2022-2023學(xué)年浙江省臺州市溫嶺中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年浙江省臺州市溫嶺中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）直線x﹣y+1＝0的傾斜角為（）A．30° B．150° C．60° D．120°3．（5分）若平面α，β的法向量分別為，，則（）A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確4．（5分）已知圓錐的底面周長為6π，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（）A． B．27π C． D．36π5．（5分）在△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，A＝30°，b＝x，則（）A．當(dāng)時(shí)，B＝45° B．當(dāng)x＞1時(shí)，△ABC有兩個(gè)解 C．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，△ABC只有一個(gè)解 D．對一切x＞0，△ABC都有解6．（5分）PM2.5的監(jiān)測值是用來評價(jià)環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一劃分等級為：PM2.5日均值在35μg/m3以下，空氣質(zhì)量為一級；PM2.5日均值在35～75μg/m3，空氣質(zhì)量為二級；PM2.5日均值超過75μg/m3為超標(biāo)．如圖是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（單位：μg/m3）變化的折線圖，關(guān)于PM2.5日均值說法正確的是（）A．這10天日均值的80%分位數(shù)為60 B．前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差 C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 D．這10天的日均值的中位數(shù)為417．（5分）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，M為邊BC的中點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[﹣2，6] B．[﹣1，9] C．[﹣2，4] D．[﹣1，6]8．（5分）在△ABC中，，，BC＝1，D為AC中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線BD翻折至△BC′D，使得四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，則直線BC′與平面ABD所成角的正弦值是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E在四條邊上移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)， B．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)， C．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值 D．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值（多選）10．（5分）小明參加文學(xué)社、話劇社、辯論社的社團(tuán)招新面試，已知三個(gè)社團(tuán)面試成功與否互不影響，文學(xué)社面試成功的概率為，話劇社面試成功的概率為，辯論社面試成功的概率為，則（）A．文學(xué)社和話劇社均面試成功的概率為 B．話劇社與辯論社均面試成功的概率為 C．有且只有辯論社面試成功的概率為 D．三個(gè)社團(tuán)至少一個(gè)面試成功的概率為（多選）11．（5分）龍卷風(fēng)是一種少見的局地性、小尺度、突發(fā)性的強(qiáng)對流天氣，是在強(qiáng)烈的不穩(wěn)定的天氣狀況下由空氣對流運(yùn)動(dòng)造成的、強(qiáng)烈的、小范圍的空氣渦旋，一般發(fā)生在春季和夏季．在操場旗桿A的東偏南θ（）方向30米B處生成一個(gè)半徑為6米的龍卷風(fēng)，龍卷風(fēng)以2米/秒的速度向北偏西45°方向移動(dòng)，龍卷風(fēng)侵襲半徑以1米/秒的速度不斷增大，則（）A．12秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿 B．秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿 C．旗桿被龍卷風(fēng)侵襲的時(shí)間會(huì)持續(xù)16秒 D．旗桿被龍卷風(fēng)侵襲的時(shí)間會(huì)持續(xù)12秒（多選）12．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)Q是正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在棱CC1上，且PC1＝1，則下列結(jié)論正確的有（）A．若Q在側(cè)面ADD1A1內(nèi)，且保持，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為 B．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程為 C．若PQ⊥BD1，則點(diǎn)Q的軌跡長度為 D．當(dāng)Q在D1點(diǎn)時(shí)，三棱錐B1﹣QAP的外接球表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）某校高一年級共有男生420人，女生380人，為了解學(xué)生身高狀況，決定按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高一年級全體學(xué)生中抽出40人，組建一個(gè)合唱團(tuán)，則男生應(yīng)該抽取人．14．（5分）已知直線l1：ax+2y+6＝0和直線，若l1∥l2，則a＝．15．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足，且z1﹣z2＝3+4i，則|z1+z2|＝．16．（5分）如圖，是兩個(gè)齒輪傳動(dòng)的示意圖，已知左右兩個(gè)齒輪的半徑分別為1和2，兩齒輪中心在同一水平線上，距離為4，標(biāo)記初始位置A點(diǎn)為左齒輪的最右端，B點(diǎn)為右齒輪的最上端，試問在履帶帶動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，3），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣1）．（1）求直線AB方程；（2）求△ABC的面積．18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosc．（1）求角C的大小；（2）若sinA+sinB＝2sinC，且，求c．19．（12分）如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10．（1）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；（2）求直線CF與平面BOE所成角的正弦值．20．（12分）亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)簡稱亞運(yùn)會(huì)，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，由亞洲奧林匹克理事會(huì)的成員國輪流主辦，每四年舉辦一屆.1951年第1屆亞運(yùn)會(huì)在印度首都新德里舉行，七十多年來亞洲運(yùn)動(dòng)員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國更是世界的體育大國和亞洲的體育霸主．第19屆杭州2022年亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉辦，為普及體育知識，增強(qiáng)群眾體育鍛煉意識，某地舉辦了亞運(yùn)知識競賽活動(dòng)．活動(dòng)分為男子組和女子組進(jìn)行，最終決賽男女各有40名選手參加，如圖是其中男子組成績的頻率分布直方圖（成績介于85到145之間），（1）求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)；（2）若計(jì)劃從男子組中105分以下的選手中隨機(jī)抽樣調(diào)查2個(gè)同學(xué)的答題狀況，則抽到的選手中至少有1位是95分以下選手的概率是多少？（3）若女子組40位選手的平均分為117，標(biāo)準(zhǔn)差為12，試求所有選手的平均分和方差．21．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且b＝1，D為AB邊上一點(diǎn)，且．（1）若CD為中線，且，求a；（2）若CD為∠ACB的平分線，且△ABC為銳角三角形，求a的取值范圍．22．（12分）如圖，已知四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠ABC＝60°，側(cè)面ABB1A1是等腰梯形，，E為棱DD1上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；（2）若過點(diǎn)C，E的平面α與BD平行，且交直線AA1于點(diǎn)F，求二面角F﹣CB﹣D的余弦值．

2022-2023學(xué)年浙江省臺州市溫嶺中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，再求出其共軛復(fù)數(shù)，從而可求得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，所以，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）直線x﹣y+1＝0的傾斜角為（）A．30° B．150° C．60° D．120°【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線x﹣y+1＝0的傾斜角為θ，將直線變形為y＝x+，分析可得其斜率k＝，進(jìn)而由傾斜角與斜率的關(guān)系可得k＝tanθ＝，結(jié)合θ的范圍，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直線x﹣y+1＝0的傾斜角為θ，直線x﹣y+1＝0可以變形為y＝x+，其斜率k＝tanθ＝，又由0°≤θ＜180°，則θ＝30°；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直線的傾斜角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解直線的斜率與傾斜角的關(guān)系．3．（5分）若平面α，β的法向量分別為，，則（）A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確【分析】應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角余弦值，可判斷面面關(guān)系．【解答】解：由已知，可得，而，故α，β相交但不垂直．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查利用平面的法向量判斷平面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．4．（5分）已知圓錐的底面周長為6π，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（）A． B．27π C． D．36π【分析】由側(cè)面展開圖求得圓錐母線和底面半徑，再求得其高后，根據(jù)體積公式計(jì)算．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意2πr＝6π，r＝3，，l＝9，所以，所以圓錐的體積為，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）在△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，A＝30°，b＝x，則（）A．當(dāng)時(shí)，B＝45° B．當(dāng)x＞1時(shí)，△ABC有兩個(gè)解 C．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，△ABC只有一個(gè)解 D．對一切x＞0，△ABC都有解【分析】由正弦定理、正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)閍＝1，A＝30°，b＝x，所以由正弦定理，即，當(dāng)時(shí)，，又30°＜B＜150°，所以B＝45°或B＝135°，故A錯(cuò)誤；當(dāng)x＝4時(shí)，sinB＝2，又0＜sinB≤1，此時(shí)△ABC無解，故B、D錯(cuò)誤；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由b＜a，則B＜A，又，此時(shí)B只有一解，即△ABC只有一個(gè)解，故C正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．6．（5分）PM2.5的監(jiān)測值是用來評價(jià)環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一劃分等級為：PM2.5日均值在35μg/m3以下，空氣質(zhì)量為一級；PM2.5日均值在35～75μg/m3，空氣質(zhì)量為二級；PM2.5日均值超過75μg/m3為超標(biāo)．如圖是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（單位：μg/m3）變化的折線圖，關(guān)于PM2.5日均值說法正確的是（）A．這10天日均值的80%分位數(shù)為60 B．前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差 C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 D．這10天的日均值的中位數(shù)為41【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答】解：對于A，將10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根據(jù)80%分位數(shù)的定義可得，這10天中PM2.5日均值的80%分位數(shù)是，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，前5天的日均值的極差為41﹣30＝11，后5天的日均值的極差為80﹣45＝35，故選項(xiàng)B正確；對于C，由折線圖和方差的定義可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了折線圖的應(yīng)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖并能從統(tǒng)計(jì)圖得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，M為邊BC的中點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[﹣2，6] B．[﹣1，9] C．[﹣2，4] D．[﹣1，6]【分析】通過數(shù)量積定義得出P與C重合時(shí)取得最大值，P與F重合時(shí)，取得最小值，然后建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法求數(shù)量積．【解答】解：如圖，過P作PN⊥AM于N，則，當(dāng)與同向時(shí)AN為正，當(dāng)與反向時(shí)AN為負(fù)，分別過C，F(xiàn)作CK⊥AM，F(xiàn)H⊥AM，K，H為垂足，則得當(dāng)N與K重合（即P與C重合）時(shí)，取得最大值，當(dāng)N與H重合（即P與F重合）時(shí)，取得最小值，∵ABCDEF是正六邊形，∴以AB為x軸，AE為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），，，M是BC中點(diǎn)，則，∴，，，則，．∴的范圍是[﹣1，9]．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．8．（5分）在△ABC中，，，BC＝1，D為AC中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線BD翻折至△BC′D，使得四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，則直線BC′與平面ABD所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【分析】由直角三角形性質(zhì)和翻折關(guān)系可確定△BC′D為等邊三角形，利用正弦定理可確定△ABD外接圓半徑，由此可知△ABD外接圓圓心O即為四面體C′﹣ABD外接球球心，由球的性質(zhì)可知OG⊥平面BC′D，利用VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD可求得點(diǎn)C′到平面ABD的距離，由此可求得線面角的正弦值．【解答】解：∵，，BC＝1，∴AC＝2，又D為AC中點(diǎn)，∴AD＝CD＝BD＝1，則BC′＝C′D＝BD＝1，即△BC′D為等邊三角形，設(shè)△BC′D的外接圓圓心為G，△ABD的外接圓圓心為O，取BD中點(diǎn)H，連接C′H，OH，OG，OB，OC′，OD，∵，BD＝1，∴，即△ABD外接圓半徑為1，又四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，∴O為四面體C′﹣ABD外接球的球心，由球的性質(zhì)可知：OG⊥平面BC′D，又C′H?平面BC′D，∴OG⊥C′H，∵，OC′＝1，∴；設(shè)點(diǎn)C′到平面ABD的距離為d，由VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD得：，又△OBD與△C′BD均為邊長為1的等邊三角形，∴，直線BC′與平面ABD所成角的正弦值為．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查折疊問題，線面角的求解，屬中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E在四條邊上移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)， B．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)， C．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值 D．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的定義判斷．【解答】解：已知邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E在四條邊上移動(dòng)，如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；＝6，故選項(xiàng)B正確；（圖1）如圖2．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，＝不是定值，故選項(xiàng)C不正確；為定值，故選項(xiàng)D正確，（圖2）故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的應(yīng)用，注意把握數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題．（多選）10．（5分）小明參加文學(xué)社、話劇社、辯論社的社團(tuán)招新面試，已知三個(gè)社團(tuán)面試成功與否互不影響，文學(xué)社面試成功的概率為，話劇社面試成功的概率為，辯論社面試成功的概率為，則（）A．文學(xué)社和話劇社均面試成功的概率為 B．話劇社與辯論社均面試成功的概率為 C．有且只有辯論社面試成功的概率為 D．三個(gè)社團(tuán)至少一個(gè)面試成功的概率為【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，逐項(xiàng)求解，即可得到答案．【解答】解：對于A，根據(jù)題意，文學(xué)社和話劇社均面試成功的概率為，所以A不正確；對于B，根據(jù)題意，話劇社與辯論社均面試成功的概率為，所以B正確；對于C，根據(jù)題意，有且只有辯論社面試成功的概率為，所以C正確；對于D，三個(gè)社團(tuán)都不成功的概率為，所以三個(gè)社團(tuán)至少一個(gè)面試成功的概率為，所以D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（5分）龍卷風(fēng)是一種少見的局地性、小尺度、突發(fā)性的強(qiáng)對流天氣，是在強(qiáng)烈的不穩(wěn)定的天氣狀況下由空氣對流運(yùn)動(dòng)造成的、強(qiáng)烈的、小范圍的空氣渦旋，一般發(fā)生在春季和夏季．在操場旗桿A的東偏南θ（）方向30米B處生成一個(gè)半徑為6米的龍卷風(fēng)，龍卷風(fēng)以2米/秒的速度向北偏西45°方向移動(dòng)，龍卷風(fēng)侵襲半徑以1米/秒的速度不斷增大，則（）A．12秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿 B．秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿 C．旗桿被龍卷風(fēng)侵襲的時(shí)間會(huì)持續(xù)16秒 D．旗桿被龍卷風(fēng)侵襲的時(shí)間會(huì)持續(xù)12秒【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的直角坐標(biāo)系，得到t秒后，臺風(fēng)襲擊的范圍可視為以點(diǎn)為圓心，以6+t為半徑的圓，結(jié)合題意，列出不等關(guān)系式，得到t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以正東方向?yàn)閤軸，以正北方向?yàn)閥軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，可得，可得點(diǎn)，當(dāng)t秒后，臺風(fēng)襲擊的范圍可視為以點(diǎn)為圓心，以6+t為半徑的圓，若旗桿A（0，0）受到臺風(fēng)的侵襲，則，整理得3t2﹣108t+864≤0，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24，所以12秒后龍卷風(fēng)會(huì)侵襲到旗桿，且受臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間為12秒．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查解三角形在生活中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．（多選）12．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)Q是正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在棱CC1上，且PC1＝1，則下列結(jié)論正確的有（）A．若Q在側(cè)面ADD1A1內(nèi)，且保持，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為 B．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程為 C．若PQ⊥BD1，則點(diǎn)Q的軌跡長度為 D．當(dāng)Q在D1點(diǎn)時(shí)，三棱錐B1﹣QAP的外接球表面積為【分析】對于A，根據(jù)球的截面相關(guān)知識直接求解Q的軌跡進(jìn)而求解答案；對于B，將正方體底面與后面展開計(jì)算AP長度即可判斷；對于C，根據(jù)題意找出BD1⊥平面EFGP，進(jìn)而找出Q的軌跡，由此能求出結(jié)果；對于D，根據(jù)已知條件建系，結(jié)合空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解外接球半徑進(jìn)而求解表面積．【解答】解：對于A，若Q在側(cè)面ADD1A1內(nèi)，且保持，則Q在以點(diǎn)P為球心，為半徑的球面上，如圖，在棱DD1上取點(diǎn)M，且MD1＝1，則，即Q在側(cè)面ADD1A1內(nèi)軌跡是以M為圓心，半徑為2的一段弧，設(shè)軌跡與A1D1交于點(diǎn)N，則，即，所以，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為，故A正確．對于B，將正方體底面與后面展開如圖所示，此時(shí)，故B錯(cuò)誤．對于C，如下圖所示，分別取CD，AD，AA1，A1B1，B1C1的點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，K，使得DE＝DF＝A1G＝A1H＝C1K＝1，連接AC，BD，EF，GF，GH，HK，KP，PE，GP，C1D，由正方體ABCD﹣A1B1C1D1可知，DD1⊥平面ABCD，因?yàn)锳C?平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因?yàn)锳C⊥BD，BD，DD1?平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，因?yàn)锽D1?平面BDD1，所以AC⊥BD1，由可知EF∥AC，則EF⊥BD1，同理EP⊥BD1，又因?yàn)镋F，EP?平面EFGP，EF∩EP＝E，所以BD1⊥平面EFGP，所以Q點(diǎn)軌跡為六邊形EFGHKP，由圖形關(guān)系可知，，所以六邊形EFGHKP周長為，即點(diǎn)Q的軌跡長度為，故C正確．對于D，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則Q（0，0，3），P（0，3，2），B1（3，3，3），A（3，0，0），設(shè)三棱錐B1﹣QAP的外接球的球心為O（x，y，z），由，得x2+y2+（z﹣3）2＝x2+（y﹣3）2+（z﹣2）2＝（x﹣3）2+（y﹣3）2+（z﹣3）2＝（x﹣3）2+y2+z2，解得，所以外接球半徑為，所以三棱錐B1﹣QAP的外接球表面積為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查球的截面相關(guān)知識、點(diǎn)的軌跡、正方體平面展開圖、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）某校高一年級共有男生420人，女生380人，為了解學(xué)生身高狀況，決定按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高一年級全體學(xué)生中抽出40人，組建一個(gè)合唱團(tuán)，則男生應(yīng)該抽取21人．【分析】由分層抽樣定義按比例計(jì)算可得．【解答】解：設(shè)男生就抽取n人，則，解得n＝21．故答案為：21．【點(diǎn)評】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知直線l1：ax+2y+6＝0和直線，若l1∥l2，則a＝﹣1．【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求解．【解答】解：a＝0時(shí)，兩直線顯然不平行，因此a≠0，所以由l1∥l2得，解得a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：直線平行的條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足，且z1﹣z2＝3+4i，則|z1+z2|＝7．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義與加減法的平行四邊形法則，結(jié)合余弦定理得出|z1|，|z2|，|z1﹣z2|，|z1+z2|的關(guān)系，從而得出結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)，，作平行四邊形OACB，則，，由已知，|OB|＝5，|AB|＝|z1﹣z2|＝5，在平行四邊形OACB中，|AB|2＝|OB|2+|OA|2﹣2|OA||OB|cos∠BOA，|OC|2＝|AC|2+|OA|2﹣2|OA||AC|cos∠OAC，又|OB|＝|AC|，∠BOA+∠OAC＝180°，即cos∠BAO＝﹣cos∠OAC，所以|AB|2+|OC|2＝2|OA|2+2|OB|2，所以，|z1+z2|＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）如圖，是兩個(gè)齒輪傳動(dòng)的示意圖，已知左右兩個(gè)齒輪的半徑分別為1和2，兩齒輪中心在同一水平線上，距離為4，標(biāo)記初始位置A點(diǎn)為左齒輪的最右端，B點(diǎn)為右齒輪的最上端，試問在履帶帶動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值為．【分析】以小齒輪的圓心為原點(diǎn)建系，由于A點(diǎn)與B點(diǎn)處轉(zhuǎn)過的弧長相等，結(jié)合半徑長的比值及弧長公式可設(shè)A點(diǎn)與B點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圓心角分別為α、，利用三角函數(shù)的定義可以得出A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)，再用距離公式可構(gòu)建A，B兩點(diǎn)之間距離的函數(shù)，求解最值即可．【解答】解：設(shè)小齒輪和大齒輪圓心分別為O1，O2，則以O(shè)1為原點(diǎn)，O1A為x軸，過O1點(diǎn)作O1A的垂線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圓心角為α，∵A點(diǎn)與B點(diǎn)處轉(zhuǎn)過的弧長相等，∴B點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圓心角為，則A（cosα，sinα），，即，∴＝＝＝＝當(dāng)時(shí)AB取得最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，弧長公式，三角函數(shù)的定義以及兩點(diǎn)之間距離公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，3），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣1）．（1）求直線AB方程；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)求出直線斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程求法求解即可；（2）先求出A，B兩點(diǎn)間距離，再求出C到直線AB的距離，根據(jù)三角形面積公式求解答案即可．【解答】解：（1）由已知得，直線AB斜率存在，為，所以直線AB方程為y﹣3＝﹣2（x+1），整理得直線AB方程為y＝﹣2x+1；（2）因?yàn)锳（﹣1，3），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣1），所以，直線AB方程為2x+y﹣1＝0，C到直線AB的距離，所以△ABC的面積為．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線的點(diǎn)斜式方程，考查了點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosc．（1）求角C的大??；（2）若sinA+sinB＝2sinC，且，求c．【分析】（1）由正弦定理化邊為角，再由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡變形可得角C的大??；（2）正弦定理化角為邊得a+b＝2c，由數(shù)量積定義得abcosC＝18，從而可得ab＝36，然后結(jié)合余弦定理可求得c．【解答】解：（1）∵acosB+bcosA＝2ccosc，C∈（0，π），所以由正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin（A+B）＝2sinCcosC，∴cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝；（2）∵sinA+sinB＝2sinC所以由正弦定理可得a+b＝2c（1），∵＝bacosC，∴ab＝36（2），又由余弦定理：a2+b2﹣2abcosC＝c2，所以（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC＝c2，將（1）（2）代入上式得4c2﹣72﹣36＝c2，得c＝6．【點(diǎn)評】本題考查了兩角和的正弦公式，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及正弦定理、余弦定理，屬中檔題．19．（12分）如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10．（1）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；（2）求直線CF與平面BOE所成角的正弦值．【分析】（1）連接AF交BE于點(diǎn)Q，連接OQ，通過圖形關(guān)系證明OQ∥FG，通過線面平行的判定定理即可得證結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BOE的一個(gè)法向量和坐標(biāo)，根據(jù)線面角計(jì)算公式即可求解．【解答】解：（1）證明：如圖所示，連接AF交BE于點(diǎn)Q，連接OQ，因?yàn)锽E，AF為中線，所以Q為△ABP的重心，則，所以O(shè)Q∥FG，又因?yàn)镺Q?平面BOE，F(xiàn)G?平面BOE，所以FG∥平面BOE．（2）連接OP，在等腰△PAC中，O是AC的中點(diǎn)，則OP⊥AC，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，OP?平面PAC，所以O(shè)P⊥平面ABC，又因?yàn)镺A，OB?平面ABC，所以O(shè)P⊥OA，OP⊥OB，因?yàn)椤鰽BC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，O是AC的中點(diǎn)，則OA⊥OB，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0），P（0，0，6），A（8，0，0），B（0，8，0），C（﹣8，0，0），E（4，0，3），F(xiàn)（0，4，3），所以，設(shè)平面BOE的法向量，則，取x＝﹣3，則y＝0，z＝4，所以，所以cos＜，＞＝＝＝＝﹣，所以直線CF與平面BOE所成角的正弦值為．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與平面所成的角，解題關(guān)鍵是空間向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．20．（12分）亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)簡稱亞運(yùn)會(huì)，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，由亞洲奧林匹克理事會(huì)的成員國輪流主辦，每四年舉辦一屆.1951年第1屆亞運(yùn)會(huì)在印度首都新德里舉行，七十多年來亞洲運(yùn)動(dòng)員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國更是世界的體育大國和亞洲的體育霸主．第19屆杭州2022年亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉辦，為普及體育知識，增強(qiáng)群眾體育鍛煉意識，某地舉辦了亞運(yùn)知識競賽活動(dòng)．活動(dòng)分為男子組和女子組進(jìn)行，最終決賽男女各有40名選手參加，如圖是其中男子組成績的頻率分布直方圖（成績介于85到145之間），（1）求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)；（2）若計(jì)劃從男子組中105分以下的選手中隨機(jī)抽樣調(diào)查2個(gè)同學(xué)的答題狀況，則抽到的選手中至少有1位是95分以下選手的概率是多少？（3）若女子組40位選手的平均分為117，標(biāo)準(zhǔn)差為12，試求所有選手的平均分和方差．【分析】（1）先求出所有矩形的面積，再用1減去這個(gè)面積可得缺失部分的面積，除以10可得其高度，可求得第10名的成績是第75百分位數(shù)，然后利用百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果；（2）求得105以下合計(jì)6個(gè)人，對這6人編號后，利用列舉法求解；（3）利用平均數(shù)和方差的定義求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)橐延芯匦蔚拿娣e和為10×（0.005+2×0.010+0.020+0.030）＝0.75，所以缺失的矩形面積為1﹣0.75＝0.25，所以高度為c＝0.05×45+0.15×55+0.20×65，由于，所以第10名記為第75百分位數(shù)，設(shè)第10名的成績?yōu)閤，則x位于第5組，且0.025（135﹣x）+10×0.005＝0.25，解得x＝129，所以成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)為129；（2）105以下合計(jì)6個(gè)人，將6人依次編號為1，2，3，4，5，6，95分以下的人編號為1，2，任選2人，列舉出所有樣本點(diǎn)：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共計(jì)15種，包含1，2的有9種，故概率為；（3）男子組選手的平均分：，男子組得分的方差：s2＝（90﹣119）2×0.05+（100﹣119）2×0.1+（110﹣119）2×0.2+（120﹣119）2×0.3+（130﹣119）2×0.25+（140﹣119）2×0.1＝169