【數(shù)學(xué)】河南省TOP二十名校2024屆高三上學(xué)期調(diào)研考試九試卷（解析版）

河南省TOP二十名校2024屆高三上學(xué)期調(diào)研考試九數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，所以.故選：C.2已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.3 B.2 C. D.1【答案】B【解析】由，得，所以，所以.故選：B.3.已知空間向量，若共面，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由題意知不共線，且共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，解得，故選：A.4.（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)?故選：B.5.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則是為單調(diào)遞增數(shù)列的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若,則,則為單調(diào)遞減數(shù)列所以是為單調(diào)遞增數(shù)列的不充分條件若為單調(diào)遞增數(shù)列,則,則即或,所以故是為單調(diào)遞增數(shù)列不必要條件故是為單調(diào)遞增數(shù)列的既不充分也不必要條件故選：D6.如圖，兩個(gè)相同的正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，，圖1中液面高度恰好為棱臺(tái)高度的一半，圖2中液面高度為棱臺(tái)高度的，若圖1和圖2中溶液體積分別為，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】設(shè)四棱臺(tái)的高度為，在圖1中，中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為5，則，所以.故選：D.7.已知正數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得.故選：A.8.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長(zhǎng)度的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點(diǎn)在底面的射影為的中心，連接，由，得，所以，因?yàn)榍虻陌霃綖椋越孛鎴A的半徑，所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示易求，所以，易得，所以，所以交線長(zhǎng)度和為.故選：C.二、選擇題9.已知兩個(gè)不同的平面和三條不同的直線，則（）A.若，則或B.若，且，則C.若是異面直線，，且，則與或相交D.若是內(nèi)的兩兩相交的直線，其三個(gè)交點(diǎn)到的距離相等，則【答案】AC【解析】由線面平行的判定定理可知A正確；由線面垂直的判定定理知，缺少了直線相交這個(gè)條件，故結(jié)論不一定成立，故B錯(cuò)誤；若與均不相交，可得，這與異面相矛盾，故至少與中的一條相交，故C正確；三個(gè)交點(diǎn)可能在兩側(cè)，這時(shí)兩平面不平行，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.設(shè)函數(shù)，且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，，則（）A.，B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值【答案】CD【解析】因?yàn)?，因?yàn)橄噜弮蓷l對(duì)稱軸之間的距離為，所以其最小正周期為，所以；又，所以，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，顯然不是其子集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平移后得到圖象的函數(shù)解析式為，為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)取得最大值，故D正確.故選:CD11.已知定義在上函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)且定義域也是，若為偶函數(shù)，，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由為偶函數(shù)，得，兩邊求導(dǎo)，得，所以為奇函數(shù)，所以，由及，得，所以，故的周期為2.所以，又，所以3，故A正確，B錯(cuò)誤；由，得，又，所以，所以，故C正確；由，得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為空間內(nèi)兩點(diǎn)，且，則（）A.若平面，則點(diǎn)與點(diǎn)重合B.設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.平面與平面的夾角的余弦值為D.若，則平面截正方體所得截面的面積為【答案】ABD【解析】由正方體的性質(zhì)知，平面，若點(diǎn)不與重合，因?yàn)槠矫?，則，與矛盾，故當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)與重合，故A正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上，因?yàn)椋?，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的，故其長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于C，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則得，令，，所以，同理結(jié)合得，因?yàn)椋云矫媾c平面的夾角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過的直線分別交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，然后再分別連接，交側(cè)棱于點(diǎn)，交側(cè)棱于點(diǎn)，連接和，如圖所示：則得截面為五邊形，易求，，故，所以，，所以五邊形的面積，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知平面向量，若，則______________.【答案】【解析】由，得，即所以，即，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為______________.【答案】【解析】，所以，又，故所求切線方程為，即.故答案為：.15.如圖.已知圓錐的軸截面為等邊分別為，的中點(diǎn).為底面圓周上一點(diǎn).若與所成角的余弦值為.則______________.【答案】或【解析】連接，分別為，的中點(diǎn).則，，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，所以，或.又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以或.故答案為：或.16.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則______________；令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________.【答案】【解析】由得，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，又，所以.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，顯然，（為偶數(shù)）單調(diào)遞減，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，若，則，顯然（為奇數(shù)）單調(diào)遞增，所以.綜上所述.故答案為：；四、解答題17.如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：證明：（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，且平面，所以平面.（2）連接，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所?18.在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求的大小；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積.解：（1）由及正弦定理，得，即，所以，又，所以.（2）方法一：因?yàn)槠椒郑遥?，則，由，得.又，將代入，可得或.當(dāng)時(shí)，，則，故舍去，所以.所以.方法二：因?yàn)槠椒?，且，所以，則.因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以.19.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）設(shè)，求函數(shù)的最小值.解：（1）因?yàn)?..（2）因?yàn)椋海?所以：.設(shè)，則，且，所以：，當(dāng)時(shí)，.所以的最小值為.20.如圖，在幾何體中，平面.（1）求證：平面平面；（2）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：因?yàn)槠矫?，且，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，則平面，所以，又，所以，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，可得.設(shè)，所以，記與平面所成的角為，所以，解得，故為的中點(diǎn)，即.所以在棱上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，且.21.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且為正項(xiàng)等比數(shù)列，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，①所以，②由①-②得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)椋詳?shù)列的公差為，所以.設(shè)，則，因?yàn)椋ǔ?shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）解：設(shè)數(shù)列的公比為，結(jié)合（1）及已知得，解得，所以；（3）解：由（1）（2），得，所以，①又②①-②，得，所以，由，解得.設(shè)，則，故，因?yàn)?，故恒成立，知單調(diào)遞減，故的最大值為，則，即的取值范圍為.22.設(shè)函數(shù).（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.（1）解：的定義域?yàn)椋桑?，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在