信號(hào)與系統(tǒng)第一章 信號(hào)與系統(tǒng)

信號(hào)與線性系統(tǒng)分析

——第一章信號(hào)與系統(tǒng)SchoolofPhysicsScienceandTechnology教材：信號(hào)與線性系統(tǒng)分析，吳大正等編主講：汪弋平副教授電話-mail：wyp@課程西祠討論版：辦公地點(diǎn)：K2樓423室SchoolofPhysicsScienceandTechnology參考書目：1.《信號(hào)與系統(tǒng)》（上、下），鄭君里等編著，高等教育出版社；2.《信號(hào)與線性系統(tǒng)》（上、下），管致中等編著，高等教育出版社；3.《信號(hào)與系統(tǒng)》（英文第二版），A.V.Oppenheim等著，劉樹堂譯，西安交大出版社；4.《信號(hào)與系統(tǒng)-理論、方法與應(yīng)用》，徐守時(shí)編著，中國(guó)科技大學(xué)出版社；5.《信號(hào)與系統(tǒng)-常見題型解析及模擬題》，范世貴主編，西北工業(yè)大學(xué)出版社。SchoolofPhysicsScienceandTechnology課程性質(zhì)：該課程與許多專業(yè)課（例如通信原理、數(shù)字信號(hào)處理、通信電路、圖象處理、微波技術(shù)等）有很強(qiáng)的聯(lián)系，也是這些學(xué)科研究生入學(xué)考試的一門重要課程。課程內(nèi)容：該課程涉及了信號(hào)與系統(tǒng)的概念、信號(hào)分析、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析、系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述、傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換等等；SchoolofPhysicsScienceandTechnology專業(yè)基礎(chǔ)：

線性微分方程、積分變換、復(fù)變函數(shù)、離散數(shù)學(xué)、電路基礎(chǔ)等等；

發(fā)展情況（帶*的內(nèi)容將在本課程中學(xué)到）：SchoolofPhysicsScienceandTechnology§1.1

緒言《信號(hào)與系統(tǒng)》要解決的問題：

什么是信號(hào)？信號(hào)是消息的表現(xiàn)形式，消息則是信號(hào)的具體內(nèi)容。什么是系統(tǒng)？系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生什么響應(yīng)？SchoolofPhysicsScienceandTechnology信號(hào)與系統(tǒng)問題無處不在

古老通訊方式：烽火、旗語(yǔ)、信號(hào)燈近代通訊方式：電報(bào)、電話、無線通訊現(xiàn)代通訊方式：計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通訊、視頻電視傳播、衛(wèi)星傳輸、移動(dòng)通訊SchoolofPhysicsScienceandTechnology信息科學(xué)已滲透到所有現(xiàn)代自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域：工業(yè)監(jiān)控、生產(chǎn)調(diào)度、質(zhì)量分析、資源遙感、地震預(yù)報(bào)、人工智能、高效農(nóng)業(yè)、交通監(jiān)控宇宙探測(cè)、軍事偵察、武器技術(shù)、安全報(bào)警、指揮系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、財(cái)務(wù)統(tǒng)計(jì)、市場(chǎng)信息、股市分析電子出版、新聞傳媒、影視制作遠(yuǎn)程教育、遠(yuǎn)程醫(yī)療、遠(yuǎn)程會(huì)議虛擬儀器、虛擬手術(shù)SchoolofPhysicsScienceandTechnology通信的目的是為了實(shí)現(xiàn)消息的傳輸。原始的光通信系統(tǒng)——古代利用烽火傳送邊疆警報(bào)；聲音信號(hào)的傳輸——擊鼓鳴金。利用電信號(hào)傳送消息。1837年，莫爾斯(F.B.Morse)發(fā)明電報(bào)；1876年(A.G.Bell)發(fā)明電話。利用電磁波傳送無線電信號(hào)。1901年，馬可尼(G.Marconi)成功地實(shí)現(xiàn)了橫渡大西洋的無線電通信；全球定位系統(tǒng)GPS(GlobalPositioningSystem)；個(gè)人通信具有美好的發(fā)展前景。光纖通信帶來了更加寬廣的帶寬。信號(hào)的傳輸離不開信號(hào)的交換。信號(hào)傳輸SchoolofPhysicsScienceandTechnologySchoolofPhysicsScienceandTechnology000110100111110001100101010101110110010100011000SchoolofPhysicsScienceandTechnology信號(hào)傳輸系統(tǒng)信號(hào)：隨時(shí)間變化的物理量。系統(tǒng)：由若干個(gè)單元組成的并具有某種功能以用來達(dá)到某些目的的有機(jī)整體。信號(hào)傳輸系統(tǒng)：統(tǒng)稱“通信系統(tǒng)”，分為以下五個(gè)部分：重點(diǎn)：信號(hào)的處理、傳輸。SchoolofPhysicsScienceandTechnology信號(hào)處理技術(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行某種加工或變換。目的：消除信號(hào)中的多余內(nèi)容；濾除混雜的噪聲和干擾；將信號(hào)變換成容易分析與識(shí)別的形式，便于估計(jì)和選擇它的特征參量。信號(hào)處理的應(yīng)用已遍及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。

SchoolofPhysicsScienceandTechnology生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理應(yīng)用舉例濾波以前干擾嚴(yán)重濾波以后干擾去除SchoolofPhysicsScienceandTechnology§1.2

信號(hào)數(shù)學(xué)上：信號(hào)是一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)；形態(tài)上：信號(hào)表現(xiàn)為一種波形；自變量：時(shí)間、位移、周期、頻率、幅度、相位；物理上：信號(hào)是信息寄寓變化的形式；描述信號(hào)常用的方法是：數(shù)學(xué)表達(dá)式＋波形信號(hào)的波形：信號(hào)通常是時(shí)間變量t的函數(shù)，信號(hào)隨著t而變化的曲線叫信號(hào)的波形。SchoolofPhysicsScienceandTechnology信號(hào)的特性：信號(hào)的時(shí)間特性：表示為隨時(shí)間變化的函數(shù)本課程中，“信號(hào)”=“函數(shù)”）。空間上：波形。信號(hào)的頻率特性：信號(hào)可以分解為許多不同頻率的正弦分量之和，按頻率的高低可以排列成頻譜。SchoolofPhysicsScienceandTechnology信號(hào)的分類從不同的角度可以將信號(hào)分類為：確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)周期信號(hào)和非周期信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)一維信號(hào)和多維信號(hào)時(shí)限信號(hào)和非時(shí)限信號(hào)能量信號(hào)和功率信號(hào)電信號(hào)和非電信號(hào)實(shí)信號(hào)和復(fù)信號(hào)SchoolofPhysicsScienceandTechnology1.確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)

若信號(hào)可以用確定性圖形、曲線或數(shù)學(xué)表達(dá)式來準(zhǔn)確描述，則該信號(hào)為確定性信號(hào)；若信號(hào)不遵循確定性規(guī)律，具有某種不確定性，它不是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，通常只知道它取某一值的概率,則該信號(hào)為隨機(jī)信號(hào)。如電路中的噪聲，其強(qiáng)度與頻譜因時(shí)因地而異，無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，因此它是隨機(jī)信號(hào)。隨機(jī)信號(hào)是客觀存在的信號(hào)，它服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。研究它的描述、分析與處理已成為一門重要的學(xué)科。SchoolofPhysicsScienceandTechnology從常識(shí)上講，確定性信號(hào)不包括有用的或新的信息。但確定性信號(hào)作為理想化模型，其基本理論與分析方法是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)統(tǒng)計(jì)特性可進(jìn)一步研究隨機(jī)信號(hào)。本書只涉及確定性信號(hào)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology確定信號(hào)隨機(jī)信號(hào)SchoolofPhysicsScienceandTechnology2.連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)

在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。實(shí)際中也常稱為模擬信號(hào)。這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時(shí)間是連續(xù)的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。值域連續(xù)值域不連續(xù)（1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)：SchoolofPhysicsScienceandTechnology對(duì)于有間斷點(diǎn)的連續(xù)信號(hào)，也可按高等數(shù)學(xué)規(guī)定，定義信號(hào)f(t)在間斷點(diǎn)t0處的信號(hào)值等于其左極限f(t0-)與右極限f(t0+)的算術(shù)平均值。

SchoolofPhysicsScienceandTechnology

僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。實(shí)際中也常稱為數(shù)字信號(hào)。這里的“離散”指信號(hào)的定義域—時(shí)間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時(shí)間無定義。

如右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定義，其余時(shí)間無定義。相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡(jiǎn)寫為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱為序號(hào)。(2)離散時(shí)間信號(hào)：SchoolofPhysicsScienceandTechnology上述離散信號(hào)可表示為用表達(dá)式可寫為或?qū)憺閒(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值”。SchoolofPhysicsScienceandTechnology3.周期信號(hào)與非周期信號(hào)

周期信號(hào)是依一定的時(shí)間間隔周而復(fù)始、無始無終(-∞，∞)的信號(hào)，一般表示為

f(t)=f(t+nT)n=0,±1,...

其中T為最小重復(fù)時(shí)間間隔，也稱周期，不滿足上式這一關(guān)系的信號(hào)為非周期信號(hào)。

SchoolofPhysicsScienceandTechnology如果若干周期信號(hào)的周期具有公倍數(shù)，則它們疊加后仍為周期信號(hào),疊加信號(hào)的周期是所有周期的最小公倍數(shù)；其頻率為周期的倒數(shù)。只有兩項(xiàng)疊加時(shí)，T1、T2與ω1、ω2分別是兩個(gè)周期信號(hào)的周期與角頻率，疊加后信號(hào)的角頻率、周期的計(jì)算為：（1.2-2）例：判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，求出其周期。

(1)e1(t)=asin5t+bcos8t；

(2)e2(t)=3cos1.2t-5sin5.6t。解（1）因?yàn)椋瑹o公因子，因此（2）因?yàn)?，無公因子，因此SchoolofPhysicsScienceandTechnology4.實(shí)信號(hào)和復(fù)信號(hào)

物理可實(shí)現(xiàn)的信號(hào)常常是時(shí)間t(或k)的實(shí)函數(shù)(或序列)，其在各時(shí)刻的函數(shù)(或序列)值為實(shí)數(shù)。函數(shù)(或序列)的值為復(fù)數(shù)的信號(hào)稱為復(fù)信號(hào)。

復(fù)指數(shù)信號(hào)其中，均為復(fù)數(shù)按歐拉公式展開為：

可見一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)可分解為實(shí)，虛兩個(gè)部分，且均為實(shí)信號(hào)。SchoolofPhysicsScienceandTechnologyA和S為實(shí)數(shù)（實(shí)指數(shù)信號(hào)）s=

>0指數(shù)上升曲線，<0指數(shù)衰減曲線，S=j

（可得正弦信號(hào)）為正弦信號(hào)S=+j

（可得按指數(shù)變化的正弦信號(hào)）>0為指數(shù)增長(zhǎng)的正弦信號(hào)，

<0為指數(shù)衰減的正弦信號(hào)可以看到：SchoolofPhysicsScienceandTechnology5．能量信號(hào)與功率信號(hào)

將信號(hào)f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號(hào)的能量E（2）信號(hào)的功率P

若信號(hào)f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。此時(shí)P=0

若信號(hào)f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。此時(shí)E=∞SchoolofPhysicsScienceandTechnology

相應(yīng)地，對(duì)于離散信號(hào)，也有能量信號(hào)、功率信號(hào)之分。

若滿足的離散信號(hào)，稱為能量信號(hào)。若滿足的離散信號(hào)，稱為功率信號(hào)。

時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào))為能量信號(hào);周期信號(hào)屬于功率信號(hào)，而非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。

有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)，如f(t)=et。

能量信號(hào)與功率信號(hào)的判別？判斷信號(hào)，是否為能量信號(hào)或功率信號(hào)。解:所以為能量信號(hào),為功率信號(hào)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology§1.3

信號(hào)的基本運(yùn)算1.信號(hào)的相加

注意要在對(duì)應(yīng)的時(shí)間上進(jìn)行加減運(yùn)算。00t1t2101-1相加t12t21-1SchoolofPhysicsScienceandTechnology2.信號(hào)的相乘運(yùn)算：

注意要在對(duì)應(yīng)的時(shí)間上進(jìn)行相乘運(yùn)算。

00t1t2101-1相乘t11t2-1SchoolofPhysicsScienceandTechnology3.信號(hào)的時(shí)移其中為實(shí)常數(shù)，即將原信號(hào)沿橫軸（時(shí)間軸）向左或向右做整體移動(dòng)。0-1212向右移位0-1-2121向左移位0-1212SchoolofPhysicsScienceandTechnology4.信號(hào)的尺度變換

其中為實(shí)常數(shù)，即將原信號(hào)在時(shí)間軸上進(jìn)行壓縮或展。|a|>1原信號(hào)被壓縮0-12121原信號(hào)被擴(kuò)展0<|a|<10-1-212240-1212原始信號(hào)SchoolofPhysicsScienceandTechnology5.信號(hào)的反褶即將原信號(hào)沿縱軸翻轉(zhuǎn)180度。反褶01-212沒有可實(shí)現(xiàn)此功能的實(shí)際器件。數(shù)字信號(hào)處理中可以實(shí)現(xiàn)此概念，例如堆棧中的“后進(jìn)先出”。0-1212SchoolofPhysicsScienceandTechnology6.

綜合變換

以變量代替中的獨(dú)立變量，可得一新的信號(hào)函數(shù)。當(dāng)時(shí)，它是沿時(shí)間軸展縮、平移后的信號(hào)波形；當(dāng)時(shí)，它是f(t)沿時(shí)間軸展縮平移和反轉(zhuǎn)后的信號(hào)波形，下面舉例說明。注意！一切變換都是相對(duì)t而言可以用先翻縮后平移的順序SchoolofPhysicsScienceandTechnology舉例：已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行。壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)SchoolofPhysicsScienceandTechnology

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。這里將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。

§1-4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、階躍函數(shù)

下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)如圖所示。

n→∞SchoolofPhysicsScienceandTechnology有延遲的單位階躍信號(hào)：SchoolofPhysicsScienceandTechnology利用單位階躍信號(hào)ε(t)可以很方便地用數(shù)學(xué)函數(shù)來描述信號(hào)的接入（開關(guān)）特性或因（單邊）特性。所以單位階躍函數(shù)與另一函數(shù)相乘具有將后者從之前全部切除的作用。例如用階躍函數(shù)表示單邊正弦信號(hào)單邊正弦信號(hào)用階躍函數(shù)可以表示方波或分段常量波形：這就是一個(gè)門函數(shù)(方波)的表達(dá)式。用這種門函數(shù)可表示其它一些函數(shù)門函數(shù)SchoolofPhysicsScienceandTechnology可以用門函數(shù)的方法求：也可以用門函數(shù)的方法求：利用門函數(shù)求函數(shù)表達(dá)式SchoolofPhysicsScienceandTechnologySchoolofPhysicsScienceandTechnology階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)

（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分

SchoolofPhysicsScienceandTechnology二、沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義(由狄拉克最早提出)

也可采用下列直觀定義：對(duì)前面γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)。

高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。

SchoolofPhysicsScienceandTechnology沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)n→∞n→∞SchoolofPhysicsScienceandTechnology若面積為k，則強(qiáng)度為k。三種典型的沖激函數(shù)變化形式：SchoolofPhysicsScienceandTechnology總結(jié)：斜變函數(shù)，單位階躍函數(shù)，

(t)之間的關(guān)系

f(t)

求 ↓↑積 (-

<t<)

導(dǎo) ↓↑分

(t)

tO1SchoolofPhysicsScienceandTechnology沖激函數(shù)的性質(zhì)1．與普通函數(shù)的乘積(取樣性samplingproperty)對(duì)于移位情況：如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

SchoolofPhysicsScienceandTechnology0ε(t)舉例說明：

SchoolofPhysicsScienceandTechnologytn沖激序列對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣沖激函數(shù)的性質(zhì)單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)尺度變換(t)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)

這里a

和t0為常數(shù)，且a0。定義：稱單位二次沖激函數(shù)或沖激偶。SchoolofPhysicsScienceandTechnologySchoolofPhysicsScienceandTechnology沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶）與普通函數(shù)的乘積

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)

證明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)

δ’(t)的積分性質(zhì)：δ(n)(t)的定義：SchoolofPhysicsScienceandTechnology沖激函數(shù)的微分（階躍函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)）：將呈現(xiàn)正、負(fù)極性的一對(duì)沖激，稱為沖激偶信號(hào)，以

’(t)表示。沖激偶信號(hào)顯然得到了一正一負(fù)兩個(gè)強(qiáng)度為的沖激函數(shù)，繼續(xù)取極限，讓趨于零，依據(jù)微分的定義已經(jīng)可以看出沖激偶恰為沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology在t=t1導(dǎo)處的沖激函數(shù)可表示2．移位后與普通函數(shù)的乘積SchoolofPhysicsScienceandTechnology

3.δ(t)的尺度變換和奇偶性推論:(1)δ(2t)=0.5δ(t)

(2)當(dāng)a=–1時(shí)所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)，

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)例1下列各表達(dá)式中錯(cuò)誤的是______。CSchoolofPhysicsScienceandTechnology例2下列各表達(dá)式中錯(cuò)誤的是______。B課堂練習(xí)題計(jì)算下列各題。(1)(2)(3)因?yàn)?t+1)位于積分范圍之外。課堂練習(xí)題畫出下列信號(hào)的波形。(1)(2)第一章第1講61已知信號(hào)SchoolofPhysicsScienceandTechnology

§1-5系統(tǒng)的描述

所謂系統(tǒng)，不限于前面提過的通信系統(tǒng)，還包括諸如機(jī)械，化工系統(tǒng)類的其他物理系統(tǒng)以及生產(chǎn)管理，交通運(yùn)輸方面的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。它是有若干互有關(guān)聯(lián)的單元組成的并具有某種功能以用來實(shí)現(xiàn)某些特定目的的有機(jī)整體。設(shè)初始狀態(tài)為（有n個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件）則響應(yīng)為：全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。SchoolofPhysicsScienceandTechnology

描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)1.解析描述——建立數(shù)學(xué)模型

圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程?！?-5系統(tǒng)的描述SchoolofPhysicsScienceandTechnology抽去具有的物理含義，微分方程寫成這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì)量，C為減振液體的阻尼系數(shù)，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為

能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖。基本部件單元有：積分器：加法器：數(shù)乘器：積分器的抗干擾性比微分器好。2、系統(tǒng)的框圖表示SchoolofPhysicsScienceandTechnology實(shí)際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）→指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)SchoolofPhysicsScienceandTechnology例2：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導(dǎo)出y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿足原方程。SchoolofPhysicsScienceandTechnology例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。設(shè)輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據(jù)前面，逆過程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)SchoolofPhysicsScienceandTechnology二、離散系統(tǒng)1.解析描述——建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。SchoolofPhysicsScienceandTechnology2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器）例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。SchoolofPhysicsScienceandTechnology解：設(shè)輔助變量x(k)如圖即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)SchoolofPhysicsScienceandTechnology一、系統(tǒng)的定義

若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側(cè)重于局部，系統(tǒng)側(cè)重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì)

可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法。下面討論幾種常用的分類法?！?-6系統(tǒng)的性質(zhì)SchoolofPhysicsScienceandTechnology1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)

若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)也是連續(xù)信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng)。

若系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)均是離散信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng)。2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)

若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。3.單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)SchoolofPhysicsScienceandTechnology滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。一.線性性質(zhì)

系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)所引起的響應(yīng)y(·)可簡(jiǎn)記為

y(·)=T[f(·)]線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。

若系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y(·)也增大a倍，即

T

[af(·)]=aT

[f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。

若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1(·)與f2(·)之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和，即

T

[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)是可加的。SchoolofPhysicsScienceandTechnology若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]（2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫為

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)為

yf(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入響應(yīng)為

yx(·)=T[{0}，{x(0)}]SchoolofPhysicsScienceandTechnology當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：②零狀態(tài)線性：

T[{af

(·)},{0}]=aT[{f

(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1

(·)},{0}]+T[{f2

(·)},{0}]或

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零輸入線性：

T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]①可分解性：

y

(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f

(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]SchoolofPhysicsScienceandTechnology線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)：“線性”系統(tǒng)是滿足疊加性與齊次(比例或均勻)性的系統(tǒng)?？紤]引起系統(tǒng)響應(yīng)的因素，除了系統(tǒng)的激勵(lì)之外，還有系統(tǒng)的儲(chǔ)能，因此線性系統(tǒng)必須滿足以下三個(gè)條件。(a).分解性

系統(tǒng)的響應(yīng)有不同的分解形式，其中線性系統(tǒng)的響應(yīng)一定可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)響應(yīng)可表示為式中，

是零輸入響應(yīng)，是零狀態(tài)響應(yīng)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology（b）.零輸入線性

輸入為零時(shí)，由各初始狀態(tài){x1(0),x2(0),...,xn(0)}引起的響應(yīng)滿足疊加性與比例性，若xj(0)=1單獨(dú)作用時(shí)得到響應(yīng)rxj(t),i=1…..n，則有：用框圖表示有：系統(tǒng)x1(0)rxi1(t)系統(tǒng)xn(0)rxin(t)系統(tǒng)或?=nkkkxa1)0(?=nkkktra1x)(…..SchoolofPhysicsScienceandTechnology(c).

零狀態(tài)線性

初始狀態(tài)為零時(shí)，由各輸入激勵(lì)e1(t),e2(t),...,em(t)引起的響應(yīng)具有疊加性與比例性（均勻性），若總之，數(shù)學(xué)上的線性=齊次性+疊加性乘法器不屬于線性系統(tǒng)，但在通信系統(tǒng)中重要，因此也是我們課程研究?jī)?nèi)容之一。SchoolofPhysicsScienceandTechnology二.時(shí)不變性滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。（1）時(shí)不變性質(zhì)

若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若

T[{0}，f(t)]=yf(t)則有

T[{0}，f(t-

td)]=yf(t-

td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性（或移位不變性）。SchoolofPhysicsScienceandTechnology2.時(shí)變系統(tǒng)與非時(shí)變系統(tǒng)

從系統(tǒng)的參數(shù)來看，系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的是時(shí)不變系統(tǒng)，也稱非時(shí)變系統(tǒng)、常參系統(tǒng)、定常系統(tǒng)等；系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化的是時(shí)變系統(tǒng)，也稱變參系統(tǒng)。從系統(tǒng)響應(yīng)來看，時(shí)不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)相同的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加入的時(shí)刻無關(guān)。即SchoolofPhysicsScienceandTechnology圖1.4.1時(shí)不變系統(tǒng)SchoolofPhysicsScienceandTechnology

3.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)滿足在任意時(shí)刻的響應(yīng)y(t)僅與該時(shí)刻以及該時(shí)刻以前的激勵(lì)有關(guān)，而與該時(shí)刻以后的激勵(lì)無關(guān)。也可以說，因果系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)引起的，激勵(lì)是響應(yīng)的原因，響應(yīng)是激勵(lì)的結(jié)果；響應(yīng)不會(huì)發(fā)生在激勵(lì)加入之前，系統(tǒng)不具有預(yù)知未來響應(yīng)的能力。例如系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)與響應(yīng)y(t)的關(guān)系為f(t)=

dy(t)/dt

，這是一階微分方程，而響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系是積分關(guān)系，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。響應(yīng)與激勵(lì)具有因果關(guān)系的系統(tǒng)也稱為物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology

如果響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，那么，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，也稱為物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。書中一般不特別指明均為因果系統(tǒng)。系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y1(t)=f1(t-1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之后，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；若系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y2(t)=f2(t+1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，那么它是非因果系統(tǒng)。

由線性常系數(shù)微分方程描述的線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)為線性非時(shí)變系統(tǒng)所有的項(xiàng)都包括了r(t)或e(t)。所有的系數(shù)都是常數(shù)（而不是r(t)、e(t)或t的函數(shù)）。下列因素導(dǎo)致系統(tǒng)微分方程是非線性或時(shí)變的：若有任何一項(xiàng)是常數(shù)或是r(t)或e(t)的非線性函數(shù)，則它是非線性的。若r(t)或e(t)中的任何一項(xiàng)的系數(shù)是t

的顯時(shí)函數(shù)，則它是時(shí)變的。若當(dāng)t<0時(shí)激勵(lì)e(t)=0，則當(dāng)t<0時(shí)響應(yīng)r(t)=0。因果性也就是說，如果響應(yīng)r(t)并不依賴于將來的激勵(lì)[如e(t+1)]，那么系統(tǒng)就是因果的。問題1：如何判斷系統(tǒng)的類型？判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)按線性性質(zhì)，即疊加性來判斷。根據(jù)式：T[ae1(t)+be2(t)]=ar1(t)+br2(t)；T[e(t)]表示系統(tǒng)對(duì)

e(t)的響應(yīng)。滿足此式即為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。判斷系統(tǒng)是否為非時(shí)變系統(tǒng)按非時(shí)變性質(zhì)來判斷。根據(jù)式：T[

e(t-t0)]=r(t-t0)；滿足此式即為非時(shí)變系統(tǒng)，否則為時(shí)變系統(tǒng)。判斷系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)則按其輸出變化不發(fā)生在輸入變化之前的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則為非因果系統(tǒng)。對(duì)于線性非時(shí)變系統(tǒng)，若滿足t<0時(shí)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=0的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yf(t)=2f

(t)+1，yx(t)=3x(0)+1顯然，y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）

yf(t)=|f

(t)|，yx(t)=2x(0)

y

(t)=yf(t)+yx(t)滿足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayf(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayx(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。SchoolofPhysicsScienceandTechnology例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yf(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yf(t)=tf

(t)

（3）yf(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yf(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf(t–td)=(t–td