廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺教育集團2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷

2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺教育集團九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2＝x的解為（）A．﹣x＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝02．（3分）由六塊相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，則它的俯視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）已知2x＝3y（xy≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．4．（3分）隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（）A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定6．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性質是（）A．四條邊相等，四個角相等 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分7．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣78．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（）A．2 B． C．3 D．49．（3分）如圖，平面直角坐標系中，點C位于第一象限，點B位于第四象限，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，則點B的縱坐標為（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣10．（3分）如圖，正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列結論：①EB⊥ED；②點B到直線DE的距離為；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正確結論的序號是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題（每題3分，共15分）11．（3分）將方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化為一般形式，可知一次項系數(shù)為．12．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條直線分別交于點A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE的長為．13．（3分）已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一個根，則代數(shù)式2a2﹣6a+1的值是．14．（3分）在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機抽出一個球．記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球試驗發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球個．15．（3分）如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點，連接MC，MD，CD，若CD＝6，則△MCD的面積．三、解答題（共55分）16．（8分）解方程：（1）x（x+2）＝2（x+2）；（2）3x2﹣x﹣1＝0．17．（6分）已知，△ABC在直角坐標系內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為一個單位長度）．①畫出△ABC向下平移4個單位得到的△A1B1C1；②以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；③△A3B3C3與△A1B1C1是位似圖形，位似中心為原點，位似比為3：2，若M（a，b）為線段A1C1上任一點，寫出點M對應點M2的坐標．18．（7分）某校在課后服務中，成立了以下社團：A．計算機，B．圍棋，C．籃球，D．書法每人只能加入一個社團，為了解學生參加社團的情況，從參加社團的學生中隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，其中圖1中D所占扇形的圓心角為150°．請結合圖中所給信息解答下列問題：（1）這次被調查的學生共有人；（2）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校共有1800學生加入了社團，請你估計這1800名學生中有多少人參加了籃球社團；（4）在書法社團活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學中有兩名是男同學，兩名是女同學．現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率．19．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，延長AB至點E，使BE＝AB，連接EC．（1）求證：四邊形BECD是矩形．（2）連接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的長．20．（8分）某商店銷售一款工藝品，平均每天可銷售20件，每件盈利40元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每件工藝品的單價每降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）如果商店通過銷售這種工藝品每天想盈利1050元，那么每件工藝品單價應降多少元？（2）能否通過降價使商店每天盈利達到1600元？請說明理由．21．（8分）已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；運動二：在運動一的基礎上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為，當QC⊥DF時暫停旋轉；運動三：在運動二的基礎上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．設運動時間為t（s），中間的暫停不計時，解答下列問題（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結束時，整個過程共耗時s；（2）在整個運動過程中，設RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．22．（10分）如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，交AC于點O，分別連接AF和CE．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）過E點作AD的垂線EP交AC于點P，求證：2AE2＝AC?AP；（3）若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長．

2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺教育集團九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2＝x的解為（）A．﹣x＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝0【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故選：C．2．（3分）由六塊相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，則它的俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：俯視圖有3列，從左到右小正方形的個數(shù)是2，1，1，故選：D．3．（3分）已知2x＝3y（xy≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)等式性質2，可判斷出只有B選項正確．故選：B．4．（3分）隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后情況如下：至少有一次正面朝上的概率是．故選：B．5．（3分）如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（）A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定【解答】解：如圖所示：當人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是變?。蔬x：B．6．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性質是（）A．四條邊相等，四個角相等 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性質為對角線互相平分．故選：D．7．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣7【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣15，∴x2﹣8x+16＝﹣15+16，即（x﹣4）2＝1，故選：B．8．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（）A．2 B． C．3 D．4【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝＝5，∵E為邊BC的中點，∴OE＝BC＝．故選：B．9．（3分）如圖，平面直角坐標系中，點C位于第一象限，點B位于第四象限，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，則點B的縱坐標為（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣【解答】解：如圖，連結OB，作BD⊥x軸于點D，則∠ODB＝90°，∵四邊形OABC是邊長為1的正方形，∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，∴OB＝＝＝，∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，∴BD＝OB＝×＝，∴點B的縱坐標為﹣，故選：B．10．（3分）如圖，正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列結論：①EB⊥ED；②點B到直線DE的距離為；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正確結論的序號是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正確；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正確；∵△ABE≌△ADP，∴S△ABE＝S△ADP，∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+××1＝，∴③正確；如圖，過點B作BO⊥AE，交AE的延長線于點O，則∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，∴S正方形ABCD＝AB2＝2+；∴④正確；故選：A．二、填空題（每題3分，共15分）11．（3分）將方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化為一般形式，可知一次項系數(shù)為﹣5．【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝x2+1，∴2x2﹣5x﹣3＝x2+1，∴x2﹣5x﹣4＝0．故答案為：﹣5．12．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條直線分別交于點A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE的長為8．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，∴＝，∴DE＝8，故答案為：8．13．（3分）已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一個根，則代數(shù)式2a2﹣6a+1的值是2023．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一個根，∴a2﹣3a﹣1011＝0，a2﹣3a＝1011，∴2a2﹣6a+1＝2（a2﹣3a）+1＝2×1011+1＝2022+1＝2023，故答案為：2023．14．（3分）在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機抽出一個球．記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球試驗發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球16個．【解答】解：設紅球有x個，根據(jù)題意得，＝＝0.2，解得x＝16．經(jīng)檢驗x＝16是分式方程的解．故答案為16．15．（3分）如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點，連接MC，MD，CD，若CD＝6，則△MCD的面積12．【解答】解：過點M作ME⊥CD，垂足為E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點，∴CM＝DM＝AB＝5，∴DE＝CD＝3，在Rt△DEM中，EM＝＝＝4，∴△MCD的面積＝CD?EM＝×6×4＝12，故答案為：12．三、解答題（共55分）16．（8分）解方程：（1）x（x+2）＝2（x+2）；（2）3x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：（1）方程移項得：x（x+2）﹣2（x+2）＝0，分解因式得：（x+2）（x﹣2）＝0，所以x+2＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2；（2）方程3x2﹣x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．17．（6分）已知，△ABC在直角坐標系內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為一個單位長度）．①畫出△ABC向下平移4個單位得到的△A1B1C1；②以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；③△A3B3C3與△A1B1C1是位似圖形，位似中心為原點，位似比為3：2，若M（a，b）為線段A1C1上任一點，寫出點M對應點M2的坐標．【解答】解：①如圖，△A1B1C1為所作；②如圖，△A2B2C2為所作；③點M對應點M2的坐標為（a，b）或（﹣a，﹣b）．18．（7分）某校在課后服務中，成立了以下社團：A．計算機，B．圍棋，C．籃球，D．書法每人只能加入一個社團，為了解學生參加社團的情況，從參加社團的學生中隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，其中圖1中D所占扇形的圓心角為150°．請結合圖中所給信息解答下列問題：（1）這次被調查的學生共有360人；（2）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校共有1800學生加入了社團，請你估計這1800名學生中有多少人參加了籃球社團；（4）在書法社團活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學中有兩名是男同學，兩名是女同學．現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率．【解答】解：（1）∵D所占扇形的圓心角為150°，∴這次被調查的學生共有：（人）；故答案為：360．（2）C組人數(shù)為：360﹣120﹣30﹣150＝60（人），故補充條形統(tǒng)計圖如下圖：（3）（人），答：這1800名學生中有300人參加了籃球社團，（4）設甲乙為男同學，丙丁為女同學，畫樹狀圖如下：∵一共有12種可能的情況，恰好選擇一男一女有8種，∴．19．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，延長AB至點E，使BE＝AB，連接EC．（1）求證：四邊形BECD是矩形．（2）連接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵AB＝BE，∴BE＝DC，BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝∠DBE＝90°，∴平行四邊形BECD是矩形；（2）解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，由（1）可知，四邊形BECD是矩形，∴∠E＝90°，BE＝CD＝2，∴AE＝AB+BE＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴AC＝＝＝，即AC的長為．20．（8分）某商店銷售一款工藝品，平均每天可銷售20件，每件盈利40元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每件工藝品的單價每降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）如果商店通過銷售這種工藝品每天想盈利1050元，那么每件工藝品單價應降多少元？（2）能否通過降價使商店每天盈利達到1600元？請說明理由．【解答】解：（1）設每件工藝品單價應降x元（x＜40），則當天銷售量為（20+2x）件，依題意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理，得x2﹣30x+125＝0，解得：x1＝25，x2＝5（不合題意，舍去）．答：商店想通過銷售這種工藝品每天想盈利1050元，每件工藝品單價應降25元；（2）不能，理由如下：設每件工藝品單價應降為y元（y＜40），則當天的銷售量為（20+2y）件，依題意，得：（40﹣y）（20+2y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴該方程無實數(shù)根，即不能通過降價使商店每天盈利達到1600元．21．（8分）已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；運動二：在運動一的基礎上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為，當QC⊥DF時暫停旋轉；運動三：在運動二的基礎上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．設運動時間為t（s），中間的暫停不計時，解答下列問題（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結束時，整個過程共耗時10s；（2）在整個運動過程中，設RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，運動一：∵△DEF是等腰三角形，∠ACB＝90°，EF＝8cm，∴EC＝4cm，∴運動一所用時間為：4÷1＝4（秒），運動二：∵當QC⊥DF時暫停旋轉，∵CD＝CF，∴DQ＝QF＝2cm∴運動二所用時間為：2＝2（秒），運動三：∵CF＝4cm，∴運動三所用的時間為：4÷1＝4（秒），∴整個過程共耗時4+2+4＝10（秒）；故答案為：10；（2）運動一：如圖2，設EC為tcm，則CQ為tcm，∴S△ECQ＝×t×t，∴S與t之間的函數(shù)關系式為：y＝t2（0≤t≤4），運動二：如圖3，連接CD，在△ECP和△DCQ中，∵∴△ECP≌△DCQ（ASA），∴S與t之間的函數(shù)關系式為：y＝8（4＜t＜6），運動三：如圖4，四邊形QDPC為矩形，∴CF＝4﹣（t﹣6）＝10﹣t，EC＝8﹣CF＝t﹣2，∴S矩形