湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的中心，則（）A． B． C． D．3．已知組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2,方差為5,則數(shù)據(jù)2+1，2+1，…，2+1的平均數(shù)與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=214．若等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和大于其前21項(xiàng)之和，則的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定5．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填（）A． B． C． D．6．已知基本單位向量，，則的值為（）A．1 B．5 C．7 D．257．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是，那么概率是的事件是（）A．2張恰有一張是移動(dòng)卡 B．2張至多有一張是移動(dòng)卡C．2張都不是移動(dòng)卡 D．2張至少有一張是移動(dòng)卡8．已知變量和滿足相關(guān)關(guān)系，變量和滿足相關(guān)關(guān)系.下列結(jié)論中正確的是（）A．與正相關(guān)，與正相關(guān) B．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)C．與負(fù)相關(guān)，與y正相關(guān) D．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)9．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．10．如圖是一個(gè)射擊靶的示意圖，其中每個(gè)圓環(huán)的寬度與中心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒(méi)有脫靶，則其命中深色部分的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____.12．已知圓錐的高為，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)體積是，則該圓臺(tái)的高為_(kāi)______.13．______．14．中，，則A的取值范圍為_(kāi)_____．15．過(guò)點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的一般式方程是________.16．已知直線與軸、軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上移動(dòng)，則面積的最大值和最小值之差為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利分別為和，可能的最大虧損率分別為和.投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)億元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)億元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少億元，才能使可能的盈利最大？18．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1（1）分別求數(shù)列an（2）若對(duì)任意的n∈N*,19．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上，其中.（1）令，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)；（3）設(shè)、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)和是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出，若不存在，則說(shuō)明理由.20．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．已知函數(shù)（）的一段圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】因?yàn)閳A心(5,1)到直線4x＋3y＋2＝0的距離為＝5，又圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線4x＋3y＋2＝0的距離為1，則4<r<6.選B.點(diǎn)睛：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題．2、B【解題分析】

直接由正三角形的性質(zhì)求出兩向量的模和夾角，由數(shù)量積定義計(jì)算．【題目詳解】∵點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的中心，∴，，∴．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵．3、C【解題分析】

根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的性質(zhì)分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，方差為5，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)，其方差；故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

根據(jù)條件得到不等式，化簡(jiǎn)后可判斷的情況.【題目詳解】據(jù)題意：，則，所以，即，則：，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的應(yīng)用，難度較易.等差數(shù)列前項(xiàng)和之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系.5、A【解題分析】

根據(jù)程序框圖的結(jié)構(gòu)及輸出結(jié)果,逆向推斷即可得判斷框中的內(nèi)容.【題目詳解】由程序框圖可知,,則所以此時(shí)輸出的值,因而時(shí)退出循環(huán).因而判斷框的內(nèi)容為故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)程序框圖的輸出值,確定判斷框的內(nèi)容,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

計(jì)算出向量的坐標(biāo)，再利用向量的求模公式計(jì)算出的值.【題目詳解】由題意可得，因此，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量模的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是求出向量的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)求出向量的模，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

概率的事件可以認(rèn)為是概率為的對(duì)立事件．【題目詳解】事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是，它的對(duì)立事件的概率是，事件為“2張不全是移動(dòng)卡”，也即為“2張至多有一張是移動(dòng)卡”．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)立事件，解題關(guān)鍵是掌握對(duì)立事件的概率性質(zhì)：即對(duì)立事件的概率和為1．8、B【解題分析】

根據(jù)相關(guān)關(guān)系式,由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)即可判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).【題目詳解】變量和滿足相關(guān)關(guān)系,由可知變量和為正相關(guān)變量和滿足相關(guān)關(guān)系,由,可知變量和為負(fù)相關(guān)所以B為正確選項(xiàng)故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了通過(guò)相關(guān)關(guān)系式子判斷正負(fù)相關(guān)性,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

由兩向量平行，其向量坐標(biāo)交叉相乘相等，得到.【題目詳解】因?yàn)?，所以，解得?【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本運(yùn)算，注意符號(hào)的正負(fù).10、D【解題分析】

分別求出大圓面積和深色部分面積即可得解.【題目詳解】設(shè)中心圓的半徑為，所以中心圓的面積為，8環(huán)面積為，射擊靶的面積為，所以命中深色部分的概率為.故選：D【題目點(diǎn)撥】此題考查幾何概型，屬于面積型，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解面積，根據(jù)圓環(huán)特征分別求出面積即可得解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

作出圖形，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，可知點(diǎn)平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，然后利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，即為所求.【題目詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，又，，平面，平面，平面，則點(diǎn)平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，的面積為，在正方體中，平面，且平面，，易知三棱錐的體積為.的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．12、【解題分析】設(shè)該圓臺(tái)的高為，由題意，得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐體積是，則，解得，即該圓臺(tái)的高為3.點(diǎn)睛：本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征；在處理圓錐的結(jié)構(gòu)特征時(shí)可記住常見(jiàn)結(jié)論，如本題中用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面的面積之比是兩個(gè)圓錐高的比值的平方，所得兩個(gè)圓錐的體積之比是兩個(gè)圓錐高的比值的立方．13、【解題分析】

,,故答案為.考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、切割化弦思想.14、【解題分析】

由正弦定理將sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC變?yōu)?，然后用余弦定理推論可求，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可求得角A的取值范圍．【題目詳解】因?yàn)閟in2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因?yàn)?，所以．【題目點(diǎn)撥】在三角形中，已知邊和角或邊、角關(guān)系，求角或邊時(shí)，注意正弦、余弦定理的運(yùn)用．條件只有角的正弦時(shí)，可用正弦定理的推論，將角化為邊．15、或【解題分析】

討論直線過(guò)原點(diǎn)和直線不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線方程，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.16、15【解題分析】

解：設(shè)作出與已知直線平行且與圓相切的直線，

切點(diǎn)分別為，如圖所示

則動(dòng)點(diǎn)C在圓上移動(dòng)時(shí)，若C與點(diǎn)重合時(shí)，

△ABC面積達(dá)到最小值；而C與點(diǎn)重合時(shí)，△ABC面積達(dá)到最大值

∵直線3x＋4y?12＝0與x軸、y軸相交于A（4，0）、B（0，3）兩點(diǎn)

可得∴△ABC面積的最大值和最小值之差為

，

其中分別為點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離

∵是圓（x?5）2＋（y?6）2＝9的兩條平行切線與圓的切點(diǎn)

∴點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離之差等于圓的直徑，即

因此△ABC面積的最大值和最小值之差為

故答案為：15三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、投資人用億元投資甲項(xiàng)目，億元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)億元的前提下，使可能的盈利最大.【解題分析】

設(shè)投資人分別用億元、億元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)題意列出變量、所滿足的約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)，利用平移直線的方法得出線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)的最優(yōu)解，并將最優(yōu)解代入線性目標(biāo)函數(shù)可得出盈利的最大值，從而解答該問(wèn)題.【題目詳解】設(shè)投資人分別用億元、億元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知，即，目標(biāo)函數(shù)為.上述不等式組表示平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上截距最大，此時(shí)取得最大值，解方程組，得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)，時(shí)，取得最大值，此時(shí)，（億元）.答：投資人用億元投資甲項(xiàng)目，億元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)億元的前提下，使可能的盈利最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵就是列出變量所滿足的約束條件，并利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.18、（1）an=3n-1【解題分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列bn公差為d，則b解得d=3，bn當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn-1a2=2a1+1=3aan是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，則．；（2）由（1）知，Sn原不等式可化為k≥6(n-2)若對(duì)任意的n∈N*恒成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列6(n-2)3令cn=6(n-2)解得52≤n≤7即cn的最大項(xiàng)為第3項(xiàng)，c3=62719、（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）；（3）存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【解題分析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結(jié)論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)；（3）把數(shù)列an}、{bn}通項(xiàng)公式代入an+2bn，進(jìn)而得到Sn+2T的表達(dá)式代入Tn，進(jìn)而推斷當(dāng)且僅當(dāng)λ＝2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．【題目詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，因此由得所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；（2）因?yàn)?，由得，故，由?）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使數(shù)列是等差數(shù)列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)λ＝2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由題意推導(dǎo)出bn＝22n+1+1，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．詳解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)椋?①因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以.②由①，②可得：.所以.（Ⅱ）由題意，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，,，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)