吉化第一高級中學(xué)2023屆數(shù)學(xué)高一年級上冊期末綜合測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）

1.香農(nóng)定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香農(nóng)公式C=Blog2，+來表示，其中。是信道支持的最大

速度或者叫信道容量，3是信道的帶寬（Hz）,S是平均信號功率（W）,N是平均噪聲功率（W）.已知平均信號

功率為1000W,平均噪聲功率為10W,在不改變平均信號功率和信道帶寬的前提下，要使信道容量增大到原來的2

倍，則平均噪聲功率約降為（）

A.0.1WB.1.0W

C.3.2WD.5.0W

2.設(shè)全集廬觸，集合左{1,2,5},比{2,4,6},則圖中的陰影部分表示的集合為（）

A.{2}B.{2,4,6)

C.{4,6}D.{1,3,5)

3.若偶函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,0]上單調(diào)遞減，且/(3)=0,則不等式(x-l)/(x)>0的解集是

A.(~℃,—B.(―3,1)D(3,+oo)

C(―oo,-+oo)D.(―3,1]<J(3>+℃)

4.已知函數(shù)/（X）=37+G3'+2X是奇函數(shù)，則/（〃）=

22

A.—B.

33

C.1D.-1

5.給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行;

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

6.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移。（夕＞0）個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)y=-2sin2x的圖象,

那么?？梢匀〉闹禐椋ǎ?/p>

7.已知奇函數(shù)Ax）的定義域為R,其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.若/（-2）=/⑴工0,則函數(shù)/*）在區(qū)間（-2,2）內(nèi)

的零點個數(shù)至少為。

兀

8,已知函數(shù)/(x)=-10sin2x-10sinx——,xe—的值域為一于2，則實數(shù)用的取值范圍是

2

9.設(shè)常數(shù)使方程cosx=加在區(qū)間號,3萬）上恰有三個解王,馬,與（占＜為＜與）且W不，則實數(shù)加的值為

_72B.一一

2

10.如圖是一個體積為1（）的空間幾何體的三視圖，則圖中x的值為（

C.4D.5

二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）

11.已知函數(shù)/（x）=sin53>0）,若在一彳，彳上是增函數(shù)，且直線y=T與“X）的圖象在［0,3句上

恰有一個交點，則①的取值范圍是.

12.若函數(shù)/（外=〃a2+（加-l）X+l在區(qū)間（-8,1］上為減函數(shù)，則實數(shù)陽的取值范圍為

13.無論實數(shù)A取何值，直線依-y+2+2?=0恒過定點_

14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)/（力=.（注：/（x）不是常數(shù)函數(shù)）

①"0）=3；②仆+兀）=小）.

15.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧

A3和弦48所圍成的圖中陰影部分?若弧田所在圓的半徑為1,圓心角為夸，則此弧田的面積為.

三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.如圖，已知點尸是平行四邊形極力所在平面外的一點，E,尸分別是為，物上的點且加：EA=BF：FD,求證：EF//

平面胸

17.已知直線1：了=根（m<一2）與*軸交于人點，動圓M與直線1相切，并且和圓0：/+,2=4相外切

(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程

(2)若過原點且傾斜角為。的直線與曲線C交于M、N兩點，問是否存在以MN為直徑的圓過點A?若存在，求出實數(shù)m

的值；若不存在，說明理由

18.如圖，在正方體A8CO—44G。中，點反尸分別是棱身九。。的中點.求證:

(1)BO〃平面A￡F；

(2)所，平面ACG4

19.已知函數(shù)/(x)=2"--j,.

y/l+X2

(1)判斷并證明函數(shù)/(x)的奇偶性;

(2)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,+8)上的單調(diào)性(不必寫出過程)，并解不等式/(x+2)>/(2x—l).

20.已知函數(shù)

f(x)=x-;

(1)討論并證明函數(shù)f、在區(qū)間(o,+sj的單調(diào)性；

(2)若對任意的丫w[L+s”月^：+m/0)<0恒成立，求實數(shù)出的取值范圍

21.已知函數(shù)f(x)=2>/3sinxcosx-2cos2x,xeR

(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）

1、A

【解析】利用題設(shè)條件，計算出原信道容量的表達(dá)式Blog?101,再列出在8不變時用所求平均噪聲功率N'表示的信

道容量的表達(dá)式，最后列式求解即得.

【詳解】由題意可得S=1000W,N=10W，則在信道容量未增大時，信道容量為C,=810g2（1+，）=Blog2101,

信道容量增大到原來2倍時，C2=8log2（l+嚶）=26,則log21012=iogjl+*>即1+等=1（）『，

解得N'aO.lW,

故選：A

2、C

【解析】由集合A,B,結(jié)合圖形即可寫出陰影部分表示的集合

【詳解】解：根據(jù)條件及圖形，即可得出陰影部分表示的集合為（QA）c3={4,6}

故選C.

【點睛】考查列舉法的定義，以及圖表示集合的方法,屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】由偶函數(shù)“X）在區(qū)間（F，0]上單調(diào)遞減，且"3）=0,所以“X）在區(qū)間0+8）上單調(diào)遞增，且

JC>]X<1

〃一3）=/⑶=0,即函數(shù)“X）對應(yīng)的圖象如圖所示，則不等式（％-l）/（x）>0等價為{八口>。或{〃D<0，

解得-3<xvl或x>3,故選B

考點：不等關(guān)系式的求解

【方法點晴】本題主要考查了與函數(shù)有關(guān)的不等式的求解，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性，以及函

數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的求解等知識點的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能，以及推理與運算能

力，試題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題，本題的解得中利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，正確作出函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵

4、A

【解析】由函數(shù)的奇偶性求出進(jìn)而求得答案

【詳解】因為/（尤）=37+。3+2》是奇函數(shù)，所以/'（一x）=一/（x）,

即3'+a,3"—2x=—(3'+a■3"+2x),貝!|a=-1,

1?

故.f(a)=/(T)=3亍2=§.

【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題

5、D

【解析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進(jìn)行選擇.

【詳解】

當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正

確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它

們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確.綜上，真命題是②④.

故選D

【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是

中檔題.

6、B

【解析】寫出平移變換后的函數(shù)解析式，將函數(shù)丁=-2豆1?8的解析式利用二倍角公式降寤，化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而

可得出。的表達(dá)式，利用賦特殊值可得出結(jié)果.

【詳解】將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移。（。＞0）個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的

解析式為y=sin（2x+2。）一1,

2

y=--2sinx=cos2x-l=sin^x+^-l,2(p=%+2k兀(kwZ),

'rr-rr

解得e=—+而僅wz）,當(dāng)％=o時，（P=—.

44

故選：B.

【點睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象變換求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合圖象變換求出變換后所得函數(shù)的解析式，考查

計算能力，屬于中等題.

7、C

【解析】根據(jù)奇函數(shù)fM的定義域為R可得/(0)=0,由/(—2)=/(I)豐0和奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(2)/(1)<0、

/(-2)/(-1)<0,利用零點的存在性定理即可得出結(jié)果.

【詳解】奇函數(shù)"X)的定義域為R,其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，

得/(0)=0,由/(—2)=/(I)H0得-/⑵=/(I)=0,

所以/(2)/(1)<0,故函數(shù)在(1,2)之間至少存在一個零點，

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在(-2,-1)之間至少存在一個零點，

所以函數(shù)在(-2,2)之間至少存在3個零點.

故選：C

8、B

1-rr

【解析】由題得/(x)=-10(sin?x+sinx+—)+2,XG[—，加令，=sinr,貝！)

42

/(x)=g⑺=-10。+()2+2,令g⑺=一g,得f=-1或f=0,由g(t)的圖像，可知當(dāng)

1171

——KfWO時，f(x)的值域為[一一,2],所以——〈機(jī)40.故選B.

226

9、B

TT

【解析】解：分別作出y=cosx,XG(y,3兀)與y=m的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得則-IVmVO,故排除C,D,

51

再分別令m二-——，m=----,求出Xi,X2,X3,驗證X22=X1?X3是否成立；

22

T[TC

【詳解】解：分別作出y二cosx,xG(y,3元)與y=m的圖象，如圖所示，方程cosx=m在區(qū)間(彳，3冗)上恰有三

個解xi,X2,X3(xiVx2Vx3),則-IVmVO,故排除C,D,

當(dāng)m=-Y2時，此時cosx=-Y2在區(qū)間(Z,3n),

222

“3511

解得xi=一冗，X2=-nX3=-n,

444f

2533

則X2?=—^M#XI?X3=--n2故A錯誤，

1616f

11TT

當(dāng)m=----時，此時cosx=-----在區(qū)間(一，3九)，

222

小出248

解得xi=一冗，X2=-n,X3=一九，

故選B

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題.

10、A

【解析】由已知可得：該幾何體是一個四棱錐和四棱柱的組合體，

其中棱柱的體積為：3x2xl=6,

棱錐的體積為：-x3x2x=2x

3x

則組合體的體積V=6+2x=10,

解得：x=2,

故選A

點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則,

其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾

何體的高，寬是幾何體的寬.

二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）

【解析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的分析得出。的取值范圍.

3萬71

【詳解】因為“X）在一尊,?上是增函數(shù)，所以c42°,解得0＜啰＜2

/43」L7i713

.32G

32萬。

—x——<34

4CD1712

因為直線y=-1與“X）的圖象在［0,3句上恰有一個交點，所以，解得一<G<一,綜上一?

72萬.2623

—x——>34

Aco

故答案為:

12、忙

【解析】分類討論，時根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解

【詳解】加=0時，/(幻=一尤+1滿足題意；

m>0

H0時，”m-\?解得0<加<二，

------>13

2m

綜上加€［0,占，

3

故答案為：［0,；］

13、(-2,2)

【解析】由fcr-y+2+2A=0,得(x+2)A+(2-y)=0,由此能求出無論實數(shù)及取何值，直線Ax-y+2+24=0恒過定點(―2,2)

【詳解】Vkx-y+2+2k=0,(x+2)A+(2-j)=0,

x+2=0

解方程組《

2-y=0

...無論實數(shù)A取何值，直線*“+2+2?=0恒過定點(-2,2)

故答案為：(-2,2)

14、/(x)=sin2x+；

【解析】根據(jù)函數(shù)值以及函數(shù)的周期性進(jìn)行列舉即可

【詳解】由乃)=/(?知函數(shù)的周期是乃，

則/(x)=sin2x滿足條件，

；/(0)=g，；J(x)=sin2x+；滿足條件，

故答案為：/(x)=sin2x+1(答案不唯一)

15、2-立

34

【解析】根據(jù)題意所求面積S陰影=S扇-S.AO8,再根據(jù)扇形和三角形面積公式，進(jìn)行求解即可.

【詳解】易知AAQB為等腰三角形，腰長為1,底角為仁，|AB|=G,

所以Sj=jM.|Q鄧i吟=￥,

弧田的面積即圖中陰影部分面積，根據(jù)扇形面積及三角形面積可得：

斫以《一&q_I2?12上_n

所以S陰影一Sjg-S/oB"=§一"丁.

故答案為：王一立.

34

三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16、見解析

RFMFRFPFPFMF

【解析】連接A尸并延長交3C于M.連接因為???——=——,又——二——，六——二——

FDFAFDEAEAFA

所以EF//PM,從而得證.

試題解析:

連接A尸并延長交BC于M.連接PM.

因AD//BC,所以更=紇

FDPA

又由已知豪罄所以翁善

由平面幾何知識可得E尸〃PM,又EFQ平面尸BC,PMu平面P3C,

所以E尸〃平面PBC.

17、（1）/=2（2-m）x+（2-m）2（m<-2）（2）存在，機(jī)=-6-2萬

【解析】（1）設(shè)出動圓圓心坐標(biāo)，由動圓圓心到切線的距離等于動圓與定圓的圓心距減定圓的半徑列式求解動圓圓心

的軌跡方程；

TT

（2）求出過原點且傾斜角為3的直線方程，和曲線C聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到M,N的橫縱坐標(biāo)的和與積，由

AM1AN,得府.眾=0列式求解m的值，結(jié)合m的范圍說明不存在以MN為直徑的圓過點A

試題解析:

設(shè)動圓圓心為貝化簡得產(chǎn)—加口+但一⑼？這就是動圓圓

（1）A/（x,y）,“QW|=2+（x-m）,=2（2（/72<_2）,

心的軌跡C的方程.

（2）直線MN的方程為>=》，代入曲線C的方程得3f—2（2-m）》一（2f=0

顯然八=16（2—機(jī)y>0.

設(shè)M（x，y）,N（%2,%），則%+々=4，中2=一（2-"?）.,

33

而）1%=M*X2=3X]X2

若以MN為直徑的圓過點A,則AMJ_AN,

2

:.AA/.眾=0由此得4百々一加（玉+x2）+m=0

.4、24-2mm2+12m-\6.

..一一（z0-/7?）-m？------+m-2=,a即n-------------=0.

3V733

解得見=—6—2ji&m,=—6+2V13（舍去）

故存在以MN為直徑的圓過點A

點睛：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，考

查了學(xué)生的計算能力.

18、（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】（1）易證得四邊形SOFE為平行四邊形，可知BD〃EF,由線面平行的判定可得結(jié)論；

（2）由正方形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可證得BO_L4C,AA.1BD,由線面垂直的判定可得8。_L平面ACG4，由

EF//BD可得結(jié)論.

【小問1詳解】

分別為的中點，BB,=DDX,BB}//DDt,

：.BEHDF且BE=DF,■■四邊形BDFE為平行四邊形，：.BD//EF,

又Mu平面AEF,^。^平面人后;L二應(yīng)力/平面4所.

【小問2詳解】

四邊形ABC。為正方形，BD±AC\-EF//BD：.BDLEF；

A4,1平面ABCD,BDu平面ABCD,AA.VBD?1-EF//BDAA.VEF,

又ACnA4,uA,ACMu平面ACGA，

.?.后/_1_平面4?！?

19、（1）函數(shù)/（x）是R上的偶函數(shù)，證明見解析

（2）函數(shù)/'（X）在［0,+"）上單調(diào)遞增，（-;,31

【解析】（1）利用偶函數(shù)的定義判斷并證明函數(shù)為偶函數(shù)；

（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)及函數(shù)的加減合成的單調(diào)性規(guī)律判定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，將不等式

轉(zhuǎn)化為|x+2|>|2x-l|,進(jìn)而兩邊同時平方，等價轉(zhuǎn)化為二次方程，求解即得.

【小問1詳解】

證明：依題意，函數(shù)，（x）的定義域為R.對于任意xeR,

都"㈠斗一擊=沙-六

所以函數(shù)/（X）是R上的偶函數(shù)

【小問2詳解】

解：函數(shù)/（X）在［0,+。）上單調(diào)遞增

因為函數(shù)/（X）R上的偶數(shù)函數(shù)，所以〃x+2）>〃2x-l）

等價于/（|x+2|）>/（|2x-l|）.因為函數(shù)/（x）在［0,+e）上單調(diào)遞增，

所以|x+2]>|2x-l|,即3X2_8X_3<0,解得—；<X<3,

所以不等式〃x+2）>f（2x-l）的解集為1-g,3

20、（1）函數(shù)，:在o+s：上單調(diào)遞胤見解析⑵

【解析】：⑴利用單調(diào)性的定義，根據(jù)步驟，取值，作差，變形，定號下結(jié)論，即可得到結(jié)論;

/,,原不等式等價于對任意的恒成立，整理得