甘肅省武威一中 2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

甘肅省武威一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，圓的半徑為1，是圓上的定點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示成的函數(shù)，則在上的圖象大致為（）A． B．C． D．2．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有的點(diǎn)（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位3．圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是（）A．B．C．D．4．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,若對任意的均有成立,則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線方程為（）A． B． C． D．6．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A．兩次都中靶B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶D．只有一次中靶7．設(shè)，，在，，…，中，正數(shù)的個數(shù)是（）A．15 B．16 C．18 D．208．設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則()A．127 B．129 C．255 D．25710．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖中，，，，M為AB邊上的動點(diǎn)，，D為垂足，則的最小值為______；12．設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為_________．13．若、為單位向量，且，則向量、的夾角為_______.（用反三角函數(shù)值表示）14．圓和圓交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的垂直平分線的方程是________.15．已知函數(shù)，的最大值為_____.16．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．若是的一個內(nèi)角，且，求的值.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),，銳角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P．(Ⅰ)當(dāng)時，求的值；(Ⅱ)在軸上是否存在定點(diǎn)M，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說明理由．20．為了了解某市高中學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字聽寫考試，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，分組區(qū)間為：，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該市高中學(xué)生的平均成績；（2）設(shè)、、、四名學(xué)生的考試成績在區(qū)間內(nèi)，、兩名學(xué)生的考試成績在區(qū)間內(nèi)，現(xiàn)從這6名學(xué)生中任選兩人參加座談會，求學(xué)生、至少有一人被選中的概率.21．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

計算函數(shù)的表達(dá)式，對比圖像得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意知：到直線的距離為：對應(yīng)圖像為B故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.2、D【解題分析】

把系數(shù)2提取出來，即即可得結(jié)論．【題目詳解】，因此要把圖象向右平移個單位．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換．要注意平移變換是加減平移單位，即向右平移個單位得圖象的解析式為而不是．3、D【解題分析】試題分析：設(shè)圓的方程為，且圓過原點(diǎn)，即，得，所以圓的方程為.故選D.考點(diǎn)：圓的一般方程.4、D【解題分析】

直接應(yīng)用正弦函數(shù)的平移變換和伸縮變換的規(guī)律性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，對任意的均有，說明函數(shù)在時，取得最大值，得出的表達(dá)式，結(jié)合已知選出正確答案.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移個單位長度,所以得到函數(shù)，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,所以，對任意的均有成立，所以在時，取得最大值，所以有而，所以的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象變換規(guī)律、函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查了函數(shù)最大值的概念，正確求出變換后的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.5、D【解題分析】

由題意可得直線的斜率和截距，由斜截式可得答案．【題目詳解】解：∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的斜截式方程，屬基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

利用對立事件、互斥事件的定義直接求解．【題目詳解】一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是兩次都中靶．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查互事件的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件、互斥事件的定義的合理運(yùn)用．7、D【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷出數(shù)列的正負(fù)，然后分析的正負(fù)，再由的正負(fù)即可確定出，，…，中正數(shù)的個數(shù).【題目詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以取等號時，所以均為正，又因?yàn)椋跃鶠檎?，所以正?shù)的個數(shù)是：.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應(yīng)用，著重考查了推理判斷能力，難度較難.對于數(shù)列各項(xiàng)和的正負(fù)，可通過數(shù)列本身的單調(diào)性周期性進(jìn)行判斷，從而為判斷各項(xiàng)和的正負(fù)做鋪墊.8、B【解題分析】

函數(shù)表示圓位于x軸下面的部分．利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出最小值．【題目詳解】函數(shù)化簡得．圓心坐標(biāo),半徑為2.所以【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

利用迭代關(guān)系，得到另一等式，相減求出，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可得.【題目詳解】因?yàn)?，，所以，相減得，，，又，所以，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的求和，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查計算求解能力，屬于中檔題.10、D【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知、、成等比數(shù)列,即可得關(guān)于的等式,化簡即可得解.【題目詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)可知,、、滿足：化簡可得故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出的值，然后利用換元法求解出對應(yīng)的最小值即可.【題目詳解】如圖所示，設(shè)，所以，根據(jù)條件可知：，所以，設(shè)，，，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數(shù)中的一組“萬能公式”：，.12、【解題分析】

試題分析：試題分析：由得，平移直線由圖象可知，當(dāng)過時目標(biāo)函數(shù)的最大值為，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故的最小值為．考點(diǎn)：1、利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；2、利用基本不等式求最值．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查可行域、含參數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解和均值不等式求最值，屬于難題．含參變量的線性規(guī)劃問題是近年來高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問題的存在增加了探索問題的動態(tài)性和開放性，此類問題一般從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對目標(biāo)函數(shù)變化過程進(jìn)行詳細(xì)分析，對變化過程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求最優(yōu)解的關(guān)鍵．13、.【解題分析】

設(shè)向量、的夾角為，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與定義計算出的值，利用反三角函數(shù)可求出的值.【題目詳解】設(shè)向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與定義得，，，因此，向量、的夾角為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計算平面向量所成的夾角，解題的關(guān)鍵就是利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、【解題分析】

弦AB的垂直平分線即兩圓心連線.【題目詳解】弦AB的垂直平分線即兩圓心連線方程為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了弦的垂直平分線，轉(zhuǎn)化為過圓心的直線可以簡化運(yùn)算.15、【解題分析】

化簡，再利用基本不等式以及輔助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【題目詳解】由題可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的最值問題，涉及二倍角公式、基本不等式、輔助角公式等知識點(diǎn)，屬于中檔題。16、【解題分析】

由題意和任意角的三角函數(shù)的定義求出的值即可．【題目詳解】由題意得角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）利用當(dāng)時，求證即可；（2）先結(jié)合（1）求得，再由，然后累加求和即可.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，①，②?②得：，即，又，即，則，即數(shù)列是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，則，即，則，即，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用定義法證明等比數(shù)列，重點(diǎn)考查了公式法求和及裂項(xiàng)求和法求和，屬中檔題.18、【解題分析】

本題首先可根據(jù)是的一個內(nèi)角以及得出和，然后對進(jìn)行平方并化簡可得，最后結(jié)合即可得出結(jié)果．【題目詳解】因?yàn)槭堑囊粋€內(nèi)角，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查的公式為，在運(yùn)算的過程中一定要注意角的取值范圍，考查推理能力，是簡單題．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，求得向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，即可求得答案．（Ⅱ）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，列出方程組，即可求解．【題目詳解】（Ⅰ），，（Ⅱ）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用和恒成立問題的求解，其中解答中合理利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及轉(zhuǎn)化等式的恒成立問題，列出相應(yīng)的方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出a．由此能估計該市高中學(xué)生的平均成績；（2）現(xiàn)從這6名學(xué)生中任選兩人參加座談會，求出基本事件總數(shù)，再學(xué)生M、N至少有一人被選中包含的基本事件個數(shù)，由此能求出學(xué)生M、N至少有一人被選中的概率．【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，∴估計該市高中學(xué)生的平均成績?yōu)椋海?）設(shè)A、B、C、D四名學(xué)生的考試成績在區(qū)間[80，90）內(nèi)，M、N兩名學(xué)生的考試成績在區(qū)間[60，70）內(nèi)，現(xiàn)從這6名學(xué)生中任選兩人參加座談會，基本事件總數(shù)，學(xué)生M、N至少有一人被選中包含的基本事件個數(shù)，∴學(xué)生M、N至少有一人被選中的概率．