人教版八年級數(shù)學(xué)上冊（第十四章 整式的乘法與因式分解）14.3 因式分解（學(xué)習(xí)、上課資料）

14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.1提公因式法逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式知識點(diǎn)因式分解知1－講11.

定義把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.知1－講2.整式乘法與因式分解的關(guān)系(1)整式乘法與因式分解是兩種互逆的變形.即：多項(xiàng)式整式的積.(2)可以利用整式乘法檢驗(yàn)因式分解的結(jié)果的正確性.因式分解整式乘法知1－講特別解讀1.因式分解的對象是多項(xiàng)式，結(jié)果是整式的積.2.因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變.3.因式分解必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式的因式不能再分解為止.知1－練例1

知1－練解題秘方：緊扣因式分解的定義進(jìn)行識別.答案：D

知1－練1-1.[中考·濟(jì)寧]下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是(

)A.x2－x－1＝x(x－1)－1B.x2－1＝(x－1)2C.

x2－x－6＝(x－3)(x＋2)D.

x(x－1)＝x2－xC知1－練

例2知1－練解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.答案：B解：利用整式的乘法法則將各選項(xiàng)中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項(xiàng)B.知1－練

D知1－練例3仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知把二次三項(xiàng)式x2－4x＋m分解因式后有一個(gè)因式是x＋3，求其另一個(gè)因式及m的值.知1－練

知1－練解題秘方：利用因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結(jié)果利用整式乘法算出多項(xiàng)式，并與已知多項(xiàng)式比較解決問題.知1－練問題：(1)若二次三項(xiàng)式x2－5x＋6可分解為(x－2)(x＋a)，則a＝_________；(2)若二次三項(xiàng)式2x2＋bx－5可分解為(2x－1)(x＋5)，則b＝________；－39知1－練(3)仿照以上方法解答下面的問題：已知把二次三項(xiàng)式2x2＋5x－k分解因式后有一個(gè)因式為2x－3，求其另一個(gè)因式及k的值.知1－練

展開后對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等知1－練3-1.[中考·濱州]把多項(xiàng)式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，則a，b的值分別是()A.

a＝2，b＝3B.

a＝－2，b＝－3C.

a＝－2，b＝3D.

a＝2，b＝－3B知1－練3-2.若將多項(xiàng)式x2＋3x＋a分解為(x＋1)(x＋2)，則a的值為()A.2 B.3C.

－3 D.

－2A知2－講知識點(diǎn)公因式21.定義一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.知2－講特別解讀1.公因式必須是多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的因式.只在某個(gè)或某些項(xiàng)中含有而其他項(xiàng)中沒有的因式不能成為公因式的一部分.2.

公因式可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知2－講2.

公因式的確定(1)確定公因式的系數(shù)：若多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，則取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；(2)確定字母及字母的指數(shù)：取各項(xiàng)都含有的相同字母作為公因式中的字母，各項(xiàng)相同字母的指數(shù)取其中次數(shù)最低的；知2－講(3)若多項(xiàng)式各項(xiàng)中含有相同的多項(xiàng)式因式(相反的多項(xiàng)式因式化為相同的因式)，則應(yīng)將其看成一個(gè)整體，不要拆開，作為公因式中的因式.知2－練指出下列多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式：(1)3a2y－3ay＋6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.例4解題秘方：緊扣公因式的定義求解.知2－練解：(1)中各項(xiàng)的公因式為3y；(2)中各項(xiàng)的公因式為4xy2；(3)中各項(xiàng)的公因式為(x－y)2；(4)中各項(xiàng)的公因式為－9a2b.知2－練4-1.多項(xiàng)式8a3b2＋12ab3c各項(xiàng)的公因式是()A.

abc B.ab2C.4ab2 D.4ab2cC知2－練4-2.下列各組式子中沒有公因式的是()A.4a2bc與8abc2B.a3b2＋1與a2b3－1C.b(a－2b)2與a(2b－a)2D.x＋1與x2－1B知3－講知識點(diǎn)用提公因式法分解因式31.

定義一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).知3－講特別解讀1.

提公因式法實(shí)質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積的形式，其中的一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是多項(xiàng)式除以這個(gè)公因式所得的商.知3－講2.

提公因式法的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項(xiàng)都含有的公共因式；(2)確定另一個(gè)因式，另一個(gè)因式即多項(xiàng)式除以公因式所得的商；(3)寫成積的形式.知3－練將下列各式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.例5解題秘方：緊扣提公因式法的步驟分解因式.知3－練(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.解：6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz)；－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)＝－4ab(a2b－3a＋1).知3－練解法提醒：1.當(dāng)多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)先提出“－”號，但要注意，此時(shí)括號內(nèi)各項(xiàng)都要改變符號.2.4ab與公因式相同，提取公因式后，此項(xiàng)為“1”，此時(shí)容易漏掉“1”這一項(xiàng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤．知3－練5-1.下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2－y B.x2－2xC.

x2＋y2 D.

x2－xy＋y2B知3－練5-2.分解因式：(1)4x2－2x；(2)－8x2y2－4x2y＋2xy.解：原式＝2x(2x－1)；原式＝－2xy(4xy＋2x－1)．提公因式法因式分解提公因式法公因式概念互逆變形檢驗(yàn)整式乘法14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.2公式法逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式知識點(diǎn)用平方差公式分解因式知1－講11.平方差公式法兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).知1－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的條件后，結(jié)果寫成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項(xiàng)式，可以分解成兩個(gè)數(shù)的和乘這兩個(gè)數(shù)的差的形式.知1－講2.

平方差公式的特點(diǎn)(1)等號的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式，各項(xiàng)都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，其中一個(gè)二項(xiàng)式是這兩個(gè)數(shù)的和，另一個(gè)二項(xiàng)式是這兩個(gè)數(shù)的差.知1－講3.

運(yùn)用平方差公式分解因式的步驟一判：判斷是否為平方差，若負(fù)平方項(xiàng)在前面，利用加法的交換律把負(fù)平方項(xiàng)交換放在后面.二定：確定公式中的a和b，除a和b是單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母外，其余都必須用括號括起來，表示一個(gè)整體.三套：套用平方差公式進(jìn)行分解.四整理：將每個(gè)因式去括號，合并同類項(xiàng)化成最簡的.知1－練例1

解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運(yùn)用平方差公式分解因式.

知1－練解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；

知1－練解：16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b).(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.知1－練1-1.分解因式：(1)a2b2－16；(2)100x2－9y2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)；原式＝(10x＋3y)(10x－3y)；知1－練(3)a4－1；(4)49x2－(5x－2)2.解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1)；原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)．知2－講知識點(diǎn)用完全平方公式分解因式21.

完全平方式形如a2±2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式.完全平方式的條件：(1)多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式；(2)首末兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“＋”，也可以是“－”.知2－講2.完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.知2－講特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式的逆用.2.結(jié)果是和的平方還是差的平方由乘積項(xiàng)的符號確定，乘積項(xiàng)的符號可以是“＋”，也可以是“－”，而兩個(gè)平方項(xiàng)的符號必須相同，否則就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解.3.用完全平方公式分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.知2－講3.

因式分解的一般步驟(1)當(dāng)多項(xiàng)式有公因式時(shí)，先提取公因式；當(dāng)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式時(shí)(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)當(dāng)不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時(shí)，可根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)當(dāng)乘積中每一個(gè)因式都不能再分解時(shí)，因式分解就結(jié)束了.知2－練已知9a2＋ka＋16是一個(gè)完全平方式，則k的值是__________.例2解題秘方：根據(jù)平方項(xiàng)確定乘積項(xiàng)，進(jìn)而確定字母的值.解：：∵9a2＝(3a)2，16＝42，9a2＋ka＋16是一個(gè)完全平方式，∴ka＝±2×3a×4＝±24a.∴k＝±24.有和的完全平方式和差的完全平方式兩種形式±24知2－練

D知2－練

解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”和“b”，再運(yùn)用完全平方公式分解因式.例3(1)x2－14x＋49；(2)－6ab－9a2－b2；知2－練解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；－6ab－9a2－b2＝－(9a2＋6ab＋b2)＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]＝－(3a＋b)2；(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.

知2－練完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結(jié)果要徹底.

知2－練3-1.因式分解4x2＋4x＋1，結(jié)果正確的是()A.4x(x＋1)＋1B.(4x＋1)2C.(2x＋1)2D.(2x－1)2C知2－練3-2.分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；(2)9－12a＋4a2；(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2；原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.知2－練分解因式：(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解題秘方：先觀察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通過觀察項(xiàng)數(shù)確定能用哪個(gè)公式分解因式.例4知2－練(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；解：－3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；x4－8x2＋16＝[(x＋2