2024屆呂梁市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆呂梁市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知表示兩條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①，，，則；②，，，則；③，，，則；④，，，則其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知兩個(gè)變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試驗(yàn)測得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，則y與x之間的回歸直線方程為()A．y＝0.8x＋3 B．y＝－1.2x＋7.5C．y＝1.6x＋0.5 D．y＝1.3x＋1.23．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第六章“均輸”中有這樣一個(gè)問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”（注：“均輸”即按比例分配，此處是指五人所得成等差數(shù)列；“錢”是古代的一種計(jì)量單位），則分得最少的一個(gè)得到()A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢4．設(shè)x、y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最大值為（）A．0 B．0.5 C．1 D．25．某數(shù)學(xué)競賽小組有3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，現(xiàn)從這5名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選到的可能性相同）.則選出的2人中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．6．給出下列命題：（1）存在實(shí)數(shù)使.（2）直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，則.其中正確命題的題號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）7．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人，高三學(xué)生人，現(xiàn)教育局督導(dǎo)組欲用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷正確的是（）A．高一學(xué)生被抽到的可能性最大 B．高二學(xué)生被抽到的可能性最大C．高三學(xué)生被抽到的可能性最大 D．每位學(xué)生被抽到的可能性相等8．已知兩條不重合的直線和，兩個(gè)不重合的平面和，下列四個(gè)說法：①若，，，則；②若，，則；③若，，，，則；④若，，，，則．其中所有正確的序號為（）A．②④ B．③④ C．④ D．①③9．正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（）A．75°B．60°C．45°D．30°10．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，且，則________.12．已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，則1a13．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．14．若實(shí)數(shù)滿足，，則__________．15．已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，若⊥，則的值是______．16．中，內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，已知，且，，則的面積為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知菱形ABCD的邊長為2，M為BD上靠近D的三等分點(diǎn)，且線段.（1）求的值；（2）點(diǎn)P為對角線BD上的任意一點(diǎn)，求的最小值.18．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．20．已知函數(shù)，其圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將的圖象向左平移個(gè)長度單位得到函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)，在上的單調(diào)區(qū)間.21．（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)線面和線線平行與垂直的性質(zhì)逐個(gè)判定即可.【題目詳解】對①,,,不一定有,故不一定成立.故①錯(cuò)誤.對②,令為底面為直角三角形的直三棱柱的三個(gè)側(cè)面,且,,,但此時(shí),故不一定成立.故②錯(cuò)誤.對③,,,,則成立.故③正確.對④,若,,則,或,又,則.故④正確.綜上,③④正確.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)線面、線線平行與垂直的性質(zhì)判斷命題真假的問題,需要根據(jù)題意舉出反例或者根據(jù)判定定理判定,屬于中檔題.2、C【解題分析】試題分析：設(shè)樣本中線點(diǎn)為，其中，即樣本中心點(diǎn)為，因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心點(diǎn)，將代入四個(gè)選項(xiàng)只有B,C成立，畫出散點(diǎn)圖分析可知兩個(gè)變量x，y之間正相關(guān)，故C正確．考點(diǎn)：回歸直線方程3、B【解題分析】

設(shè)所成等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得出答案．【題目詳解】由題意五人所分錢成等差數(shù)列，設(shè)得錢最多的為，則公差.所以，則.又，即則，分得最少的一個(gè)得到.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，3），化目標(biāo)函數(shù)z＝2x﹣y為y＝2x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線y＝2x﹣z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×2﹣3＝1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．5、A【解題分析】

把5名學(xué)生編號，然后寫出任取2人的所有可能，按要求計(jì)數(shù)后可得概率．【題目詳解】3名男生編號為，兩名女生編號為，任選2人的所有情形為：，，共10種，其中恰有1名男生1名女生的有共6種，所以所求概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型，方法是列舉法．6、C【解題分析】

（1）化簡求值域進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)函數(shù)的對稱性可判斷；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷；（4）利用三角函數(shù)線可進(jìn)行判斷.【題目詳解】解：（1），（1）錯(cuò)誤；（2）是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，（2）錯(cuò)誤；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值為，，其值域是，（3）正確；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函數(shù)線有，（4）正確.故選.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)線定義，著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

根據(jù)分層抽樣是等可能的選出正確答案.【題目詳解】由于分層抽樣是等可能的，所以每位學(xué)生被抽到的可能性相等，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查隨機(jī)抽樣的公平性，考查分層抽樣的知識，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

根據(jù)線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理，判定定理等有關(guān)結(jié)論，逐項(xiàng)判斷出各項(xiàng)的真假，即可求出．【題目詳解】對①，若，，，則或和相交，所以①錯(cuò)誤；對②，若，，則或，所以②錯(cuò)誤；對③，根據(jù)面面平行的判定定理可知，只有，，，，且和相交，則，所以③錯(cuò)誤；對④，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，④正確．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查有關(guān)線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的命題的判斷，意在考查線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理，判定定理等有關(guān)結(jié)論的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】如圖：是底面中心，是側(cè)棱與底面所成的角；在直角中，故選C10、D【解題分析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)與中位數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數(shù)與中位數(shù)的值.詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)的眾數(shù)，所以中間一個(gè)矩形最該，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，而中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo)，第一個(gè)矩形的面積為，第二個(gè)矩形的面積為，故將第二個(gè)矩形分成即可，所以中位數(shù)是，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數(shù)與眾數(shù)的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對應(yīng)的概率，且各個(gè)小矩形的面積之和為1是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解題分析】

利用正切函數(shù)的單調(diào)性及周期性，可知在區(qū)間與區(qū)間內(nèi)各有一值，從而求出。【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，而且在內(nèi)單調(diào)增，所以有兩個(gè)解，一個(gè)在，一個(gè)在，由反正切函數(shù)的定義有，或。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正切函數(shù)的性質(zhì)及反正切函數(shù)的定義的應(yīng)用。12、9【解題分析】

利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【題目詳解】解：∵正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1，∴1a+12b=（2a+b∴1a+故答案為：9【題目點(diǎn)撥】本題考查了“乘1法”和基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13、.【解題分析】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14、【解題分析】

由反正弦函數(shù)的定義求解．【題目詳解】∵，∴，，∴，∴．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查反正弦函數(shù)，解題時(shí)注意反正弦函數(shù)的取值范圍是，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解．15、【解題分析】

求出，再利用，求得.【題目詳解】，因?yàn)椤?，所以，解得?【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)表示、數(shù)量積運(yùn)算，要注意向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的區(qū)別.16、【解題分析】

由正弦定理邊角互化思想結(jié)合兩角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【題目詳解】，由邊角互化思想得，即，，由余弦定理得，，所以，，因此，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積公式的應(yīng)用，解題時(shí)要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦、余弦定理解三角形，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】

（1）由結(jié)合,可求出，從而得到（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得到，然后利用二次函數(shù)的知識求出最小值【題目詳解】（1）如圖，四邊形ABCD為菱形，所以所以因?yàn)?所以可解得,所以所以是等邊三角形，故（2）以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立如圖所示坐標(biāo)系：則有，所以線段：設(shè)，則有，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最小值【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量數(shù)量積及其運(yùn)算，涉及余弦定理，二次函數(shù)等基本知識，屬于中檔題．18、(1)；(2).【解題分析】

（1）由即可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）中所求的，以及，可得，再用裂項(xiàng)求和求解前項(xiàng)和即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，整理得，即數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故（2）由（1）得，，故=故數(shù)列的前項(xiàng)和.【題目點(diǎn)撥】本題考查由和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及用裂項(xiàng)求和求解前項(xiàng)和，屬數(shù)列綜合基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得平面，且．【解題分析】

試題分析：（I）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．由題意易得四邊形是菱形，所以，從而，即，進(jìn)而證得平面．（Ⅱ）由（I）可知，、、兩兩互相垂直，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，只要能找到一點(diǎn)P使得PM平行平面內(nèi)的一條直線即可．由于，故可取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．則，且．由此即可得四邊形是平行四邊形，從而問題得證．試題解析：（I）由題意可知四邊形是平行四邊形，所以，故．又因?yàn)?，M為AE的中點(diǎn)所以，即又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形．所以故．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面所以平面．因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，、平面，所以平面．（Ⅱ）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，，令得，．所以，因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得平面．法一:取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．則，且．又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則．所以四邊形是平行四邊形，則．又因?yàn)槠矫?，所以平面?/p>