2023-2024學(xué)年福建省福州市四校教學(xué)聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年福建省福州市四校教學(xué)聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的。1．（5分）集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）若a＞b＞0，c＞d，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)﹣c＞b﹣d C．a(chǎn)c＞bd D．3．（5分）函數(shù)y＝﹣|ln（x﹣1）|的圖象大致是（）A． B． C． D．4．（5分）命題p：α是第二象限角或第三象限角，命題q：cosα＜0，則p是q的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）已知tanα＝﹣2，則＝（）A．﹣7 B．﹣1 C． D．16．（5分）中國的5G技術(shù)世界領(lǐng)先，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C（單位：bit/s）取決于信道寬度W（單位：HZ）、信道內(nèi)信號的平均功率S（單位：dB）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N（單位：dB）的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（附：lg2≈0.3）（）A．110% B．120% C．130% D．140%7．（5分）命題“對?x∈[1，2]，ax2﹣x+a＞0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A． B． C．a(chǎn)≥1 D．8．（5分）已知f（x）＝ax2﹣1是定義在R上的函數(shù)，若對于任意﹣3≤x1＜x2≤﹣1，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．{0} B．[0，+∞） C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的。（多選）9．（5分）下列大小關(guān)系正確的是（）A．20.3＜20.4 B．30.2＜40.2 C．log23＜log48 D．log23＞log32（多選）10．（5分）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝2，則下列說法正確的是（）A．的最小值為2 B．xy的最小值為1 C．的最大值為4 D．x2+y2的最小值為2（多選）11．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．函數(shù)的最小正周期為π B．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為 C．函數(shù)的一個(gè)對稱中心是 D．函數(shù)的一條對稱軸是（多選）12．（5分）已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，正確的是（）A．當(dāng)k＞1，有1個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)k＞1時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn) C．當(dāng)k＜0時(shí)，有9個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)k＝﹣4時(shí)，有7個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。13．（5分）已知扇形的圓心角是2弧度，其周長為6cm，則扇形的面積為cm2．14．（5分）函數(shù)y＝的定義域是．15．（5分）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增，則實(shí)數(shù)m＝．16．（5分）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）的最小值為0；②當(dāng)時(shí)，f（x）不存在最小值；③f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為g（a），則函數(shù)g（a）的值域?yàn)閧0，1，2，3}；④當(dāng)a≥1時(shí)，對任意．其中所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分。除第17小題10分以外，每小題10分。17．（10分）設(shè)m∈R，已知集合，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求A∪B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求m的取值范圍．18．（12分）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在[0，π]上的大致圖像．19．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為π．（1）求的值及函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間上的最值．20．（12分）某環(huán)保組織自2023年元旦開始監(jiān)測某水域中水葫蘆生長的面積變化情況并測得最初水葫蘆的生長面積，此后每隔一個(gè)月（每月月底）測量一次，通過近一年的觀察發(fā)現(xiàn)，自2023年元旦起，水葫蘆在該水域里生長的面積增加的速度越來越快．最初測得該水域中水葫蘆生長的面積為n（單位：m2），二月底測得水葫蘆的生長面積為24m2，三月底測得水葫蘆的生長面積為64m2，水葫蘆生長的面積y（單位：m2）與時(shí)間x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇，一個(gè)是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一個(gè)是，記2023年元旦最初測量時(shí)間x的值為0．（1）請你判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，說明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中水葫蘆生長的面積在幾月起是元旦開始研究時(shí)其生長面積的240倍以上？（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）≤0的解集；（2）是否存在實(shí)數(shù)x，使得不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0對滿足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果對于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)P，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＜P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級遞減周期函數(shù)，周期為T；若恒有f（x+T）＝P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級周期函數(shù)，周期為T．（1）判斷函數(shù)f（x）＝x2+3是R上的周期為1的2級遞減周期函數(shù)嗎，并說明理由？（2）已知，y＝f（x）是[0，+∞）上的P級周期函數(shù)，且y＝f（x）是[0，+∞）上的嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）＝sinx+1．求當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的解析式，并求實(shí)數(shù)P的取值范圍；（3）是否存在非零實(shí)數(shù)k，使函數(shù)是R上的周期為T的T級周期函數(shù)？請證明你的結(jié)論．

2023-2024學(xué)年福建省福州市四校教學(xué)聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的。1．（5分）集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了集合的描述法和列舉法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若a＞b＞0，c＞d，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)﹣c＞b﹣d C．a(chǎn)c＞bd D．【分析】由不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：已知a＞b＞0，c＞d，對于A，由不等式的可加性可得a+c＞b+d，即A正確；對于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝3，d＝1，則a﹣c＝﹣1，b﹣d＝0，則a﹣c＜b﹣d，即B錯(cuò)誤；對于C，不妨取a＝10，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，則ac＝﹣10，bd＝﹣2，則ac＜bd，即C錯(cuò)誤；對于D，不妨取a＝10，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，則，，則，即D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)y＝﹣|ln（x﹣1）|的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】先求出函數(shù)y的定義域，再結(jié)合圖象，即可求解．【解答】解：令x﹣1＞0，解得x＞1，故函數(shù)y的定義域?yàn)閧x|x＞1}，故ACD錯(cuò)誤，B正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）命題p：α是第二象限角或第三象限角，命題q：cosα＜0，則p是q的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】若α是第二象限角或第三象限角，則cosα＜0，舉反例得到不必要性，得到答案．【解答】解：若α是第二象限角或第三象限角，則cosα＜0；若cosα＜0，取α＝π，cosα＝﹣1＜0，此時(shí)α不是第二象限角或第三象限角；綜上所述：p是q的充分不必要條件．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)在各象限的符合、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知tanα＝﹣2，則＝（）A．﹣7 B．﹣1 C． D．1【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合三角函數(shù)齊次式法求值，即可得答案．【解答】解：因?yàn)閠anα＝﹣2，所以．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）中國的5G技術(shù)世界領(lǐng)先，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C（單位：bit/s）取決于信道寬度W（單位：HZ）、信道內(nèi)信號的平均功率S（單位：dB）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N（單位：dB）的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（附：lg2≈0.3）（）A．110% B．120% C．130% D．140%【分析】利用對數(shù)減法與換底公式求解即可．【解答】解：當(dāng)＝1000時(shí)，C＝Wlog21001，當(dāng)＝4000，信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍時(shí)，C′＝2Wlog24001，所以＝＝﹣1≈﹣1＝﹣1＝4log10002+1＝lg2+1≈1.4，所以C大約增加了140%．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)在生活中的實(shí)際運(yùn)用，考查了對數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）命題“對?x∈[1，2]，ax2﹣x+a＞0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A． B． C．a(chǎn)≥1 D．【分析】根據(jù)命題為真命題求出命題的等價(jià)條件，結(jié)合充分不必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：因?yàn)?x∈[1，2]，ax2﹣x+a＞0等價(jià)于?x∈[1，2]，，記，所以h（x）＝，則a＞，則a＞成立的一個(gè)充分不必要條件可以是a≥1，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，求出命題為真命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．8．（5分）已知f（x）＝ax2﹣1是定義在R上的函數(shù)，若對于任意﹣3≤x1＜x2≤﹣1，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．{0} B．[0，+∞） C． D．【分析】由題意得f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2），即f（x）﹣2x＝ax2﹣2x+1在[﹣3，﹣1]上單調(diào)遞減，然后對a與0的大小進(jìn)行分類討論可求．【解答】解：因?yàn)閷τ谌我猢?≤x1＜x2≤﹣1，都有，所以f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2），即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，故f（x）﹣2x＝ax2﹣2x﹣1在[﹣3，﹣1]上單調(diào)遞減，當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝﹣2x+1符合題意，當(dāng)a＞0時(shí)，≥﹣1，解得a≥﹣1，即a＞0，當(dāng)a＜0時(shí)，≤﹣3，解得﹣，綜上，a．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的。（多選）9．（5分）下列大小關(guān)系正確的是（）A．20.3＜20.4 B．30.2＜40.2 C．log23＜log48 D．log23＞log32【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小．【解答】解：A選項(xiàng)：由指數(shù)函數(shù)y＝2x為單調(diào)遞增函數(shù)，可得20.3＜20.4成立，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由冪函數(shù)y＝x0.2為單調(diào)遞增函數(shù)，可得30.2＜40.2成立，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由對數(shù)函數(shù)y＝log4x為單調(diào)遞增函數(shù)，則log23＝log49＞log48，所以C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)：由函數(shù)y＝log2x與y＝log3x均為單調(diào)遞增函數(shù)，則log23＞log22＝1，而log32＜log33＝1，所以D選項(xiàng)正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝2，則下列說法正確的是（）A．的最小值為2 B．xy的最小值為1 C．的最大值為4 D．x2+y2的最小值為2【分析】利用基本不等式得到選項(xiàng)AD正確；xy的最大值為1，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；的最大值為2，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝y(tǒng)＝1時(shí)等號成立，故選項(xiàng)A正確；∵，∴xy≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，則2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤2（a2+b2），∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)等號成立，最大值為2，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)等號成立，故選項(xiàng)D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．函數(shù)的最小正周期為π B．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為 C．函數(shù)的一個(gè)對稱中心是 D．函數(shù)的一條對稱軸是【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）+B的圖象與性質(zhì)，對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可．【解答】解：對于A：的最小正周期為，故A正確；對于B：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C：函數(shù)的對稱中心縱坐標(biāo)為3，故C錯(cuò)誤；對于D：當(dāng)時(shí)，，所以的一條對稱軸是，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性，屬于中檔題．（多選）12．（5分）已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，正確的是（）A．當(dāng)k＞1，有1個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)k＞1時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn) C．當(dāng)k＜0時(shí)，有9個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)k＝﹣4時(shí)，有7個(gè)零點(diǎn)【分析】設(shè)f（x）＝t，即有f（t）＝﹣1，再按k＞1和k＝﹣4討論并作出函數(shù)f（x）圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷得解．【解答】解：由y＝0，得f[f（x）]＝﹣1，則函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為f[f（x）]＝﹣1解的個(gè)數(shù)，設(shè)f（x）＝t，則f（t）＝﹣1，二次函數(shù)y＝x2﹣kx+1，其圖象開口向上，過點(diǎn)（0，1），對稱軸為，當(dāng)k＞1時(shí)，y＝x2﹣kx+1在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，且y≥1，如圖，由f（t）＝﹣1，得log2t＝﹣1，解得，由f（x）＝t，得，解得，因此函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)k＝﹣4時(shí)，，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，由圖象知f（t）＝﹣1有3個(gè)根，當(dāng)t＞0時(shí)，log2t＝﹣1，解得；當(dāng)t≤0時(shí)，t2+4t+1＝﹣1，解得，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，此時(shí)共有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有1個(gè)解，，即有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有1個(gè)解，即無解，因此當(dāng)k＝﹣4時(shí)，函數(shù)y＝f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是7，D正確，C錯(cuò)誤．故選：AD．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。13．（5分）已知扇形的圓心角是2弧度，其周長為6cm，則扇形的面積為cm2．【分析】直接利用扇形的周長和扇形的面積公式求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，所以2r+2r＝6，解得r＝；故．故扇形的面積為cm2．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：扇形的面積公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．14．（5分）函數(shù)y＝的定義域是（2kπ，2kπ+π），k∈Z．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則sinx≥0，即0＜sinx≤1，即2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?kπ，2kπ+π），k∈Z，故答案為：（2kπ，2kπ+π），k∈Z【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件．15．（5分）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增，則實(shí)數(shù)m＝﹣1．【分析】根據(jù)冪函數(shù)系數(shù)為1并結(jié)合單調(diào)性即可求解．【解答】解：由題意得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，當(dāng)m＝2時(shí)，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上遞減，不符合題意；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，f（x）＝x在（0，+∞）上遞增，符合題意．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（5分）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）的最小值為0；②當(dāng)時(shí)，f（x）不存在最小值；③f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為g（a），則函數(shù)g（a）的值域?yàn)閧0，1，2，3}；④當(dāng)a≥1時(shí)，對任意．其中所有正確結(jié)論的序號是①②③．【分析】①根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求f（x）值域判斷；②由（﹣∞，a）上值域?yàn)椋╝，2a+a），討論a≥0、a＜0確定在[a，+∞）上值域，根據(jù)f（x）不存在最小值，列不等式組求參數(shù)范圍；③討論a＜0、a＝0、a＞0，分析各分段上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷；④用特殊值a＝4，得到f（3）＝12，f（4）＝48，f（5）＝65即可判斷．【解答】解：①當(dāng)a＝0時(shí)，，在（﹣∞，0）上的值域?yàn)椋?，1），在[0，+∞）上值域?yàn)閇0，+∞）．所以f（x）的最小值為0，故①正確；②在（﹣∞，a）上f（x）的值域?yàn)椋╝，2a+a），當(dāng)a≥0時(shí)，在[a，+∞）上值域?yàn)閇3a2，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，在[a，+∞）上值域?yàn)閇﹣a2，+∞）；要使f（x）不存在最小值，則或，解得或﹣1＜a＜0，故②正確；③y＝2x+a至多一個(gè)零點(diǎn)，y＝x2+2ax至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＜0時(shí)，若x∈[a，+∞），則由x2+2ax＝0，可得x＝0或x＝﹣2a，故f（x）恒有兩個(gè)零點(diǎn)；x∈（﹣∞，a）時(shí)，若2a+a＞0，則f（x）存在一個(gè)零點(diǎn)；若2a+a≤0，f（x）不存在零點(diǎn)，所以a＜0時(shí)，f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為2或3個(gè)；若a＝0，則，此時(shí)2x＞0，即（﹣∞，0）上無零點(diǎn)，而x2＝0?x＝0，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，即g（0）＝1；若a＞0，則，此時(shí)（﹣∞，a）上2x+a＞0，無零點(diǎn)，x∈[a，+∞）時(shí)，x2+2ax＝0也無解，故f（x）無零點(diǎn)，即g（a）＝0；綜上，g（a）的值域?yàn)閧0，1，2，3}，故③正確；④當(dāng)a＝4時(shí)，，則f（3）＝12，f（4）＝48，f（5）＝65，所以f（3）+f（5）＝77＜2f（4）＝96，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想及函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分。除第17小題10分以外，每小題10分。17．（10分）設(shè)m∈R，已知集合，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求A∪B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求m的取值范圍．【分析】（1）由題意，分別解不等式求出集合A，B，然后由并集運(yùn)算可得．（2）根據(jù)集合包含關(guān)系，對m分類討論即可．【解答】解：（1），即（x﹣1）（2x+3）＜0，解得﹣＜x＜1，可得．2x2+（m﹣2）x﹣m＜0?（2x+m）（x﹣1）＜0，當(dāng)m＝1時(shí)，得﹣＜x＜1，可得．所以．（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，所以A?B，解方程（2x+m）（x﹣1）＝0得或x＝1．當(dāng)m＝﹣2時(shí)，B＝?，不滿足題意；當(dāng)，即m＞﹣2時(shí)，，因?yàn)锳?B，所以，解得m＞3．當(dāng)，即m＜﹣2時(shí)，，顯然不滿足題意．綜上，m的取值范圍為（3，+∞）．【點(diǎn)評】本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，屬于中檔題．18．（12分）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在[0，π]上的大致圖像．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式按照“五點(diǎn)法”的步驟，列表、描點(diǎn)、連線即可作出f（x）的圖象．【解答】解：列表：x0ππ2πy120﹣201描點(diǎn)，連線，畫出f（x）在[0，π]上的大致圖像如圖：【點(diǎn)評】本題考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為π．（1）求的值及函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間上的最值．【分析】（1）根據(jù)周期確定ω＝2，得到函數(shù)解析式后，代入計(jì)算的值，取，解得答案．（2）首先確定，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得到答案．【解答】解：（1）的最小正周期為π，則，ω＝2，，；取，解得，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），則，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；故f（x）的最大值為3，最小值為．【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．20．（12分）某環(huán)保組織自2023年元旦開始監(jiān)測某水域中水葫蘆生長的面積變化情況并測得最初水葫蘆的生長面積，此后每隔一個(gè)月（每月月底）測量一次，通過近一年的觀察發(fā)現(xiàn)，自2023年元旦起，水葫蘆在該水域里生長的面積增加的速度越來越快．最初測得該水域中水葫蘆生長的面積為n（單位：m2），二月底測得水葫蘆的生長面積為24m2，三月底測得水葫蘆的生長面積為64m2，水葫蘆生長的面積y（單位：m2）與時(shí)間x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇，一個(gè)是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一個(gè)是，記2023年元旦最初測量時(shí)間x的值為0．（1）請你判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，說明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中水葫蘆生長的面積在幾月起是元旦開始研究時(shí)其生長面積的240倍以上？（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）．【分析】（1）由隨著x的增大，y＝nax（n＞0，a＞1）的函數(shù)值增加得越來越快，而的函數(shù)值增加得越來越慢求解；（2）根據(jù)題意，由求解．【解答】解：（1）∵兩個(gè)函數(shù)模型在（0，+∞）上都是增函數(shù)，又隨著x的增大，y＝nax（n＞0，a＞1）的函數(shù)值增加得越來越快，而的函數(shù)值增加得越來越慢，∵在該水域中水葫蘆生長的速度越來越快，即隨著時(shí)間增加，該水域中水葫蘆生長的面積增加得越來越快，∴第一個(gè)函數(shù)模型y＝nax（n＞0，a＞1）滿足要求，由題意知，，解得，所以；（2）由，解得，又＝，故x≥6，∴該水域中水葫蘆生長的面積在7月份是元旦開始研究時(shí)其生長面積的240倍以上．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)解析式的求法，屬中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）≤0的解集；（2）是否存在實(shí)數(shù)x，使得不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0對滿足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）關(guān)于a的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)最值問題求解，按系數(shù)符號與軸與區(qū)間的關(guān)系分類討論求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，函數(shù)f（x）＝4x2+4x﹣3，不等式f（x）≤0即為4x2+4x﹣3≤0，即（2x+3）（2x﹣1）≤0，解得，故不等式f（x）≤0的解集為．（2）設(shè)g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1＝（x2﹣1）a2+2xa+1，a∈[﹣2，2]，根據(jù)題意知，g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，①當(dāng)x2﹣1＝0時(shí)，解得x＝±1，若x＝1，則g（a）＝2a+1在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，則g（a）min＝g（﹣2）＝﹣3＜0，不符合題意；若x＝﹣1，則g（a）＝﹣2a+1在[﹣2，2]上單調(diào)遞減，則g（a）min＝g（2）＝﹣3＜0，不符合題意；②當(dāng)x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1時(shí)，g（a）的圖像為開口向下的拋物線，要使g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，需，即，解得或，又﹣1＜x＜1，則此時(shí)無解；③當(dāng)x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1時(shí)，g（a）的圖像為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，（i）當(dāng)，即時(shí)，g（a）在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，∴，解得或，∵，，∴此時(shí)無解；（ii）當(dāng)，即＜x＜﹣1或1＜時(shí)，∴，∴此時(shí)無解；（iii）當(dāng)，即時(shí)，g（a）在[﹣2，2]上單調(diào)遞減，∴，解得或，∵，，∴此時(shí)無解；綜上，不存在實(shí)數(shù)x，使得不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0對滿足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立．【點(diǎn)評】本題綜合考查了解一元二次不等式，函數(shù)不等式恒成立，屬于中檔題．22．（12分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果對于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)P，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＜P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級遞減周期函數(shù)