2024屆襄樊市重點中學數(shù)學高一第二學期期末達標檢測試題含解析

2024屆襄樊市重點中學數(shù)學高一第二學期期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角的對邊分別為，若，則的最小值是（）A．5 B．8 C．7 D．62．下圖為某市國慶節(jié)7天假期的樓房認購量與成交量的折線圖，小明同學根據(jù)折線圖對這7天的認購量（單位：套）與成交量（單位：套）作出如下判斷：①日成交量的中位數(shù)是26；②日成交量超過日平均成交量的有2天；③認購量與日期正相關；④10月2日到10月6日認購量的分散程度比成交量的分散程度更大.則上述判斷錯誤的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．己知函數(shù)（，，，）的圖象（部分）如圖所示，則的解析式是（）A． B．C． D．4．在平面坐標系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以Ox為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧最有可能的是（）A． B． C． D．5．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．6．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，，則（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.87．若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝的△ABC有（）個A．

B． C．

D．38．在棱長為2的正方體中，是內（不含邊界）的一個動點，若，則線段的長的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A．3 B．6 C．7 D．810．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推，記此數(shù)列為，則()A．1 B．2 C．4 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的單調增區(qū)間是________.12．若數(shù)列滿足，，則的最小值為__________________．13．在中，，是線段上的點，，若的面積為，當取到最大值時，___________.14．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產中出現(xiàn)乙級品的概率為0.04，出現(xiàn)丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為________.15．圓與圓的公共弦長為______________。16．已知中，，則面積的最大值為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在銳角中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.18．如圖，在中，，角的平分線交于點，設，其中．（1）求；（2）若，求的長．19．已知單調遞減數(shù)列的前項和為，，且，則_____.20．某高校自主招生一次面試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖均收到了不同程度的損壞，其可見部分信息如下，據(jù)此解答下列問題：（1）求參加此次高校自主招生面試的總人數(shù)、面試成績的中位數(shù)及分數(shù)在內的人數(shù)；（2）若從面試成績在內的學生中任選三人進行隨機復查，求恰好有二人分數(shù)在內的概率.21．據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．（1）試計算出圖案中球與圓柱的體積比；（2）假設球半徑．試計算出圖案中圓錐的體積和表面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

先化簡條件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根據(jù)等式利用基本不等式求解最小值.【題目詳解】由，得，化簡整理得，，即，當且僅當，即時，取等號．故選D．【題目點撥】本題考查正、余弦定理在邊角化簡中的應用，難度一般.對于利用基本不等求最值的時候，一定要注意取到等號的條件.2、B【解題分析】

將國慶七天認購量和成交量從小到大排列,即可判斷①;計算成交量的平均值,可由成交量數(shù)據(jù)判斷②;由圖可判斷③;計算認購量的平均值與方差,成交量的平均值與方差,對方差比較即可判斷④.【題目詳解】國慶七天認購量從小到大依次為:91,100,105,107,112,223,276成交量從小到大依次為:8,13,16,26,32,38,166對于①,成交量的中為數(shù)為26,所以①正確;對于②,成交量的平均值為,有1天成交量超過平均值,所以②錯誤;對于③,由圖可知認購量與日期沒有正相關性,所以③錯誤;對于④,10月2日到10月6日認購量的平均值為方差為10月2日到10月6日成交量的平均值為方差為所以由方差性質可知,10月2日到10月6日認購量的分散程度比成交量的分散程度更小,所以④錯誤;綜上可知,錯誤的為②③④故選:B【題目點撥】本題考查了統(tǒng)計的基本內容,由圖示分析計算各個量,利用方差比較數(shù)據(jù)集中程度,屬于基礎題.3、C【解題分析】

根據(jù)圖象可知，利用正弦型函數(shù)可求得；根據(jù)最大值和最小值可確定，利用及可求得，從而得到函數(shù)解析式.【題目詳解】由圖象可知，的最小正周期：又又，且，，即，本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)圖象求解三角函數(shù)解析式的問題，關鍵是能夠明確由最大值和最小值確定；由周期確定；通常通過最值點來進行求解，屬于?？碱}型.4、A【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)線的定義，分別進行判斷排除即可得答案．【題目詳解】若P在AB段,正弦小于正切,正切有可能小于余弦;若P在CD段，正切最大，則cosα<sinα<tanα；若P在EF段，正切，余弦為負值，正弦為正，tanα<cosα<sinα；若P在GH段，正切為正值，正弦和余弦為負值，cosα<sinα<tanα.∴P所在的圓弧最有可能的是.故選：A.【題目點撥】本題任意角的三角函數(shù)的應用，根據(jù)角的大小判斷角的正弦、余弦、正切值的正負及大小，為基礎題.5、C【解題分析】

分別將選項中的區(qū)間端點值代回,利用零點存在性定理判斷即可【題目詳解】由題函數(shù)單調遞增,,,則,故選:C【題目點撥】本題考查利用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間,屬于基礎題6、B【解題分析】隨機變量服從正態(tài)分布，所以曲線關于對稱，且，由，可知，所以，故選B.7、C【解題分析】

通過判斷與c判斷大小即可得到知道三角形個數(shù).【題目詳解】由于，所以△ABC有兩解，故選C.【題目點撥】本題主要考查三角形解得個數(shù)判斷，難度不大.8、C【解題分析】

先判斷是正四面體，可得正四面體的棱長為，則的最大值為的長，的最小值是到平面的距離，結合不在三角形的邊上，計算可得結果.【題目詳解】由正方體的性質可知，是正四面體，且正四面體的棱長為，在內，的最大值為，的最小值是到平面的距離，設在平面的射影為,則為正三角形的中心，，，的最小值為，又因為不在三角形的邊上，所以的范圍是，故選C.【題目點撥】本題主要考查正方體的性質及立體幾何求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義以及平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調性法以及均值不等式法求解.9、D【解題分析】

由等比數(shù)列的性質求得，再由等差數(shù)列的性質可得結果.【題目詳解】因為等比數(shù)列，且，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，則，故選：D.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的下標性質，屬于基礎題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質（）.10、C【解題分析】

將數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，根據(jù)，進而得到數(shù)列的2017項為，數(shù)列的第2018項為，數(shù)列的第2019項為，即可求解.【題目詳解】將所給的數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，則數(shù)列的前n組共有項，又由，所以數(shù)列的前63組共有2016項，所以數(shù)列的2017項為，數(shù)列的第2018項為，數(shù)列的第2019項為，所以故選：C.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和公式的應用，其中解答中根據(jù)所給數(shù)列合理分組，結合等差數(shù)列的前n項和求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，【解題分析】

先利用誘導公式化簡，即可由正弦函數(shù)的單調性求出?！绢}目詳解】因為，所以的單調增區(qū)間是，?！绢}目點撥】本題主要考查誘導公式以及正弦函數(shù)的性質——單調性的應用。12、【解題分析】

由題又,故考慮用累加法求通項公式,再分析的最小值.【題目詳解】,故,當且僅當時成立.又為正整數(shù),且,故考查當時.當時,當時,因為,故當時,取最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查累加法,求最小值時先用基本不等式,發(fā)現(xiàn)不滿足“三相等”,故考慮與相等時的取值最近的兩個正整數(shù).13、【解題分析】

由三角形的面積公式得出，設，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【題目詳解】由題意可得，解得，設，則，可得，由基本不等式可得，當且僅當時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為．【題目點撥】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、0.95【解題分析】

根據(jù)抽查一件產品是甲級品、乙級品、丙級品是互為互斥事件，且三個事件對立，再根據(jù)抽得正品即為抽得甲級品的概率求解.【題目詳解】記事件A={甲級品}，B={乙級品}，C={丙級品}因為事件A，B，C互為互斥事件，且三個事件對立，所以抽得正品即為抽得甲級品的概率為故答案為：0.95【題目點撥】本題主要考查了互斥事件和對立事件概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

利用兩圓一般方程求兩圓公共弦方程，求其中一圓到公共弦的距離，利用直線被圓截得的弦長公式可得所求.【題目詳解】由兩圓方程相減得兩圓公共弦方程為，即，圓化為，圓心到直線的距離為1，所以兩圓公共弦長為，故答案為.【題目點撥】本題考查兩圓位置關系，直線與圓的位置關系，考查運算能力，屬于基本題.16、【解題分析】

設，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理求得代入化簡，由三角形三邊關系求得，由二次函數(shù)的性質求得取得最大值．【題目詳解】解：設，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理可得，可得：，由三角形三邊關系有：，且，解得：，故當時，取得最大值，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調性和定義域等問題，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理邊轉化為角，逐步化簡，即可得到本題答案；（2）由余弦定理得，，綜合，得，從而可得到本題答案.【題目詳解】（1）因為，所以，即，所以，又，所以，由為銳角三角形，則；（2）因為，所以，所以，即（當且僅當時取等號），所以.【題目點撥】本題主要考查利用正弦定理邊角轉化求角，以及余弦定理和基本不等式綜合運用求三角形面積的最大值.18、（1）；（2）5.【解題分析】

（1）根據(jù)求出和的值，利用角平分線和二倍角公式求出，即可求出；（2）根據(jù)正弦定理求出，的關系，利用向量的夾角公式求出，可得，正弦定理可得答案【題目詳解】解：（1）由，且，，，，則；（2）由正弦定理，得，即，，又，，由上兩式解得，又由，得，解得【題目點撥】本題考查了二倍角公式和正弦定理的靈活運用和計算能力，是中檔題．19、【解題分析】

根據(jù)，再寫出一個等式：，利用兩等式判斷并得到等差數(shù)列的通項，然后求值.【題目詳解】當時，，∴．當時，，①，②①②，得，化簡得，或，∵數(shù)列是遞減數(shù)列，且，∴舍去．∴數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差，故．【題目點撥】在數(shù)列中，其前項和為，則有：，利用此關系，可將與的遞推公式轉化為關于的等式，從而判斷的特點.20、（1）；；（2）0.6【解題分析】

(1)從分數(shù)落在,的頻率為,人數(shù)為2,求出總人數(shù)的值,從而求出面試成績的中位數(shù)及分數(shù)在,內的人數(shù);(2)用列舉法列出所有可能結果,確定其中符合要求的事件,即可求出概率.【題目詳解】(1)∵分數(shù)落在的頻率為,人數(shù)為2,∴,故,∵分數(shù)在的人數(shù)為15人,∴分數(shù)在的人數(shù)為人,又∵分數(shù)在的人數(shù)為人,∴分數(shù)在的人數(shù)為人,面試成績的中位數(shù)為分;(2)由(1)知分數(shù)在的有5人,分數(shù)在內的有3人,記分數(shù)在的5人為1,2,3,4,5號,分數(shù)在內的3人為1,2,3號,則從這5人中任選3人的基本事件為:123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10種方式;其中恰有2人的分數(shù)在內的基本事件為:124,125,134,135,234,235,共6種方式,所以所求概率為.【題目點撥】