北京海淀區(qū)北方交通大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

北京海淀區(qū)北方交通大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的部分圖像如圖所示，如果，且，則等于（）A． B． C． D．12．如圖是一名籃球運動員在最近6場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列關(guān)于該運動員所得分?jǐn)?shù)的說法錯誤的是（）A．中位數(shù)為14 B．眾數(shù)為13 C．平均數(shù)為15 D．方差為193．函數(shù)則＝（）A． B． C．2 D．04．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度5．若圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．從裝有紅球和綠球的口袋內(nèi)任取2個球(其中紅球和綠球都多于2個)，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個紅球，至少有一個綠球B．恰有一個紅球，恰有兩個綠球C．至少有一個紅球，都是紅球D．至少有一個紅球，都是綠球7．直線：與圓的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定8．方程的解所在區(qū)間是（）A． B．C． D．9．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值為()．A．4 B．8 C．15 D．3110．等差數(shù)列{an}的前n項之和為Sn，若A．45 B．54C．63 D．27二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列的公比為，關(guān)于的不等式有下列說法：①當(dāng)吋，不等式的解集②當(dāng)吋，不等式的解集為③當(dāng)>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.12．某四棱錐的三視圖如圖所示，如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該四棱錐最長棱的棱長為．13．向邊長為的正方形內(nèi)隨機投粒豆子，其中粒豆子落在到正方形的頂點的距離不大于的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域），由此可估計的近似值為______.（保留四位有效數(shù)字）14．當(dāng)函數(shù)取得最大值時，=__________．15．函數(shù)，的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_____.16．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某廠每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品萬件，其成本包含固定成本和浮動成本兩部分.已知每年固定成本為20萬元，浮動成本，.若每萬件該產(chǎn)品銷售價格為40萬元，且每年該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡.（1）設(shè)年利潤為（萬元），試求與的關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大？并求出最大利潤.18．已知.(1)求與的夾角；(2)求.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.20．已知圓C的圓心為(1，1)，直線與圓C相切.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(2，3)，且被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.21．已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

試題分析：觀察圖象可知，其在的對稱軸為，由已知，選.考點：正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)2、D【解題分析】從題設(shè)中所提供的莖葉圖可知六個數(shù)分別是，所以其中位數(shù)是，眾數(shù)是，平均數(shù)，方差是，應(yīng)選答案D．3、B【解題分析】

先求得的值，進而求得的值.【題目詳解】依題意，，故選B.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

通過圖象可以知道：最低點的縱坐標(biāo)為，函數(shù)的圖象與橫軸的交點的坐標(biāo)為，與之相鄰的最低點的坐標(biāo)為，這樣可以求出和最小正周期，利用余弦型函數(shù)最小正周期公式，可以求出，把零點代入解析式中，可以求出，這樣可以求出函數(shù)的解析式，利用誘導(dǎo)公式化為正弦型三角函數(shù)解析式形式，最后利用平移變換解析式的變化得出正確答案.【題目詳解】由圖象可知：函數(shù)的最低點的縱坐標(biāo)為，函數(shù)的圖象與橫軸的交點的坐標(biāo)為，與之相鄰的最低點的坐標(biāo)為，所以，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則有，而，把代入函數(shù)解析式中，得，所以，而，顯然由向右平移個單位長度得到的圖象，故本題選C.【題目點撥】本題考查了由函數(shù)圖象求余弦型函數(shù)解析式，考查了正弦型函數(shù)圖象之間的平移變換規(guī)律.5、B【解題分析】

先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得到本題答案.【題目詳解】由題意可得，圓心到直線的距離為，故由圖可知，當(dāng)時，圓上有且僅有一個點到直線的距離等于；當(dāng)時，圓上有且僅有三個點到直線的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時，圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于.故選：B【題目點撥】本題主要考查直線與圓的綜合問題，數(shù)學(xué)結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】由于從口袋中任取2個球有三個事件，恰有一個紅球，恰有兩個綠球,一紅球和一綠球.所以恰有一個紅球，恰有兩個綠球是互斥而不對立的兩個事件.因而應(yīng)選B.7、C【解題分析】

求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，然后運用點到直線距離求出的值和半徑進行比較，判定出直線與圓的關(guān)系.【題目詳解】因為圓，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓相交.故選【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，運用點到直線的距離公式求出和半徑比較，得到直線與圓的位置關(guān)系.8、D【解題分析】

令，則，所以零點在區(qū)間.方程的解所在區(qū)間是，故選D.9、C【解題分析】試題分析：，，，故選C.考點：數(shù)列的遞推公式10、B【解題分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a1【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a1又由等差數(shù)列的前n項和公式，可得S9【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及利用等差數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、③【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式，解不等式后可得結(jié)論．【題目詳解】由題意，不等式變?yōu)?，即，若，則，當(dāng)或時解為，當(dāng)或時，解為，時，解為；若，則，當(dāng)或時解為，當(dāng)或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查解一元二次不等式，難點是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項系數(shù)分正負(fù)，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應(yīng)的一元二次方程是否有實數(shù)解分類（本題已經(jīng)有兩解，不需要這個分類）．12、【解題分析】

先通過拔高法還原三視圖為一個四棱錐，再根據(jù)圖像找到最長棱計算即可。【題目詳解】根據(jù)拔高法還原三視圖，可得斜棱長最長，所以斜棱長為?！绢}目點撥】此題考查簡單三視圖還原，關(guān)鍵點通過拔高法將三視圖還原易求解，屬于較易題目。13、3.1【解題分析】

根據(jù)已知條件求出滿足條件的正方形的面積，及到頂點的距離不大于1的區(qū)域（圖中陰影區(qū)域）的面積比值等于頻率即可求出答案．【題目詳解】依題意得，正方形的面積，陰影部分的面積，故落在到正方形的頂點的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域）的概率，隨機投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的頂點的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域）的頻率為：，即有：，解得：，故答案為3.1．【題目點撥】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”，最后根據(jù)求解．利用頻率約等于概率，即可求解。14、【解題分析】

利用輔助角將函數(shù)利用兩角差的正弦公式進行化簡，求得函數(shù)取得最大值時的與的關(guān)系，從而求得，，可得結(jié)果.【題目詳解】因為函數(shù)，其中，，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，此時，∴，，∴故答案為【題目點撥】本題考查了兩角差的正弦公式的逆用，著重考查輔助角公式的應(yīng)用與正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.15、【解題分析】

作出其圖像，可只有兩個交點時k的范圍為.故答案為16、2【解題分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，為一個底面是直角梯形的四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，分別求出其底面積和高，求出體積，得到答案.【題目詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，幾何體是一個底面是直角梯形的四棱錐，由三視圖可知，其底面積為，高所以幾何體的體積為.故答案為.【題目點撥】本題考查三視圖還原幾何體，求四棱錐的體積，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）產(chǎn)量（萬件）時，該廠所獲利潤最大為100萬元．【解題分析】

（1）由銷售收入減去成本可得利潤；（2）分段求出的最大值，然后比較可得．【題目詳解】（1）由題意；即；（2）時，，時，，當(dāng)時，在是遞增，在上遞減，時，綜上，產(chǎn)量（萬件）時，該廠所獲利潤最大為100萬元．【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，根據(jù)所給函數(shù)模型求出函數(shù)解析式，然后由分段函數(shù)性質(zhì)分段求出最大值，比較后得出函數(shù)最大值．考查學(xué)生的應(yīng)用能力．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由得到，又代入夾角公式，求出的值；（2）利用公式進行模的求值.【題目詳解】（1）因為，所以，因為，因為，所以.（2）.【題目點撥】本題考查數(shù)量積的運算及其變形運用，特別注意之間關(guān)系的運用與轉(zhuǎn)化，考查基本運算能力.19、（1）（2）【解題分析】

（1）通過降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)得到，再根據(jù)周期公式得到答案.（2）根據(jù)（1）中函數(shù)表達式，直接利用單調(diào)區(qū)間公式得到答案.【題目詳解】（1）由題意得．可得：函數(shù)的最小正周期（2）由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的最小正周期，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，將函數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和計算能力.20、（1）；（2）或．【解題分析】

（1）利用點到直線的距離可得：圓心到直線的距離．根據(jù)直線與圓相切，可得．即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程：，即：，可得圓心到直線的距離，又，可得：．即可得出直線的方程．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，代入圓的方程可得：，解得可得弦長，即可驗證是否滿足條件．【題目詳解】（1）圓心到直線的距離．直線與圓相切，．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程：，即：，，又，．解得：．直線的方程為：．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，代入圓的方程可得：，解得，可得弦長，滿足條件．綜上所述的方程為：或．【題目點撥】本題考查直線與圓的相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式、弦長公式、分類討論方法，考查推