和在區(qū)間D上都是增函數(shù)，則區(qū)間D可以是（）A． B． C． D．2．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為

A． B． C． D．3．已知點(diǎn)，，則直線的斜率是（）A． B． C．5 D．14．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則A． B． C． D．5．若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．6．在正方體中，直線與直線所成角是（）A． B． C． D．7．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．函數(shù)，則命題正確的（）A．是周期為1的奇函數(shù) B．是周期為2的偶函數(shù)C．是周期為1的非奇非偶函數(shù) D．是周期為2的非奇非偶函數(shù)9．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則邊上的中線的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列前項(xiàng)和取最大值時(shí)，的值等于（）A．12 B．11 C．10 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.12．已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是；13．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在的直線的方程為_(kāi)__________.14．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為_(kāi)_________.15．直線與直線的交點(diǎn)為，則________.16．將邊長(zhǎng)為2的正沿邊上的高折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．近年來(lái)，我國(guó)自主研發(fā)的長(zhǎng)征系列火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著我國(guó)在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為，去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為，火箭的飛行速度為，初始速度為，已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速度，假設(shè)，，，是以為底的自然對(duì)數(shù)，，.（1）如果希望火箭飛行速度分別達(dá)到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度時(shí)，求的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）.（2）如果希望達(dá)到，但火箭起飛質(zhì)量最大值為，請(qǐng)問(wèn)的最小值為多少（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）？由此指出其實(shí)際意義.19．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是．已知，，且．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求面積的最大值．20．（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求證：.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

依次判斷每個(gè)選項(xiàng)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】時(shí)，單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤時(shí)，單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤時(shí)，單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤時(shí)，函數(shù)和都是增函數(shù)，D正確故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的理解應(yīng)用，也可以通過(guò)圖像得到答案.2、B【解題分析】

根據(jù)題意，建立與的關(guān)系，即可得到夾角.【題目詳解】因?yàn)?，所以，則，則，所以，所以?shī)A角為故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度較小.3、D【解題分析】

根據(jù)直線的斜率公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)直線的斜率公式，可得直線的斜率，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線的斜率公式的應(yīng)用，其中解答中熟記直線的斜率公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】設(shè)公比為q,則，選A.5、C【解題分析】

利用圓心到直線的距離等于圓的半徑即可求解.【題目詳解】由題得圓的圓心坐標(biāo)為（0,0），所以.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

直線與直線所成角為，為等邊三角形，得到答案.【題目詳解】如圖所示：連接易知：直線與直線所成角為為等邊三角形，夾角為故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力.7、D【解題分析】

由，，，得解.【題目詳解】解：因?yàn)?，，，所以，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)冪，對(duì)數(shù)值的大小關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】由題得函數(shù)的周期為T(mén)==2，又f(x)=sin(πx?)?1=?cosπx?1，從而得出函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．故本題正確答案為B．9、D【解題分析】

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，再利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.【題目詳解】由，可得中點(diǎn)又本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo).10、C【解題分析】試題分析：最大，考點(diǎn)：數(shù)列單調(diào)性點(diǎn)評(píng)：求解本題的關(guān)鍵是由已知得到數(shù)列是遞減數(shù)列，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為尋找最小的正數(shù)項(xiàng)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用反三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【題目詳解】函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，函數(shù)的值域是.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了反三角函數(shù)的單調(diào)性以及反三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解題分析】考查向量的投影定義，在上的投影等于的模乘以兩向量夾角的余弦值13、；【解題分析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于弦．【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，∵是中點(diǎn)，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理．圓中弦問(wèn)題，常常要用垂徑定理，如弦長(zhǎng)（其中為圓心到弦所在直線的距離）．14、【解題分析】

本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)算求解，本題屬于常見(jiàn)題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．【題目詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【題目點(diǎn)撥】本題涉及正數(shù)開(kāi)平方運(yùn)算，易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開(kāi)方導(dǎo)致錯(cuò)誤．解答此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算．15、【解題分析】

（2,2）為直線和直線的交點(diǎn)，即點(diǎn)（2,2）在兩條直線上，分別代入直線方程，即可求出a，b的值，進(jìn)而得a+b的值。【題目詳解】因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)為，所以，，即，，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查求直線方程中的參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

解：根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD、DC、DA兩兩互相垂直，所以它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為：，∴球的直徑是，半徑為，∴三棱錐B﹣ACD的外接球的表面積為：4π5π．故答案為5π考點(diǎn)：外接球.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）【解題分析】

（1）由是等差數(shù)列，，，可求出，由是等比數(shù)列，，，，可求出；（2）將和的通項(xiàng)公式代入，則，利用裂項(xiàng)相消求和法可求出.【題目詳解】(1)，，，解得.又，，.（2）由（1），得【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題．18、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）弄清題意，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入齊奧爾科夫斯基公式：，即可得出各個(gè)等級(jí)的速度對(duì)應(yīng)的的值；（2）弄清題意與相關(guān)名詞，火箭起飛質(zhì)量即為，將公式變形，分離出，解不等式即可得，的最小值為.【題目詳解】（1）由題意可得，，，且，，當(dāng)達(dá)到第一宇宙速度時(shí)，有，；當(dāng)達(dá)到第二宇宙速度時(shí)，有，；當(dāng)達(dá)到第三宇宙速度時(shí)，有，.（2）因?yàn)橄Ｍ_(dá)到，但火箭起飛質(zhì)量最大值為，，，即，得，的最小值為比較（1）中當(dāng)達(dá)到第三宇宙速度時(shí)，；火箭起飛質(zhì)量為，此時(shí)，達(dá)到，但火箭起飛質(zhì)量最大值為，的最小值為.由以上說(shuō)明實(shí)際意義為：不是火箭的推進(jìn)劑質(zhì)量越大，火箭達(dá)到的速度越大，當(dāng)減少推進(jìn)劑質(zhì)量，增大火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速度，同樣可以達(dá)到想要的速度.【題目點(diǎn)撥】本題是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，這類(lèi)題目關(guān)鍵是弄清題意；建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型進(jìn)行解答．屬于中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，得到，再利用正弦定理以及兩角和的正弦公式將，化為，進(jìn)而得到，由此能求出．（Ⅱ）將兩邊平方，推導(dǎo)出，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，由此求出面積的最大值．【題目詳解】解析：（Ⅰ）由得，則得，即由于，得，又A為內(nèi)角，因此.（Ⅱ）將兩邊平方，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).此時(shí)，其最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算、兩角和的正弦公式應(yīng)用、三角形面積公式的應(yīng)用以及利用基本不等式求最值．20、（1）；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，可求得cosα，sinβ，再利用兩角差的正弦、余弦與正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．（2）利用切化弦結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)即可證明【題目詳解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象