湖北省孝感市寰城高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

湖北省孝感市寰城高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理

模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

—?—?—?—?—3—2

1.已知向量a=(3,-2),b=(x,丫-1)且8〃比若X,y均為正數(shù)，則x+y的最小值

是()

_8”

A.24B.8C.3D.3

參考答案:

【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示；基本不等式.

卒

【分析】根據(jù)向量共線定理列出方程，得出2x+3y=3,再求xy的最小值即可.

【解答】解：

-2x-3(y-1)=0,

化簡得2x+3y=3,

3_￥23_21_

Xy=(X+y)X3(2x+3y)

19y4x119y.4x

=3(6+x+y+6)>3(12+2Vxy)=8,

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y=2時(shí)，等號成立；

Axy的最小值是8.

故選：B.

n4+n2

1+2+3+--+n2=

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明2,則當(dāng)"=上+1時(shí)左端應(yīng)在"=上的基礎(chǔ)上

()

A.增加一項(xiàng)B.增加2t項(xiàng)

C.增加2際項(xiàng)D.增加2無+1項(xiàng)

參考答案：

D

【分析】

明確從“=上變?yōu)椤?*+1時(shí)，等式左端的變化，利用末尾數(shù)字作差即可得到增加的項(xiàng)數(shù).

【詳解】當(dāng)n=*時(shí)，等式左端為：1+2+3+…+F

當(dāng)n=**l時(shí)，等式左端為：1+2+3+…+必+但+1）+仔+2>-+（無+1）2

v（fc+l）-*^=2*:+1二需增加2比+1項(xiàng)

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)知識，關(guān)鍵是明確等式左端的數(shù)字變化規(guī)律.

3.下列推理過程屬于演繹推理的為（）

A.老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相似之處，某醫(yī)藥先在猴子身上試驗(yàn)，試驗(yàn)成

功后再用于人體試驗(yàn)

B.由1=產(chǎn)1+3=2，,1+3+5=*3‘，…得出1+3+5+-"-+（2M-1）=MJ

C.由三角形的三條中線交于一點(diǎn)聯(lián)想到四面體四條中線（四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對

面重心的連線）交于一點(diǎn)

D.通項(xiàng)公式形如勺=明飛"0）的數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列｛-及為等比數(shù)列

參考答案：

D

略

4.已知命題尸：叮€他”），3I-CDSX>0,則下列敘述正確的是（）

A.-p：Vxe（O,^3T-CDSX<0B.?二太白。,”），

3T—CDSX<0

c-p:3rG(-?,0]3*-aisx40D.?是假命題

參考答案：

D

因?yàn)槿Q命題的否定為特稱命題，

所以命題P：Vx6(0.+<?),Jx.cosx>0>的否定P3X€(0.+8),?x.cosx<0.

當(dāng)X?C是，3X7,而?I-COSX-1.

所以3'-cosx>0.

故命題p是真命題，即,。是假命題.

故選D.

5.已知°步是實(shí)數(shù)，則“a>0且力>0”是“。+8>0且。8>0”的

()A.充分而不必要條

件B.必要而不充分條件C.充分

必要條件D.既不充分也

不必要條件

參考答案:

C

略

6.已知集合AHxX-4x*3<0},B={x|2<x<4],則)

A.(l,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

參考答案：

C

試題分析：由題意可得：集合”=31<"<3},所以dcB={H2<r<3},故選擇c

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算

?、嵌绿?/p>

7.函數(shù)V2的定義域?yàn)?)

伉口

A.(2，+°°)B.位⑵C.(一8,2)D.\2>

參考答案:

8.若幺（3，1），8（-2次）,。（8,11）三點(diǎn)在同一條直線上，則卜的值

是（）

A、-6B、-7

D、-9

參考答案:

9.若雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓2長軸的端點(diǎn)，且雙曲線的離心率與該橢圓的離

心率的積為1,則雙曲線的方程是（）

22G

A.x-yB.T-x=1C.一丁=2

.J--=2

參考答案：

D

略

10.在aABC中，工3=招，＜C=l,8=30?，則4ABC的面積等于（）

迫迫

（A）T（B）~

乖迫迫

（c）”-或后⑻彳或彳

參考答案：

D

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.若命題“存在實(shí)數(shù)"e[L2],使得小+7+3-6v0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值為

參考答案：

(-?),?+4]

【分析】

根據(jù)命題與特稱命題的否定真假不一致原則，可轉(zhuǎn)化為求m的最值；根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)

性，進(jìn)而求得m的取值范圍。

【詳解】因?yàn)槊}“存在實(shí)數(shù)*06口,2],使得6乂+*2+3-01〈0”是假命題

所以命題的否定形式為“對于任意實(shí)數(shù)xoW[l,2],使得ex+x2+3-m>0”恒成立是真命題

由ex+x2+3-mNO可得EM/+7+3在[1,2]上恒成立

設(shè)/'8=，+<+3

f,8=e"+2x在“⑵上大于0恒成立，

所以‘8="+<+3在口,2]為單調(diào)遞增函數(shù)

所以，3修=/lCD=?+l+3=e+4

所以

即m的取值范圍為(川，0+4]

【點(diǎn)睛】本題考查了特稱命題的否定形式和恒成立問題，導(dǎo)數(shù)在研究最值問題中的應(yīng)用，

屬于中檔題。

12.設(shè)曲線Cf=五520),直線獷=°及直線x=￡G>。)圍成的封閉圖形的面積為

S3,則S?)=▲

參考答案：

我

RRC：E+^=1

13.已知內(nèi)、與是橢圓Mb1(a>9>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓c上一點(diǎn)，且

產(chǎn)片j_PF2.若AF瓦居的面積為9,則b=.

參考答案:

3

略

22

14.若雙曲線f一薩-的左、右焦點(diǎn)分別為F?F2）線段FE被拋物線必=2X

的焦點(diǎn)分成5:3兩段,則此雙曲線的離心率為一

參考答案：

2拒

~Y~

15.若1為一條直線，a,B,丫為三個(gè)互不重合的平面，給出下面四個(gè)命題：

①aJ_Y，BJ_y,則a_LB；②aJLy,B〃Y，則aJ,B；（3）1/7a,1±p,則

a±0.④若1〃a,貝Ij］平行于a內(nèi)的所有直線.其中正確命題的序號是—.（把

你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

參考答案：

②③

【考點(diǎn)】四種命題的真假關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位

置關(guān)系.

【分析】若a_LY,B_LY,則a與B可能平行與可能相交，可判斷①的正誤；

由兩個(gè)平行的平面與第三個(gè)平面的夾角相同，可判斷②的正誤；

根據(jù)面面垂直的判斷定理，我們判斷③的正誤；

若l〃a,則1與a內(nèi)的直線平行或異面，可判斷④的正誤；

逐一分析后，即可得到正確的答案.

【解答】解：①中，若a,丫，BJ.Y，則a與B可能平行與可能相交，故①錯(cuò)誤；

②中，若al.Y，B〃Y，則aJ.B,故②正確；

③中，若l〃a,則a中存在直線a平行1,即a±3,由線面垂直的判定定

理，得則a±3,故③正確；

④中，若l〃a,則1與a內(nèi)的直線平行或異面，故④的錯(cuò)誤；

故答案：②③

16.等差數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為S“，若Ss-S產(chǎn)3,則S產(chǎn).

參考答案：

27

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

［分析】由數(shù)列性質(zhì)得a5=S5-S,F3,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得

(a+a)

S9=7l9=9a5,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：???等差數(shù)列｛4,｝的前n項(xiàng)和為S?,

,**Ss-Si—3,?e?35=SS-S1-3?

...S9=5(ai+a9)=9a5=27.

故答案為：27.

_±旦

17.過點(diǎn)(2圾,6)的雙曲線C的漸近線方程為“一一2''F為雙曲線C右支上一點(diǎn)，F(xiàn)

為雙曲線C的左焦點(diǎn)，點(diǎn)他3),則網(wǎng)+\PF\的最小值為

參考答案：

8

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.設(shè)函數(shù)g(x)=x"-2x+l+mlnx,(mGR).

(1)當(dāng)m=l時(shí)，求函數(shù)y=g(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程；

(2)當(dāng)m=-12時(shí)，求f(x)的極小值；

1

(3)若函數(shù)y=g(x)在xG(4,+8)上的兩個(gè)不同的數(shù)a,b(a<b)處取得極值，記

｛x｝表示大于x的最小整數(shù)，求｛g(a)｝-｛g(b)｝的值(1112—0.6931,

ln3^1.0986).

參考答案：

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】(1)把m=l代入函數(shù)解析式，求得導(dǎo)函數(shù)，得到切線的斜率，則切線方程可

求；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的

極小值即可；

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)y=g(x)在xe(W,+8)上有兩個(gè)極值點(diǎn)的m的范

圍，由a,b為方程2xJ2x+m=0的兩相異正根，及根與系數(shù)關(guān)系，得到a,b的范圍，把

m用a(或b)表示，得到g(a)(或g(b)),求導(dǎo)得到g(b)的取值范圍，進(jìn)一步求

得{g(a)}(或{g(b)}),則答案可求.

【解答】解：(1)函數(shù)y=g(x)=x"2x+l+mlnx,g'(x)=2x-2+7,k=g*(1)=1,

則切線方程為y=x-1,

故所求切線方程為x-y-1=0；

(2)m=-12H'f,g(x)=)=x2-2x+l-121nx,(x>0),

122(x-3)(x+2)

g'(x)=2x-2-x=x,

令"(x)>0,解得：x>3,令屋(x)<0,解得：0<xV3,

故g(x)在(0,3)遞減，在(3,+8)遞增，

故g(x)極小值二g(3)=4-121n3；

(3)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)?0,+8),

in2J-2x+m

g'(x)=2x-2+x=x,

令g'(x)=0并結(jié)合定義域得2x2-2x+m>0.

1

①當(dāng)△★(),即時(shí)，g'(x)20,則函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,+8)；

11-V1-2in

②當(dāng)△>()且m>0,即0Vm<5時(shí)，函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,2),

1+V1-2m

(2,+8).

1+V1-2m

③當(dāng)△>（）且mWO,即m<0時(shí)，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（2,+8）.

1_1211

故得0<m<2時(shí)，a,b為方程2x?-2x+m=0的兩相異正根，2Vb<4,4<a<2,

又由2b2-2b+m=0,得m=-2b2+2b,

13,

/.g(b)=b2-2b+l+mlnb=b2-2b+l+(-2b2+2b)Inb,beC2,W),

1_

g'(b)=2b-2+(-4b+2)lnb+2-2b=-4(b-E)Inb,

1_31_3

當(dāng)beC2.,W)時(shí)，gz(b)>0,即函數(shù)g(b)是(E,7)上的增函數(shù).

1-6吟

1-21n2

故g（b）的取值范圍是（一廠16),則{g(b)}=0.

1-21n29-121n2

同理可求得g（a）的取值范圍是（―4—,—16一）則{g(a)}=0或{g

(a)}=1.

{g(a)}-{g(b)}=0或1.

19.（本小題14分）已知定義在［-1,1］上的奇函數(shù)J。）,當(dāng)代。1】時(shí),

2*

/W=——

4"+1.

（I）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：/（X）在（°，1］上是減函數(shù);

（H）若">工/3）+/（1-34>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（III）要使方程/（x）=x+，在［-1,1］上恒有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

參考答案：

解：（I）.證：任設(shè)°<再<今<1,則

"演）-"々）=4,+i一斗+廣（4即+1）（4*+1）.vO<^<x2<1

（4西+1）（4"+1）,即

.?.73）在（0,1］上是減函數(shù).........4分

（II）由/⑷+/。-3點(diǎn)）>0得：/（“）>-川-3a）

???/⑶是奇函數(shù)../（a）>/（3a-1）

?：a>-3a-1>0,

y（x）在（o,i］遞減

0<a<1

0<3a-l<l

a<3a-1

（ill）記g3=/（?T,則g（?為（°J上的單調(diào)遞減函數(shù).

.g(x)e[g6,g(0))=g(x)H-j,；)

?.?卻力在[-1,1]上為奇函數(shù)，.?.當(dāng)xehl，°）時(shí)

又g0=0,

3333

SJ

55」，即5514分

略

20.某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周

平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間

的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）.

（1）應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？

（2）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖

所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],

（10,12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率.

（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，請完成每周平均

體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)

動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.

P(K2>ko)0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

n(ad-be)2

附：K?=(a+bXc+dXa+cXb+d)

頻率

o.isotJDe,_.

■日十

0.075L——4—LJ_

0.025

024681012時(shí)間(小時(shí))

參考答案：

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【分析】(I)根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行求解即可.

(2)由頻率分布直方圖先求出對應(yīng)的頻率，即可估計(jì)對應(yīng)的概率.

(3)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行求解即可

4500

【解答】解：(1)300x15000=90,所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù).

(2)由頻率分布直方圖得L2x(0.100+0.025)=0.75,

所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.

(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300x0.75=225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，

75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)，又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，

90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下：每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)

間與性別列聯(lián)表

男生女生總計(jì)

每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間453075

不超過4小時(shí)

每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間16560225

超過4小時(shí)

總計(jì)21090300

300(45X60-165X30)21QQ

結(jié)合列聯(lián)表可算得K2=210X90X75X225=21^4.762>3,841

所以，有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.

21.圓加的圓心在直線>=一匕上，且與直線工+丁=1相切于點(diǎn)/(2,—D,

(I)試求圓M的方程；

(H)從點(diǎn)尸(3,1)發(fā)出的光線經(jīng)直線了反射后可以照在圓初上，試求發(fā)出光線所在

直線的斜率取值范圍.

參考答案：

is.解：(I)由題意知：過A(2,-1)且與直線工+丁=1垂直的直線方程為：丁=入一3

;圓心在直線：y=—2x上,

(7=-2xjx=l

由tr=x-3=V=-2即河(1,一2),且半徑

『=照卜42-1)'+S+2)'=a,二所求圓的方程為：

(r-l)J+O+2),=2...............6分(得到圓心給2分)

(n)圓般關(guān)于直線丁二X對稱的圓為(x+2y+0-1)2=2,

設(shè)發(fā)出光線為了_1=灰*_3)

|2^-i-3^+l|J46

化簡得嵬由Ji+M得—23,

I版熠

所以發(fā)出光線所在直線的斜率取值范圍為23'23。............

略

22.某校從高二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們某次考試的數(shù)學(xué)成績(均為整

數(shù))分成六段：［40,50),［50,60),…，［90,100］后得到頻率分布直方圖(如圖所

(2)若用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在［40,50)和［50,60)的學(xué)生中共抽取5人，該5人中

成績在［40,50)的有幾人？

(3)在(2)中抽取的5人中，隨機(jī)選取2人，求分?jǐn)?shù)在［40,50)和［50,60)各1人的

概率.

參考答案：

3

（1）30；（2）2；（3）5

【分析】

（1）由頻率分布直方圖先求出分?jǐn)?shù)在［70,80）內(nèi)的概率，由此能求出分?jǐn)?shù)在［70,80）中

的人數(shù).

（2）分?jǐn)?shù)在［40