人教版講義九年級第二十四章圓24.3 正多邊和圓

/合作探究探究點1正多邊形的概念知識講解〔1〕正多邊形各邊相等.各角也相等的多邊形是正多邊形?！?〕注意:邊數(shù)n＞3的多邊形必須同時滿足“各邊相等〞和“各角相等〞兩個條件,才能判定它是正多邊形,缺不可,只有邊數(shù)n一3的多邊形,即正三角形特殊,它滿足任何一個條件都可以判定其是正三角形,除三角形外,一般在多邊形中,“各邊相等〞與“各角相等〞這兩個條件是各自獨立的,并不能互相推出。典例剖析例1以下命題中正確的有

(1)各邊相等的三角形是正三角形:(2)各角相等的三角形是正三角形:(3)各邊相等的多邊形是正多邊形:(4)各角相等的多邊形是正多邊形,

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個解析

判斷一個圈形是否是正多邊形,要結(jié)合定義中的“各邊相等“各角相等〞。注意正三角形的特殊性,“各邊相等〞=“各角相等〞.(1)(2)是正確的。(3)與正多邊形的定義不符,如菱形的各邊相等,但各角不一定相等。(4)各角相等的多邊形也不一定是正多邊形,如短形的各角相等,但長、寬不一定相等,所以(1)(2)正確,(3)(4)錯誤.選擇B答案B類題突破1如右圖,?ABC是正三角形,將各邊三等分,設(shè)分點分別為E,F,G,H,K,L,求證：六邊形EFGHKL為正六邊形。答案∵?ABC為正三角形,∴∠A=60°,AB=AC。又∵E,L分別為AB,AC的三等分點。∴∴AE=AL.∴?AEL為等邊三角形,∴∠AEL=∠ALE=60°,EL=AE,∴∠1=∠2=120°.同理可證∠3=∠4=∠5=∠6=120°,FG=BF,HK=CH.∴六邊形EFGHKL為正邊形。點撥

由條件可證明△AF2.ABGF.OHKC均為正三角形,可得到六邊形EFGHK2的六個邊都相等。再利于等邊三角形的角都為60",可證明六邊形EFGHKL的六個內(nèi)角也都相等,可得結(jié)論。

探究點2

正多邊形與圓的關(guān)系知識講解正多邊形與圈的關(guān)系非常密切,把圖分成m(n是大于2的自然數(shù))等份.依次連接各分點所得的多邊形是這個圈的內(nèi)按正邊形,這個圈就是這個正多邊形的外接圓。另外,正多邊形與圓的關(guān)系可以這樣表述:把圈分成n(n≥3)等份依次連接各分點,所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形,利用這個結(jié)論可以判定一個多邊形是否是正多邊形或作出一個正多邊形,但注意要“依次連接〞,不能亂連,內(nèi)、外是指兩個圖形的位置關(guān)系,如正多邊形的外接圈,是以正多邊形為準,國在正多邊形外,圈的內(nèi)接正多邊形,那么是以因為準.正多邊形在圈內(nèi)。正多邊形的邊長,半徑、邊心距、中心角可以在右圖中表示出來,圖中AB是正多邊形的邊,OA是正移邊形的半徑,OM是正名邊形的邊心距,ZAOB是正多邊形的中心角.由圖知正多邊形的半徑邊心距邊長的半構(gòu)成直角三角形的三邊,即,利用這個關(guān)系可以進行相關(guān)量的計算。典例剖析

例2

如右圖所示,六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,且AB=BC=CD=DE=EF=EA求證:六邊形ABCDEF為正六邊形,

解析此題只需證其六個頂點等分⊙O即可,另外,說明一個多邊形是正多邊形必須同時滿足各邊相等,各角也相等。

答案

因為六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,又AB=BC=CD=DE=EF=FA所以所以A.B.C,D.E,F六等分⊙O.所以六邊形ABCDEF是正六邊形。

類題突破2

如下圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,那么∠ADB的度數(shù)是()

A.60°B.45°C.30°D.22.5°

答案

C點撥

連接OB,由多邊形是正六邊形可求出∠AOB的度教,再根據(jù)國周角定理即可求出∠ADB的度數(shù).探究點3

與正多邊形有關(guān)的概念知識詳解(1)概念(如圖)①中心:一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊開的中心。

②正多邊形的半徑:外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。③中心角:正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

④邊心距:中心到正多邊形的一條邊的距離叫做正多邊形的邊心距

(2)性質(zhì)

①正多邊形的一個內(nèi)角等于。

②正多邊形的中心角等于。③正多邊形的中心角與外角相等,

注意

正多邊形的求解問題常利用半徑,邊心距及邊的一年所組成的直角三角形求解.典例剖析

例3

正六邊形的半徑為R,求正六邊形的邊長,邊心距和面積。

解析

正六邊形的中心角為60〞,作邊心ROM(如圖),在RIAOM中,利用30"角的性質(zhì)及勾股定理求解。

答案

如圖,正六邊形邊長=AB,半徑0A=R,作OM⊥AB于M,設(shè)邊心距OM=r,在Rt?AOM中,∴正六邊形的中心角為60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM,而AB=2AM,∴AB=OA=R.∴正六邊形的面積類題突破3

有一個邊長為4的正n邊形,它的一個內(nèi)角為120,那么其半徑為〔〕

A.4

B.4

C.2

D.2答案

B

點撥

根據(jù)正幾邊形的特,點,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解。探究點4

畫正多邊形知識詳解

(1)用最角器面正多邊形

方法一:由于在同圓中相等的圓心角所對的弧相等,因此作相等的圈心角可以等分圓。

方法二:先用量角器畫一個等于的圓心角,這個角所對的孤就是圓的,然后在圓上依次截取這條弧的等弧,就得到圓的n等分點,順次連接各等分點即得此圓的內(nèi)接正n邊形

(2)用尺規(guī)等分圓①正四邊形的作法;

如右圖所示,在OO中,用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑,把00四等分,從而作出正四邊形ABCD.再逐次平分各邊所對的弧,那么可作出正A八邊形、正十六邊形等邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六邊形的作法:如以下圖所示,任意作一直徑AB,再分別以A,B為圓心,以⊙O的半徑為半徑作弧,與⊙O交于C,D和E.F,那么A,C,E,B,F,D為⊙O的六等分點,順次連接各等分點,得到正六邊形ACEBFD.

典例剖析

例4用量角器畫一個半徑為1.1cm的正五邊形,再作這個正五邊形的各條對角線,畫一個五角星.

解析用量角器把圓周五等分.答案如右圖所示

(1)畫一個以任意點O為圓心,以1.1cm長為半徑的圓;

(2)用量角器畫一個等于的圓心角,得此角所對的弧;

(3)在圓上依次截取這條弧的等弧,得圓的五等分點;(4)順次連接各等分點得此圓的內(nèi)接正五邊形;(5)作這個正五邊形的各條對角線得五角星方法歸納

此題用的是方法二,依次作一個圓心角所對的弧的等弧來等分圓。也可以用第一種方法。類題突破4

如圖,半徑為R的⊙O,用多種工具多種方法作出圓內(nèi)接正三角形。答案

方法一:1.用量角器畫圓心角

∠A0B=120°,∠BOC=120°

2.連接AB,BC,CA,那么△ABC為圓內(nèi)接正三角形,(如圖(1)所示)方法二:L用量角器畫圓心角∠BOC=120°.在⊙O上用圓規(guī)截取

3.連接AC,

BC,AB,那么△ABC為圓內(nèi)接正三角形,(如圖(2)所示〕方法三:1.作直徑AD.

2.以D為圓心,以O(shè)A為半徑畫弧,交⊙O于點B.C.

3.連接AB,BC,CA,那么△ABC為圓內(nèi)接正三角形。(如圖(3)所示)

點撥

選擇工具有直尺、圓規(guī)、量角器,依據(jù)正多邊形與國的關(guān)系,可平分弧或作中心角,先作正六邊形,再作正三角形,

重點難點重難點正多邊形的證明和有關(guān)計算

〔1)正邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180,它有n個相等的內(nèi)角.因此,正n邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是.

正n邊形有n個相等的中心角,面這些中心角的和是360°,因此,正n形每個中心角的度數(shù)是

正π邊形有n個相等的外角,而這些外角的和是360°.因此,正n邊形每個外角的度數(shù)是,很容易看出：正n邊形的中心角與它的外角大小相等,正n邊形的其他計算,都歸結(jié)到直角三角形中進行正n邊形的半輕和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.這樣就把正n邊形問題轉(zhuǎn)化成了直角三角形問題了。

例如以下圖.M.N分別是⊙0的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD.正五邊形ABCDE...正n邊形ABCDEF...的邊AB.BC上的點,且BM=CN,連接OM.ON.

(1)求圖(1)中∠MON的度數(shù):

(2)圖(2)中∠MON的度數(shù)是_______,圖(3)中∠MON的度數(shù)是_____.

(3)試探究∠MON的度數(shù)與正邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案).

解析

從圓的旋轉(zhuǎn)不變性考慮,連接OB.OC.那么△OMB旋特120后一定會與CONC重合的,它的旋轉(zhuǎn)角應(yīng)該等于中心角,

答案(1)解法一:連接OB.0C?！哒?ABC內(nèi)接于⊙O,∴∠OBA=∠OCN+30o,∠BOC=120o又∵BM=CN,OB=OC,∴?OBM≌?OCN.∴∠BOM=∠CON.o∠MON=∠BOC=120o解法二：連接OA,OB.∵正?ABC內(nèi)接于⊙O,∴AB=BC,∠OBN=30o,∠AOB=120o又∵BM=CN,∴AM=BN又∵OA=OB,∴?AOM≌?BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120o.(2)90o72o(3)∠MON=.類題突破正大邊形的兩條平行邊之間的距離為1.那么它的邊長為

A.

B.

C.

D.答案

D易錯指導易錯點1正多邊形的面積計算錯誤

例1一個正方形和一個正六邊形的外接圓半徑相等,求此正方形與正六邊形的面積之比,

錯解正方形和正六邊形的外接圓半

徑相等,設(shè)兩正多邊形的外接圓半徑為R,那么正方形被對角線分成兩直角邊都為R的四個直角三角形,所以正方形的面積為四個三角形的面積的和,即為;同理,正六邊形也被分成兩直角邊都為R的六個直角三角形,其面積為,故它們的面積比為2：3.

錯因分析

誤認為正六邊形的分割圖與正方形的分割圖都是等腰直角三角形。

正解

正方形的外接圓半徑為R.那么共面積為四個直角邊為R的等腰三角形的面積和,即；正六邊形的面積為六個邊長為R的等邊三角形的面積和,即,所以正方形與正六邊形的面積之比為;糾錯心得正方形的外接圓半徑是對角線的一半,而正六邊形的外接