2024屆海南省三亞市達標名校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆海南省三亞市達標名校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若函數(shù)和在區(qū)間D上都是增函數(shù)，則區(qū)間D可以是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)“至少抽到2件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品4．一支由學(xué)生組成的校樂團有男同學(xué)48人，女同學(xué)36人，若用分層抽樣的方法從該樂團的全體同學(xué)中抽取21人參加某項活動，則抽取到的男同學(xué)人數(shù)為（）A．10 B．11 C．12 D．135．設(shè)點是棱長為的正方體的棱的中點，點在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點到點的最短距離是()A． B． C． D．6．已知之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：

1

2

3

4

5

6

0

2

1

3

3

4

假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為中的前兩組數(shù)據(jù)和求得的直線方程為則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．7．各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項之和記為,若,,則等于A．150 B．-200 C．150或-200 D．-50或4008．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若的面積為，則角=（）A． B．C． D．9．已知數(shù)列的前項和為，且，，則（）A．200 B．210 C．400 D．41010．設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若正四棱錐的所有棱長都相等，則該棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的大小為____.12．數(shù)列滿足，（且），則數(shù)列的通項公式為________.13．已知向量，則與的夾角是_________.14．已知函數(shù)分別由下表給出：123211123321則當時，_____________.15．某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本,樣本中種型號產(chǎn)品有16件,那么此樣本的容量=16．不等式的解集是______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）若關(guān)于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．（2）解關(guān)于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．18．設(shè)．（1）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式（R）．19．某中學(xué)高二年級的甲、乙兩個班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個班中5名學(xué)生成績的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認為應(yīng)該選派哪一個班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績在85分及以上的學(xué)生中隨機抽取2名．求至少有1名來自甲班的概率．20．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）若，且，，成等比數(shù)列，求k的值．21．定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．（1）已知是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若，是數(shù)列的保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；（2）已知數(shù)列的首項為2019，是數(shù)列的前項和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；（3）求證：函數(shù)，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”的充要條件是，．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

依次判斷每個選項，排除錯誤選項得到答案.【題目詳解】時，單調(diào)遞減，A錯誤時，單調(diào)遞減，B錯誤時，單調(diào)遞減，C錯誤時，函數(shù)和都是增函數(shù)，D正確故答案選D【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的理解應(yīng)用，也可以通過圖像得到答案.2、A【解題分析】

根據(jù)題意可知方程有解即可，代入解析式化簡后，利用基本不等式得出，再利用分類討論思想即可求出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】由題意知，方程有解，則，化簡得，即，因為，所以，當時，化簡得，解得；當時，化簡得，解得，綜上所述的取值范圍為．故答案為：A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中利用題設(shè)條件化簡，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．3、D【解題分析】

由對立事件的概念可知，直接寫出其對立事件即可.【題目詳解】“至少抽到2件次品”的對立事件為“至多抽到1件次品”，故選D【題目點撥】本題主要考查對立事件的概念，熟記對立事件的概念即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解題分析】

先由男女生總數(shù)以及抽取的人數(shù)確定抽樣比，由男生總?cè)藬?shù)乘以抽樣比即可得出結(jié)果.【題目詳解】用分層抽樣的方法從校樂團中抽取人，所得抽樣比為，因此抽取到的男同學(xué)人數(shù)為人.故選C【題目點撥】本題主要考查分層抽樣，熟記概念即可，屬于常考題型.5、B【解題分析】

以為原點，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標系，計算三個平面的法向量，根據(jù)夾角相等得到關(guān)系式：，再利用點到直線的距離公式得到答案.【題目詳解】`以為原點，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標系.則易知：平面的法向量為平面的法向量為設(shè)平面的法向量為：則，取平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等或看作平面的兩條平行直線，到的距離.根據(jù)點到直線的距離公式得，點到點的最短距離都是：故答案為B【題目點撥】本題考查了空間直角坐標系，二面角，最短距離，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.6、C【解題分析】b′＝2，a′＝－2，由公式＝求得．＝，＝－＝－×＝－，∴<b′，>a′7、A【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式化簡S10＝10，S30＝70，分別求得關(guān)于q的兩個關(guān)系式，可求得公比q的10次方的值，再利用前n項和公式計算S40即可．【題目詳解】因為{an}是等比數(shù)列，所以有，二式相除得，，整理得解得或（舍）所以有==所以=1．答案選A．【題目點撥】此題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的前n項和的公式化簡求值，是一道綜合題，有一定的運算技巧，需學(xué)生在練習(xí)中慢慢培養(yǎng)．8、C【解題分析】

由三角形面積公式,結(jié)合所給條件式及余弦定理,即可求得角A.【題目詳解】中,內(nèi)角,,所對的邊分別為,,則由余弦定理可知而由題意可知,代入可得所以化簡可得因為所以故選:C【題目點撥】本題考查了三角形面積公式的應(yīng)用,余弦定理邊角轉(zhuǎn)化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【題目詳解】由題，，又因為所以當時，可解的當時，，與相減得當為奇數(shù)時，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，當為偶數(shù)時，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，所以當為正整數(shù)時，，則故選B.【題目點撥】本題考查的知識點有數(shù)列通項公式的求法及應(yīng)用，等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于一般題．10、D【解題分析】

根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，正項等比數(shù)列滿足，，即，，所以，又由，因為，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了的等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式，合理運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先作出線面角，再利用三角函數(shù)求解即可．【題目詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的棱長為1，作在底面的射影，則為與底面所成角，為正方形的中心，，，，故答案為．【題目點撥】本題考查線面角，考查學(xué)生的計算能力，作出線面角是關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

利用累加法和裂項求和得到答案.【題目詳解】當時滿足故答案為【題目點撥】本題考查了數(shù)列的累加法，裂項求和法，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式和方法的靈活運用.13、【解題分析】

利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【題目詳解】由題知，，因為，所以與的夾角為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解題分析】

根據(jù)已知，用換元法，從外層求到里層，即可求解.【題目詳解】令.故答案為:.【題目點撥】本題考查函數(shù)的表示，考查復(fù)合函數(shù)值求參數(shù)，換元法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、1．【解題分析】

解：A種型號產(chǎn)品所占的比例為2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故樣本容量n=1，16、【解題分析】

由題可得，分式化乘積得，進而求得解集．【題目詳解】由移項通分可得，即，解得，故解集為【題目點撥】本題考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)m；(2)見解析【解題分析】

（1）利用△＜0列不等式求出實數(shù)m的取值范圍；（2）討論0＜a＜1、a＝0和a＜0，分別求出對應(yīng)不等式的解集．【題目詳解】（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化為（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，化簡得﹣4m﹣3＜0，解得m，所以實數(shù)m的取值范圍是m；（2）0＜a＜1時，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為（x﹣1）（x）＞0，且1，解得x＜1或x，所以不等式的解集為{x|x＜1或x}；a＝0時，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，所以不等式的解集為{x|x＜1}；a＜0時，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為（x﹣1）（x）＜0，且1，解得x＜1，所以不等式的解集為{x|x＜1}．綜上知，0＜a＜1時，不等式的解集為{x|x＜1或x}；a＝0時，不等式的解集為{x|x＜1}；a＜0時，不等式的解集為{x|x＜1}．【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題和含有字母系數(shù)的不等式解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．18、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）由不等式對于一切實數(shù)恒成立等價于對于一切實數(shù)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．（2）不等式化為，根據(jù)一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解．【題目詳解】（1）由題意，不等式對于一切實數(shù)恒成立，等價于對于一切實數(shù)恒成立．當時，不等式可化為，不滿足題意；當時，滿足，即，解得．（2）不等式等價于．當時，不等式可化為，所以不等式的解集為；當時，不等式可化為，此時，所以不等式的解集為；當時，不等式可化為，①當時，，不等式的解集為；②當時，，不等式的解集為；③當時，，不等式的解集為．【題目點撥】本題主要考查了不等式的恒成立問題，以及含參數(shù)的一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．19、（3）甲班參加；（4）．【解題分析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績在85分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機抽取4名，至少有3名來自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說明甲班同學(xué)成績更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點：3．古典概型及其概率計算公式；4．莖葉圖．20、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，列出方程組，即可求解．（2）由（1），求得，再根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到關(guān)于的方程，即可求解．【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：，解得．所以數(shù)列的通項公式為．（2）由知，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，列出方程準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）；（2）見解析；（3）見解析．【解題分析】

（1）先由條件得是三角形數(shù)列，再利用，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，得到，解得的取值范圍；（2）先利用條件求出數(shù)列的通項公式，再證明其滿足“三角形”數(shù)列的定義即可；（3）根據(jù)函數(shù)，，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”，可以得到①1，，是三角形數(shù)列，所以，即，②數(shù)列中的各項必須在定義域內(nèi)，即，③，，是三角形數(shù)列；結(jié)論為在利用，是單調(diào)遞減函數(shù)，就可求出對應(yīng)的范圍，即可證明．【題目詳解】（1）解：顯然，對任意正整數(shù)都成立，即是三角形